1、第五讲 奇数与偶数及奇偶性的应用1基本概念和知识1奇数和偶数整数可以分成奇数和偶数两大类。能被 2 整除的数叫做偶数，不能被 2 整除的数叫做奇数。偶数通常可以用 2k（k 为整数）表示，奇数则可以用 2k+1(k为整数)表示。特别注意，因为 0 能被 2 整除，所以 0 是偶数。2奇数与偶数的运算性质性质 1：偶数偶数 =偶数奇数奇数=偶数性质 2：偶数奇数 =奇数性质 3：偶数个奇数相加得偶数性质 4：奇数个奇数相加得奇数性质 5：偶数 奇数= 偶数奇数奇数 =奇数例 1. 1231993 的和是奇数？还是偶数？例 2. 一个数分别与另外两个相邻奇数相乘，所得的两个积相差 150，这个数是
2、多少？例 3. 元旦前夕，同学们互送贺年卡。每人只要接到对方贺年卡就一定回赠贺年卡，那么送了奇数张贺年卡的人数是奇数还是偶数？为什么？例 4. 已知 a、b、c 中有一个是 5，一个是 6，一个是 7。求证 ：a1 ，b2，c3 的乘积一定是偶数。例 5. 任意改变某一个三位数的各位数字的顺序得到一个新数 ，试证新数与原数之和不能等于 999。例 6. 用代表整数的字母 a、b、c 、d 写成等式组：abcda=1991abcdb=1993abcdc=1995abcdd=1997试说明：符合条件的整数 a、b、c 、 d 是否存在。例 7. 桌上有 9 只杯子，全部口朝上，每次将其中 6 只同
3、时“翻转” 。请说明：无论经过多少次这样的“翻转” ，都不能使 9 只杯子全部口朝下。例 8. 假设 n 盏有拉线开关的灯亮着，规定每次拉动“n1”个开关，能否把所有的灯都关上？请证明此结论，或给出一种关灯的办法。例 9. 圆周上有 1987 个珠子，给每一珠子染两次颜色，或两次全红， 或两次全蓝，或一次红、一次蓝，最后统计有 1987 次染红，1987 次染蓝。求证至少有一珠子被染上过红、蓝两种颜色。例 10. 如下图 1，从起点始，隔一米种一棵树，如果把三块“爱护树木”的小牌分别挂在三棵树上，那么不管怎样挂，至少有两棵挂牌的树，它们之间的距离是偶数（以米为单位） ，这是为什么？例 11.
4、某校六年级学生参加区数学竞赛，试题共 40 道。评分标准是：答对一题给 3 分，答错一题倒扣 1 分，某题不答给 1 分 。请说明该校六年级参赛学生得分总和一定是偶数例 12. 某校一年级一班共 25 名同学，教室座位恰好排成 5 行 ，每行 5 个座位。把每一个座位的前、后、左、右的座位叫做原座位的邻位。问：让这 25 个学生都离开原座位坐到原座位的邻位，是否可行？例 13. 线段 AB 有两个端点，一个端点染红色，另一个端点染蓝色。在这个 AB 线段中间插入 n 个交点，或染红色，或染蓝色，得到 n+1 条小线段（不重叠的线段） 。求证：两个端点不同色的小线段的条数一定是奇数。练习题（1）
5、有 100 个自然数，它们的和是偶数。在这 100 个自 然数 中，奇数的个数比偶数的个数多。问：这些数中至多有多少个偶数？（2）有一串数，最前面的四个数依次是 1、9、8、7。从第五个数起，每一个数都是它前面相邻四个数之和的个位数字。问：在这一串数中，会依次出现 1、9、8、8 这四个数吗？（3）求证：四个连续奇数的和一定是 8 的倍数。（4）把任意 6 个整数分别填入下图中的 6 个小方格内，试说明一定 有一个矩形，它的四个角上四个小方格中的四个数之和为偶数。（5）如果两个人通一次电话，每人都记通话一次， 24 小时以内 ，在全世界通话次数是奇数的那些人的总数为_。A、必为奇数 B、必为偶
6、数 C、可能是奇数，也可能是偶数 （6）一次宴会上，客人们相互握手。问握手次数是奇数的那些人的总人数是奇数还是偶数？ （7）有 12 张卡片，其中有 3 张上面写着 1，有 3 张上面写着 3，有 3 张上面写着 5， 3 张上面写着 7。有你能否从中选出五张 ，使它们上面的数字和为 20？为什么？（8）有 10 只杯子全部口朝下放在盘子里。你能否每次翻动 4 只杯子，经过若干次翻动后将杯子全部翻成口朝上？（9）电影厅有每排有 19 个座位，共 23 排，要求每一位观众都仅和他邻近（即前、后、左、右）一人交换位置。问：这种交换方法是否可行？（10）由 14 个大小相同的方格组成下列图形，请证明：不论怎样剪法，总不能把它剪成 7 个由相邻两个方格组成的长方形。
