1、第三章 机械可靠性设计基本理论,3.1 零件可靠度的普遍方程,3.2 已知应力和强度分布时的可靠度计算,3.3 可靠性安全系数,3.1 零件可靠度的普遍方程,由可靠性设计准则可知，所谓零件的可靠度，实质是零件在给定设计和运行条件下，对抗失效的能力。,即零件设计的目标应是在给定的可靠度(概率)下，保证危险断面最低强度不小于最大应力。,应力和强度为随机变量。,一、应力强度干涉模型,应力强度分布与时间的关系,t=0时应力与强度分布间有一定距离，不会失效,t=t1时应力与强度分布间还有一定距离，也不会失效（或者说是小可能性非常小）,t=t2时应力与强度分布间发生干涉,随着时间推移，强度退化,干涉面积大
2、小在性质上表示了失效可能性的大小。干涉面积大小失效可能性的大小,可靠度 R(t) =ps=P(rs),不可靠度（失效概率） F(t) =pf=P(r0 零件处于安全状态,Y0 零件处于失效状态,Y=0 零件处于临界（极限）状态,Y=f(x1, x2,xn)=0,极限状态方程,Y0 (安全状态),三、可靠度计算的普遍方程,1. 概率密度函数联合积分法计算可靠度,强度r大于应力s0 的概率为：,应力s0处于ds区间内的概率为：,假定(r s0)与 为两个独立的随机事件，根据概率乘法定理，两个独立事件同时发生的概率等于这两个事件单独发生的概率的乘积。这个概率的乘积就是应力在ds区间内零件的可靠度。即
3、：,0,应力s0处于ds区间内的概率为：,对上式s0任意取值，将s在一切可能范围内积分，则为强度r大于所有的可能应力值s的整个概率，也即零件的可靠度为:,0,概率密度函数联合积分法原理,同理，对于给定的强度值r0，如图所示，仿上述步骤，可得出零件可靠度的另一表达式:,2. 功能密度函数积分法求解可靠度,Y=r-s=f(x1, x2,xn),状态方程,该式又称为功能函数,Y0 零件处于安全状态,Ys 时干涉概率或失效概率F50%， r -s =const, r2 +s 2越大，失效概率越大。,（2）当r =s 时干涉概率或失效概率F=50%， 且与r2 、s 2无关,（3）当r 50%， 及可靠
4、度R50%,实际设计中，后两种情况是不允许出现的。一般情况下，应根据具体去情况确定一个最经济的可靠度，即允许应力、强度两种曲线在适当范围内有干涉发生。,例3-1 已知某机器零件的应力s和强度r均为正态分布。其分布参数分别为s 362 Mpa，s 39.5 Mpa， r =500 Mpa， r 25 Mpa。试计算零件的可靠度。,图3-4,因为,查标准正态分布表，查得,习题1： 已知汽车某零件的工作应力s和材料强度r均为正态分布。其分布参数分别为s 380 MPa，s 42 MPa， r =850 MPa， r 81 MPa。试计算零件的可靠度。另一批零件由于热处理不佳使零件的强度标准差增大到r
5、 120 MPa，问其可靠度又如何？,习题2： 拟设计某一汽车的一种新零件，根据应力分析，得知该零件的工作应力为拉应力且为正态分布，其分布参数分别为s 352 MPa，s 40.2 MPa，为提高其疲劳寿命，制造时是产生残余压应力，亦为正态分布： sY =100 MPa， sY 16 MPa。零件的强度分析认为其强度亦服从正态分布， r 502 MPa，但各种强度因素影响产生的偏差尚不清楚，为确保零件的可靠度不低于0.999，试问强度标准差最大是多少？,当X是一个随机变量，且lnX服从正态分布，即lnXN(lnX , 2lnX )时，称X是一个对数正态随机变量，服从对数正态分布。,二、应力和强
6、度均为对数正态分布时的可靠度计算,lnX 和lnX既不是对数正态分布的位置参数和尺度参数，也不是其均值和标准差，而是它的“对数均值”和“对数标准差”。,应力s和强度r均为对数正态分布时，其对数值lns和lnr服从正态分布，即,lnY=ln(r/s) =lnr-lns,则lnY为正态分布的随机变量，其均值lnY、和标准差lnY分别为,代入联接方程，可靠度R表达式为,令,Y=r/s,R(t),对数均值和对数标准差lnr 、lnr 、lns 和lns可由下式求得,若已知对数正态随机变量r和s的均值和标准差，就可求出对数均值和对数标准差，从而求出可靠度。,例题3-2： 已知某机械零件的应力s和强度r均
7、为对数正态分布。其分布参数分别为s 60 MPa，s 10MPa， r =100 MPa， r 10 MPa。试计算零件的可靠度。,解：,s,当应力s和强度r均为指数分布时，其概率密度函数为,三、应力和强度均为指数分布时的可靠度计算,代入,得：,对于指数分布，由于,所以有,r 、s分别为强度和应力的均值,应用可靠度计算的一般方程式可导出应力s和强度r为其它分布时可靠度的计算公式，列于表31。,四、 应力和强度为其它分布时的可靠度计算,可靠度计算的一般方程,表31应力和强度为其它分布时的可靠度计算,表31续,式中：,式中：,3 .3 可靠性安全系数,在传统的设计中，一个零件是否安全可用计算安全系
8、数n大于或等于许用安全系数n来判断，即,上述传统的安全系数计算，一直延用至今，积累了大量数据。其特点是：当强度和应力的离散性很小时，它给出了零件安全性的确切定义，且表达方式直观明确；,lim为零件的强度,ca为零件危险断面上的计算应力,许用安全系数n根据零件的重要性、材料性能数据的准确性及计算的精确性等确定。,这是因为零件的强度、应力和尺寸等，都是随机变量，有较大的离散性。,但是，这种设计方法，把安全系数、强度和应力等参数，都处理成单值确定的变量，并取参数的平均值来计算，这不符合客观情况。,实际上有些零件虽然算得的安全系数大于1，但往往有少数零件仍在规定的使用期内发生破坏。,为了追求安全，传统
9、设计中有时则盲目取用优质材料或加大零件尺寸，形成不必要的浪费。,在安全系数计算中，若把所涉及的设计参数，处理成随机变量，则可将安全系数的概念与可靠性的概念联系起来，建立相应的概率模型，以定量地回答零件在运行中的安全程度与可靠度，这是符合实际的先进方法。,当应力s、强度r是随机变量，则安全系数n定义为强度与应力之比，即n也是随机变量。当已知强度r和应力s的概率密度函数f(r) 和f(s) ，由二维随机变量的概率知识，可算出n的概率密度函数。,当安全系数呈某一分布状态,。可靠度R(t)为安全系数的概率密度函数在区间(1， )内的积分。,可通过下式算得零件的可靠度,定义于可靠度之下的安全系数，称为可
10、靠性安全系数。,当应力s、强度r为服从正态分布的相互独立的随机变量，则随机变量n=r/s也近似服从正态分布。引入标准正态变量,式中 为安全系数n的均值,由此得到可靠度为：,式中,当,表示了安全系数与可靠度之间的关系,由此可确定可靠度.,同时因随机变量n=r/s,由正态分布代数可得安全系数的均值和标准差分别为：,当已知应力和强度的分布参数，便可由上式求出安全系数的均值和标准差。,一、平均安全系数 平均安全系数定义为零件强度的均值和零件危险断面上应力均值之比(只有应力和强度的变异系数较小时才有意义）。即,在机械可靠性设计中，常用下面的可靠性安全系数进行计算：,考虑到,可得平均安全系数为,为把平均安
11、全系数与零件的可靠度联系起来，,工程中常给出强度的变异系数Cr 和应力的变异系数Cs ，由此平均安全系数可表示为：,两边同除以s，并令,应力s和强度r均为对数正态分布时，根据,以上讨论的是应力s和强度r均为正态分布时的可靠性设计安全系数。,于是，可靠性设计的平均安全系数为,说明：,1、r 、s 一定时， Cr 、Cs 的变化对可靠度影响十分显著，能否控制应力和强度的变动范围，是决定可靠性设计成败的关键。特别是应力的变化，目前还难以严格控制，这将造成理论计算与实际结果不相符合的情况。这是一个现实的亟待解决的问题。,2、几何尺寸偏差对可靠度的影响，一般是在假定r 、s 及 Cr 、Cs 完全确定的
12、情况下讨论的。实际上几何尺寸的偏差易于控制，且变动范围远小于应力及强度的变化。所以，一般可以不考虑。,已知某零件材料的强度变异系数Cr0.08，应力变异系数Cs0.10，要求该零件的可靠度R0.95。试估算该零件的均值安全系数。,例 可靠性安全系数的计算,解：将,代入平均安全系数计算公式，得,例：某回转式旋臂起重机的拉杆，直径d=301.2mm，拉杆材料的拉伸强度在206.7372N/mm2范围内变化。吊重时，拉杆受拉力F=13350043720N。要求：1）按常规设计法计算拉杆安全系数；2）计算与安全系数相应的可靠度。,解：,1）计算安全系数,平均应力,平均强度,平均安全系数,按最大应力和最
13、小强度计算最小安全系数,最大应力,最小强度,于是,就常规设计而言，最小安全系数nmin1，说明在极端条件下，拉杆是不安全的。,1）计算可靠度,设变量F、A、 B及d均服从正态分布，根据已知数据可分别求出个变量的均值及标准差。,直径d=301.2mm，均值,标准差,于是,强度均值,强度标准差,强度变异系数,查正态分布表得R=0.99828， F=1-0.99828=0.00127,就可靠性设计而言，拉杆有相当高的可靠度，因为极端工况出现的概率是很小的，最小安全系数nmin=0.763似乎将失效的可能性夸大了，给人一种过于紧张的印象,二、概率安全系数 定义：某一概率值a下零件的最小强度ra(min
14、)与在另一概率值b出现的最大应力sb(max)之比(只有应力和强度的变异系数较小时才有意义）。即,所以,假设应力和强度均服从正态分布，r 、s 、 r 、s 分别为r和s的均值和标准差，由正态分布特性,显然不同的取值a与b ra(min)和sb(max)不同，nR也就不同。,a与b取值要考虑设计要求、运行状况、材质和经济性,通常，工程中取a=95%，b=99%,查正态分布表-1(a)= -1(0.95%)=1.65， -1(b)= -1(0.99)= 2.33,某一概率值下的最小强度与最大应力,使安全系数的含义深化一步，赋予了安全系数评价的新概念,使安全系数与可靠度及应力与强度的分布参数联系起来,而且考虑应力和强度在多大概率下取值，同材料的强度试验及实测载荷的要求结合起来,所以有,代入,三、随机安全系数,当应力s、强度r服从正态分布或对数正态分布时，可以建立安全系数n与可靠度R的关系。,应力s、强度r均为随机变量，安全系数n=r/s也是随机变量。N称为随机安全系数。,当应力s、强度r其他分布时，要建立安全系数n与可靠度R的关系是很困难的。在此种情况下，只能根据切贝雪夫不等式估计n与R的存在范围。,可见，已知应力s、强度r的变异系数，就可以求得n的变异系数，从而可以求得可靠度的范围,
