1椭圆中点弦的斜率公式及应用山东高密市第三中学 任志勇 单秀丽二次曲线的中点弦有许多有趣的性质，下面介绍椭圆中点弦的斜率公式，利用它可起到事半功倍的效果定理 设有二次曲线的方程为 、 两点在曲线上， 是弦 的中点， 为坐标原,12nymx点，则 nkOMAB证明 设 、 两点坐标分别为（x 1,y1）,(x 2,y2)，则点 的坐标为（ ） 2,11yx 、 两点在曲线上， ,121nymx2y两式相减得： 02121nx整理得 ，xy21又 ，12kAB21xykOM证毕mnxyABOAB ,21注 特别地，当 时，二次曲线为圆，显然 ，有 nm 1OMABk例 过椭圆 内一点 （，）引动弦 ，求弦 的中1492yx点 的轨迹方程解 设动点 的坐标为（x,y ） ，则 1,xykxykDMABOM由定理得 941整理得 042xyx这就是点 的轨迹方程例 设椭圆 与直线 相交于 、 两点，且 ，又 的中点 12bayx 2AB2与原点 的连线的斜率为 ，求 a、b 的值2解 由定理得（） （）a2,将 代入椭圆方程整理得：xy1 01)(bx设 、 两点横坐标分别为 x1、x 2,则 aa,221 ，baAB4)(12 2)(b即 （）0)(2ba由（） 、 （）解得 .32,1
