1、第 1 页（共 4 页）待定系数法在递推数列中的应用近几年的高考数学中，递推数列逐渐占据着一席重要的位置. 学生在递推数列的问题上缺少足够的解题技巧，结果屡屡碰壁，失分比较严重. 笔者经过研究，总结出一套行之有效的方法待定系数法，供大家交流.运用待定系数法解决递推问题，关键在于设计出一个理想的、便于解决的模式，解出其中的参数，从而达到解决问题的目的. 下面举例说明.一、型如 an+1=pan+q 的递推数列，其中 p、q 为常数，且 p 1.可设 an+1-x=p(an-x)，易得 x = ，这样将 an-x 作为一个新数列，即为等比q1-p数列，求通项公式就很容易了.例 1 已知数列a n满
2、足 a1=2, an+1=3an+5，求 an的通项公式.解：由已知 an+1+ =3(an+ ), a1+ = ,52 52 5292 an+ 是以 为首项，3 为公比的等比数列，52 92 an+ = 3n-1，即 an= 3n+1- .5292 12 52二、型如 an+1=pan+f(n)的递推数列，其中 p 1 是常数，f(n)是关于 n 的多项式.可设 an+1+g(n+1)=pan+g(n)，其中 g(n)是与 f(n)最高次数相同的多项式，再比较f(n)与 pg(n)-g(n+1)对应项系数从而得出 g(n)各项系数.例 2（2005 山东理）已知数列a n的首项 a1=5，前
3、 n 项和为 Sn，且Sn+1=2Sn+n+5 (n N*).（1）证明数列a n+1是等比数列；（2）略.分析：由 Sn+1+p(n+1)+q=2Sn+(pn+q)可得 Sn+1=2Sn+pn+q-p，则 pn+q-pn+5, ，得出 p=1,q=6.(p=1q-p=5)解：（1）由已知 Sn+1+(n+1)+6=2(Sn+n+6), S1+1+6=a1+7=12, Sn+n+6是以 12 为首项，2 为公比的等比数列， Sn+n+6=122n-1, Sn=32n+1-n-6.n2 时，a n=Sn-Sn-1=32n-1,n=1 时，a 1=5 符合上式， n N*时，a n=32n-1,
4、an+1=32n，即a n+1是以 6 为首项，2 为公比的等比数列.第 2 页（共 4 页）三、型如 an+1=pan+q n的递推数列，其中 p、q、 为常数. =p 时，易知两端同除以 n+1 即可转化为 = + ，以 为新数列即an+1 n+1 an n q an n为等差数列； p 时，可设 an+1- n+1=p(an- n)，易得 = .q -p例 3 （2004 全国理）已知数列a n的前 n 项和 Sn 满足： Sn=2an +(-1)n,n1.（1）略；（2）求数列a n的通项公式；（3）略.分析：由 Sn=2an+(-1)n，易得 n2 时，a n=2an-1+2(-1)
5、n-1，可设 an- (-1)n=2an-1- (-1)n-1，解出 =- .23解：（2）n=1 时，a 1=S1=2a1-1，解得 a1=1.当 n2 时，a n=Sn-Sn-1=2an +(-1)n- 2an-1 +(-1)n-1，得 an=2an-1+2(-1)n-1， an+ (-1)n=2an-1+ (-1)n-1.23 23设 bn= an+ (-1)n，则 bn=2bn-1, b1=a1- = ，23 2313 bn是以 为首项，以 2 为公比的等比数列，13 bn= 2n-1,13 an= 2n-1+ (-1)n-1.13 23四、型如 an+2=pan+1+qan的递推数列
6、，其中 p、q 为常数.可设 an+2- an+1= (an+1- an)，则 + =p, =-q，即为方程 x2=px+q 的两个根.（1）若方程 x2=px+q 有两个不等根 、 ，则由 an+2- an+1= (an+1- an)，可得 an+1 an=(a2 a1) n1 ，由于 、 的对称性，a n+2- an+1= (an+1- an)同样成立，于是又有 an+1 an=(a2 a1) n1 ，由 即可解得 an的通项公式.（2）若方程 x2=px+q 有两个相等的根 ，则由 an+2- an+1= (an+1- an)可得an+1 an=(a2 a1) n1，即为情形三中 =p
7、的类型.例 4（2005 广东）已知数列x n满足第 3 页（共 4 页）则 x1=（ ）1212,(),34,.lim2,nnnxx 若A B3 C4 D53分析：由 x2= (x+1)，解得 x=- 或 1，所以12 12xn-xn-1=- (xn-1-xn-2)=(- )2(xn-2-xn-3)=(- )n-2(x2-x1)= (- )n-1x1, 12 12 12 12xn=(xn-xn-1)+(xn-1-xn-2)+(x2-x1)+x1=x1(- )n-1+(- )n-2+(- )+1,12 12 12 x1 = xn=2, ()limn x1=3，选 B.五、型如 an+1=pan
8、2+qan+r 的递推数列，其中 p、q、r 为常数.可设 an+1-x=p(an-x)2，即 an+1=pan2-2pxan+px2+x，则 . 若有解，(2px= -qpx2+x=r)则可解出 x，令 bn=an-x，可构造出 bn+1=pbn2 这类易于解决的递推式.例 5（2005 江西）已知数列a n的各项都是正数，且满足：01,(4),.2nnN（1）略；（2）求数列 的通项公式 an.n解：（1）由已知 an+1=- (an-2)2+2, an+1-2=- (an-2)2.12 12令 bn=an-2，则 bn=- bn-1212 - bn=(- bn-1)212 1220()n
9、b又 b 0=a0-2=-1, b n= .21(n第 4 页（共 4 页）六、型如 an+1= 的递推数列，其中 p、q、r、s 为常数 .pan+qran+s我们知道，若 q=0，则 = + ，即可转化为第一种情形；1an+1sp1an rp若 q0，可设 an+1-x = -x = = pan+qran+s (p-xr)an+q-sxran+s，令(p-xr)(an-x)-rx2+(p-s)x+qr(an-x)+(rx+s)-rx2+(p-s)x+q=0 （*）（1）若方程（*）有两个不等实根 x1、x 2，则有an+1x1 = (px1r)(anx1)ran+san+1x2 = (px
10、2r)(anx2)ran+spxir0( i=1,2)时， 两式相除可得： = ，数列an+1x1an+1x2 px1rpx2r anx1anx2是等比数列.anx1anx2（2）若方程（*）有两个相等实根 x，则令 bn=anx，所以 bn+1 = ，即可转化为 q=0 的情形.(pxr)bnrbn+(rx+s)例 6（2005 重庆文）数列a n满足 a1=1 且 8an+1an-16an+1+2an+5=0 (n1)，记.1()2n（1）略；（2）求数列b n的通项公式及数列a nbn的前 n 项和 Sn.分析：原式可化为 an+1 = ，由 x = 解得 x= 或 .2an+516-8
11、an 2x+516-8x 12 54解：由已知 a n+1 = ,2an+516-8an an+1- = - = ,12 2an+516-8an 12 6an-316-8an第 5 页（共 4 页） ,118()241362nn naaa bn+1=2bn- ,43 bn+1- =2(bn- ), b1- = - = ,43 43 43 2a4323 bn- 是以 为首项，2 为公比的等比数列，43 23 bn- = 2n-1，即 bn= 2n + (n1).4323 13 43由 得：a nbn= bn+1,()na12 Sn= (b1+b2+bn)+n12=)53= (2n+5n-1).13
