1、本科生毕业论文（设计）题 目： 单调有界定理及其应用 学生姓名： 学 号： 专业班级： 指导教师： 完成时间： 2013 年 5 月 10 日 单调有界定理及其应用2目 录0 引言 31 单调有界定理的内容及其证明 3 2 单调有界定理的应用 4 2.1 定理在证明区间套定理中的应用4 2.2 定理在证明柯西收敛准则中的应用5 2.3 定理在证明致密性定理中的应用6 2.4 定理在证明有限覆盖定理的应用62.5 定理在证明级数的敛散性的应用73 总结12参考文献13 致谢13单调有界定理及其应用3【摘要】单调有界定理是极限理论中的一个重要定理，它在数学分析中应用广泛.本文浅淡单调有界定理在实数
2、完备性中的应用，即运用单调有界定理证明实数完备性的几大定理.同时在数列的单调有界定理基础上，利用非负函数的单调性和积分性质，论证了非正常积分和正项级数可以互为比较对象，判断对方的敛散性，并推广应用之.【关键词】单调有界,连续,收敛 ,可积.【Abstarct】 Monotone bounded theorem is an important theorem in the theory of limit which has extensive applications in mathematical analysis. In this article, we study its applicat
3、ions in the real number completeness. For example, we can make use of the theorem to prove some theorems about real number completeness. Furthermore, on the base of monotone bounded theorem of series , we prove that non-regular integral and positive series can be denoted as comparable object for eac
4、h other in order to justify the other convergence by the monotonicity and integral of non-negative functions.【Keywords】monotone bounded , continuous , convergence, integrable.0.引言在现行的数学分析教材中, 通常都把确界原理作为公理给出, 用来反映实数集的连续性(完备性).以此公理作为理论基础, 先证单调有界定理, 用以判别单调数列极限的存在性.至于判别更一般的数列极限是否存在, 就要引用柯西准则, 但柯西准则的充分性证
5、明, 却要放到很后的位置, 作为较难的问题专门处理, 与此相关的判别函数极限存在的柯西准则, 以及在闭区间上连续的函数具有的各种性质的证明, 也就建立在这样一种不甚踏实的基础之上.因此，我们应该用的技能是一个多元关系的观点，自觉的开发技能，引导师范生开发技能.单调有界定理及其应用41.单调有界定理的内容及其证明所谓单调有界定理指的是，实数范围内有界的单调数列必然存在极限，也就是说当实数数列单调上升（或单调下降）且有上界（或下界）时，该数列极限必存在.（注：在本篇论文中以单调上升有上界的情况作为论述对象，单调下降有下界情况与此相同）现对单调有界定理进行证明，证明如下：不妨设 为有上界的递增数列，
6、由确界原理，数列 有上界，记 .na nasupna=下面证明 就是 的极限.事实上，任给 ,按上确界的定理，存在数列 中某0一项 ,使得 .又由 的递增性，当 时有 .NNnanNNn另一方面，由于 是 的一个上界，故对一切 都有 .所以当ana时有 ,这就证得 .同理可证有下界的递减数列必有极限，nnalimn且其极限即为它的下确界.通过以上对单调有界定理的证明，对单调有界定理有了一定的认识与了解，单调有界定理在数学理论证明中应用很广,接下来我将应用单调有界定理来证明区间套定理、柯西收敛准则、致密性定理、有限覆盖定理及数列的敛散性.2.单调有界定理的应用2.1 以单调有界定理来证明区间套定
7、理设 是一个区间套，根据区间套定理可知在实数系中存在唯一的一个点nab ，n=l,2,即： ，n=l,2.这样根据 ， （n=l,2）就可知nbnbnanbN时有 .m具体证明如下：必要性证明：当 有极限时（设极限为a），0，N（N 为正整数）.当n，mN 时，| -n naa| 时，有| - | 时| | |+1，即0N0n01Na+0Nn01N+ 有界.然后设a b，我们可用如下方法取得 的一个单调子列 ，nan n kn（1）取 ，这样就使得a, 或 ,b中都含有无穷多的 的项.knaknkn a单调有界定理及其应用6（2）在a, 或 ,b的区间中取 且满足条件（1），并且让 .knak
8、n1kna+n 1kkn+（3）在取顶时要保持方向的一致性，即要么由 ，要么由 ，这时通过数列ba的性质可知，以上三点可以做到，这样取出的一个数列 ，且 是一na knnkn个单调有界数列，由此可知该数列必存在极限，设该极限值为a.接下来要证明的是数列 收敛于a.na由于 ，则对于任意给定的0，都存在正整数K，在当kK 时存在| -limkn knaa|N 时| - |N 和 k+lk，所以当nN 时，| -a| -0n01kn+0 n|+| -a|1时收敛，当p1 时11,2323nppanpR na发散.（I）当p=1 时 即是我们常见的调和级数，它是发散的.运用定理，n同样可以判断它是发
9、散的.因为 在1,+)单调递减且非负1()fx极限存在 记11()nnkAffxd limnA11()()nnnkaffxd又 lnnfxd当n 时， 是发散的，所以1()lnfxd imna即 在p=1 时是发散的na取 在1,+)，p0 时是递减的且非负， 极限存在 ()pfx 11()()nnkAffxd记为 ，limnA11()23nnpppkkaf n= .()nnfxd单调有界定理及其应用12（II）当p1 时 1nnpadx因为 ，且p1，所以当n 时，11nnppdx有 趋于11nppdxn即 收敛 在p1 时收敛.1np1()nkaf（III）当0p1 时， 1nnpadx因
10、为 ，且0p1，所以当n 时，1npnpdx有 发散，11nppdxn即 在0p1 是发散的.1()nkaf（IV）当p0 时 是单调递增无上界 ,所以是发散的.nlimna通过对例2 的讨论，我们可以看出运用定理不仅解决了2 的情况而且当2 的情况也清楚了.从中不难发现运用定理将级数敛散性问题转化为积分与数列的敛散性问题，从而降低了难度，也使许多问题归纳成系统.所以在今后判断敛散性问题上，可依据题意要求灵活运用定理加以判断.3.总结单调有界定理是极限理论中的一个重要定理，它在数学分析中常用于数列及函数的收敛性，并且单调有界定理与实数完备性也密切相关.以上通过利用单调有界定理在实数完备性中的应
11、用，即运用单调有界定理证明了实数完备性的几大定理（区间套定理、柯西收敛准则、致密性定理、有限覆盖定理）;同时在数列的单调有界定理基础上，利用非负函数的单调性和积分性质，论证了非正常积分和正项级数可以互为比较对象，判断对方的敛散性，并推广应用之.单调有界定理及其应用13参考文献1胡永生.浅谈致密性定理的不同证明方法J.中国校外教育,2008,(3).2马爱江.单调有界数列必有极限与柯西收敛准则等价性证明J.新疆教育学院学报，2004，（55-57).3华东师范大学数学系编.数学分析（上，下）M.高等教育出版社.4闫彦宗,陈海鸿,岳晓红.可积性与原函数存在性的关系J;安庆师范学院学报(自然科学版)，2006 年 02期.5华东师范大学数学系，数学分析第三版M，北京：高等教育出版社，2001:52-63.6East China noemal university mathenatics Ed,J,Mathematical analysis of higher education,2001.7冯孔荣，用有限覆盖定理直接证明关于实数的其它几个定理J，恩施师专学报，1982（02）.致谢：感谢我的导师方爱香老师，她严谨细致、一丝不苟的作风一直是我工作、学习中的榜样,在这里请接受我诚挚的谢意！
