1、能被 2，5 整除的数的特征同学们都知道，自然数和 0 统称为(非负)整数。同学们还知道，两个整数相加，和仍是整数；两个整数相乘，乘积也是整数；两个整数相减，当被减数不小于减数时，差还是整数。两个整数相除时，情况就不那么简单了。如果被除数除以除数，商是整数，我们就说这个被除数能被这个除数整除；否则，就是不能整除。例如，84 能被 2，3，4 整除，因为 842=42，843=28，844=21，42，28，21都是整数。而 84 不能被 5 整除，因为 845=164，有余数 4。也不能被 13 整除，因为 8413=66，有余数 6。因为 0 除以任何自然数，商都是 0，所以 0 能被任何自
2、然数整除。什么样的数能被 2 或 5 整除。1.能被 2 整除的数的特征因为任何整数乘以 2，所得乘数的个位数只有 0，2，4，6，8 五种情况，所以，能被 2 整除的数的个位数一定是 0，2，4，6 或 8。也就是说，凡是个位数是 0，2，4，6，8 的整数一定能被 2 整除，凡是个位数是 1，3，5，7，9 的整数一定不能被 2 整除。例如，38，172，960 等都能被 2 整除，67，881，235 等都不能被 2 整除。能被 2 整除的整数称为偶数，不能被 2 整除的整数称为奇数。0，2，4，6，8，10，12，14，就是全体偶数。1，3，5，7，9，11，13，15，就是全体奇数。
3、偶数和奇数有如下运算性质：偶数偶数=偶数，奇数奇数=偶数，偶数奇数=奇数，奇数偶数=奇数，偶数偶数=偶数，偶数奇数=偶数，奇数奇数=奇数。例 1：在 1199 中，有多少个奇数？有多少个偶数？其中奇数之和与偶数之和谁大？大多少？【巩固练习】在 20200 的整数中，有多少个偶数？有多少个奇数？偶数之和与奇数之和谁大？大多少？例 2：(1)不算出结果，判断数(524+42-429)是偶数还是奇数？(2)数(42+30-147)能被 2 整除，那么，里可填什么数？(3)下面的连乘积是偶数还是奇数？1357911131415。【巩固练习】不算出结果，直接判断下列各式的结果是奇数还是偶数：(1)123
4、45；(2)1234567；(3)123910；(4)1352123；(5)13-1211-103-21。2.能被 5 整除的数的特征由 05=0，25=10，45=20，65=30，85= 40，可以推想任何一个偶数乘以 5，所得乘积的个位数都是 0。由 15=5，35=15，55=25，75=35，95= 45，可以推想，任何一个奇数乘以 5，所得乘积的个位数都是 5。因此，能被 5 整除的数的个位数一定是 0 或 5。也就是说，凡是个位数是0 或 5 的整数一定能被 5 整除；凡是个位数不是 0 或 5 的整数一定不能被 5 整除。例如，870，6275，1234567890 等都能被
5、5 整除，264，3588 等都不能被 5整除。例 3：由 0，3，5 写成的没有重复数字的三位数中，有哪些能被 5 整除？【巩固练习】用 0，1，2，3，4，5 这六个数码组成的没有重复数字的两位数中，能被 5 整除的有几个？能被 2 整除的有几个？能被 10 整除的有几个？例 4：下面的连乘积中，末尾有多少个 0？1232930。【巩固练习】下面的连乘积中，末尾有多少个 0？2021224950。能被 3 整除的数的特征有没有类似的简便方法，直接判断一个数能否被 3 整除？我们先具体观察一些能被 3 整除的整数：18，345，4737，2567418 能被 3 整除，1+8=9 也能被 3
6、 整除；345 能被 3 整除，3+4+5=9 也能被 3 整除；4737 能被 3 整除，4+7+3+7=21 也能被 3 整除；25674 能被 3 整除，2+5+6+7+4=24 也能被 3 整除。怎么这么巧？我们再试一个：7896852 能被 3 整除，7+8+9+6+8+5+2=45 也能被3 整除。好了，不用再试了，同学们可能已经在想：“是不是所有能被 3 整除的数的各位数字的和都能被 3 整除？”结论是肯定的。它的一般性证明这里无法介绍，我们用一个具体的数来说明一般性的证明方法。由 99 和 9 都能被 3 整除，推知(799+49)能被 3 整除。再由 741 能被 3 整除，
7、推知(7+4+1)能被 3 整除；反之，由(7+4+1)能被 3 整除，推知 741 能被 3 整除。因此，判断一个整数能否被 3 整除的简便方法是：如果整数的各位数字之和能被 3 整除，那么此整数能被 3 整除。如果整数的各位数字之和不能被 3 整除，那么此整数不能被 3 整除。例 5：判断下列各数是否能被 3 整除：2574，38974，587931。【巩固练习】直接判断下列各数能否被 3 整除。25874，978651，1398768,224784789,98744794例 6：六位数 能被 3 整除，数字 a=？【巩固练习】4747444794b293890 能被 3 整除，数字 b=
8、?例 7:由 1，3，5，7 这四个数字写成的没有重复数字的三位数中，有几个能被3 整除？【巩固练习】由 2，3，4，5 这四个数字写成的没有重复数字的三位数中，有几个能被 3 整除？例 8：同时能被 2，3，5 整除的最小三位数是几？【巩固练习】(1)被 2，3 除余 1 且不等于 1 的最小整数是几？(2)被 3，5 除余 2 且不等于 2 的最小整数是几？能被 4，8，9 整除的数的特征数的整除具有如下性质：性质 1 如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能被丙数整除。例如，48 能被 16 整除，16 能被 8 整除，那么 48 一定能被 8 整除。性质 2 如果两个数都
9、能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除。例如，21 与 15 都能被 3 整除，那么 2115 及 21-15 都能被3 整除。性质 3 如果一个数能分别被两个互质的自然数整除，那么这个数一定能被这两个互质的自然数的乘积整除。例如，126 能被 9 整除，又能被 7 整除，且 9 与7 互质，那么 126 能被 9763 整除。利用上面关于整除的性质，我们可以解决许多与整除有关的问题。为了进一步学习数的整除性，我们把学过的和将要学习的一些整除的数字特征列出来：（1）一个数的个位数字如果是 0，2，4，6，8 中的一个，那么这个数就能被 2整除。（2）一个数的个位数字如
10、果是 0 或 5，那么这个数就能被 5 整除。（3）一个数各个数位上的数字之和如果能被 3 整除，那么这个数就能被 3 整除。（4）一个数的末两位数如果能被 4（或 25）整除，那么这个数就能被 4（或25）整除。（5）一个数的末三位数如果能被 8（或 125）整除，那么这个数就能被 8（或125）整除。（6）一个数各个数位上的数字之和如果能被 9 整除，那么这个数就能被 9 整除。其中（1）（2）（3）是三年级学过的内容，（4）（5）（6）是本讲要学习的内容。因为 100 能被 4（或 25）整除，所以由整除的性质 1 知，整百的数都能被4（或 25）整除。因为任何自然数都能分成一个整百的数
11、与这个数的后两位数之和，所以由整除的性质 2 知，只要这个数的后两位数能被 4（或 25）整除，这个数就能被 4（或 25）整除。这就证明了（4）。类似地可以证明（5）。（6）的正确性，我们用一个具体的数来说明一般性的证明方法。837800307810031078（991）3（91）789983937（89939）（837）。因为 99 和 9 都能被 9 整除，所以根据整除的性质 1 和性质 2 知，（8x993x9）能被 9 整除。再根据整除的性质 2，由（837）能被 9 整除，就能判断 837 能被 9 整除。利用（4）（5）（6）还可以求出一个数除以 4，8，9 的余数：（4）一个数
12、除以 4 的余数，与它的末两位除以 4 的余数相同。（5）一个数除以 8 的余数，与它的末三位除以 8 的余数相同。（6）一个数除以 9 的余数，与它的各位数字之和除以 9 的余数相同。例 9：在下面的数中，哪些能被 4 整除？哪些能被 8 整除？哪些能被 9 整除？234，789，7756，8865，3728，8064。【巩固练习】3456，787816，3771,274256,212256例 10：在四位数 562 中，被盖住的十位数分别等于几时，这个四位数分别能被 9，8，4 整除？【巩固练习】从 0，2，3，6，7 这五个数码中选出四个，可以组成多少个可以被 8 整除的没有重复数字的四位数？例 11：五位数 能被 72 整除，问：A 与 B 各代表什么数字？【巩固练习】要使六位数 能被 36 整除，而且所得的商最小，问 A，B，C 各代表什么数字？
