1、第四章,电磁波的传播,本章重点： 1、电磁场波动方程、亥姆霍兹方程和平面电磁波 2、反射和折射定律的导出、振幅的位相关系、偏振 3、导体内的电磁波特性、良导体条件、趋肤效应 4、了解谐振腔和波导管中电磁波的运动形式 本章难点： 1、振幅的位相关系 2、导体内电磁波的运动 3、波导管中电磁波解的过程,电磁波传播问题在无线电通讯、光信息处理、微波技术、雷达和激光等领域都有着重要的应用。,随时间变化的运动电荷和电流辐射电磁场，电磁场在空间互相激发，在空间以波动的形式存在，这就是电磁波。,传播问题是指：研究电磁场在空间存在一定介质和导体的情况下的波动。在真空与介质、介质与介质、介质与导体的分界面上，电
2、磁波会产生反射、折射、衍射和衰减等等，因此传播问题本质上是边值问题。,引 言,电磁波在空间传播有各种各样的形式，最简单、最基本的波型是平面电磁波。,一、电磁场波动方程,1自由空间电磁场的基本方程,2真空中的波动方程,能否直接用到介质中？,1 平面电磁波,若电磁波仅有一种频率成分,若电磁波具有各种频率成分，则：,实际上具有各种成分的电磁波可以写为：,3介质的色散,由此可知，由于 以及 ，而不能将真空中的波动方程简单地用 代 、 代 转化为介质中的波动方程。,4时谐波（又称定态波）及其方程,时谐波是指以单一频率 做正弦（或余弦）振荡的电磁波（又称为单色波或者定态电磁波）。,这种波的空间分布与时间t
3、无关，时间部分可以表示为 ，因此有以下关系成立：,对单一频率 、 成立。介质中波动方程为：,（或者 ）,对时谐波,称为时谐波的亥姆霍兹方程（其中 称为波矢量）,同理可以导出磁感应强度满足的方程,1平面波解的形式,证明上面的解满足亥姆霍兹方程：,亥姆霍兹方程有多种解：平面波解，球面波解，高斯波解等等。其中最简单、最基本的形式为平面波解。,三、平面电磁波,（1）解为平面波,设 S 为与 垂直的平面。在S 面上相位,= 常数，因此在同一时刻，S 平面为等相面，而波沿 方向传播。,2平面电磁波的传播特性,波长定义：两相位差为 的等相面间的距离。,（3）横波特性(TEM波）,（2）波长与周期,（4） 与
4、 的关系,证明：,几点说明,a) 与 同相位；,c) ，振幅比为波速（因为相互垂直且 ）。,b),构成右手螺旋关系,证明：,（5）波形图,假定在某一时刻（ ），取 的实部。,k,作为平面波解， 也可以是复函数。,的方向也会发生变化。当 为实数时， 的大小随 做周期变化，但方向总在一个方向（直线）上，因此称为线偏振。,因为亥姆霍兹方程的解一般可表达为复矢量函数， 不仅在大小上是 的函数，而且随 的变化，,3平面电磁波的偏振特性,实部分量为：,（1）线偏振： ，,实部分量,与 轴夹角 与 无关，因此在波动过程中的大小变，而方向不变。,为实数,（2）椭圆偏振：,两相位差为 、振幅不同、振动方向垂直的
5、振动的合成。,当 时，为圆偏振,4平面电磁波的能量和能流,电磁能量传播方向与电磁波传播方向一致,（1）判断电场强度的方向和波传播的方向； （2）确定频率、波长和波速； （3）若介质的磁导率 求磁场强度； （4）求在单位时间内从一个与 平面平行的单位面积通过的电磁场能量。,（2）,例一：有一平面电磁波，其电场强度为,（3） ， ， ，,（4） ：单位时间垂直通过单位横向截面的能量,（ 与 同相位同频率， 与 垂直且与 垂直，故它在 轴方向）。,解：设两个电磁波分别为,例二、两个频率和振幅均相等的单色平面电磁波沿z轴传播，一个波沿x方向偏振，另一个波y 沿方向偏振，但其相位比前者超前 ，求合成波的
6、偏振。,合成波为,同样一个右旋圆偏振波可分解为两个相互垂直的线偏振波，且沿y轴波比x轴波相位超前 。,补充例题：已知自由空间的均匀平面波的电场表示式为式中的 为待定量。试由该表示式确定：（1）波的传播方向和角频率；（2）与 相伴的磁场 ；（3）平均能流密度矢量。,已知：,电磁波入射到介质界面上，会发生反射、折射现象(如光入射到水面、玻璃面)。反射、折射定律有两个方面的问题： （1）入射角、反射角和折射角之间的关系问题； （2）入射波、反射波和折射波振幅和相位的变化关系。反射、折射既然发生在界面上，就属于边值问题。从电磁场理论可以导出反射和折射定律，也从一个侧面证明麦氏方程的正确性。,2. 电磁
7、波在介质界面上的反射和折射,1电磁场的边值关系,2反射、折射定律的导出过程,（1）假设入射波为单色平面电磁波，反射、折射电磁波也为平面电磁波,一、反射和折射定律,对于绝缘介质,（2）波矢量分量间的关系,且 和 在一个平面内,证明,两边除以,两边对x求偏导,（4）入射、反射、折射波矢与z轴夹角之间的关系,二、振幅和位相的关系,1 垂直入射面（ 平面）,2 平行入射面（ ）,入射面，假定 与 方向相同,由边值关系得：,3 在任意方向，可以分解为,（1） ，从光疏煤质到光密煤质,但是 与 总是同相位。,4相位关系分析,（2） ，从光密煤质到光疏煤质,结论：（1）入射波与折射波相位相同，没有相位突变；
8、（2）入射波与反射波在一定条件下有相位突变。,但 与 相位总是相同,对于 垂直入射情况：由于按假定方向， 与 同方向，即同相位；若 与假定反向， 与 反方向，即相位差 ，这种现象称为半波损失（在一般斜入射时，有 分量， 、 与 方向不同，谈不上半波损失）。,是指电磁波的入射方向,具体分析请看一篇文章,半波损失的详细分析过程,5偏振问题,这样，反射和折射波就被变为部分偏振光（各 个方向上 大小不完全相同）。,（2）布儒斯特定律：若 则反射波 ，即反射波只有 分量；若自然光入射，则反射波为完全线偏振波。,（1）入射为自然光（两种偏振光的等量混合，在各个方向上 均相同，即 ）,由菲涅尔公式,6正入射
9、（ ）的菲涅尔公式,补充作业：从边值关系导出正入射的菲涅尔公式,1全反射现象,特别是当 时，折射定律的原形式将失去意义，这时一般观察不到折射波，只有反射波，因而称作全反射。实际上仍然有波透射入第二种介质，但是透射波仅仅存在于界面附近薄层中。,折射定律,三全反射,2全反射情况下 的表达式,设 为全反射情况下的平面波解，仍然假定入射波在 平面，即 ，,（但 ）,全反射条件为 ，由 、 得,复数,为实数,垂直入射时：,振幅大小相等，有相位差,平行入射时：,折射波平均能流密度,入射到界面上的能量全部被反射，因此称为全反射,4全反射情况下振幅和相位关系,引言 （1）真空或介质中电磁波传播可视为无能量损耗
10、，电磁波无衰减； （2）电磁波遇到导体，导体内自由电子在电场的作用下运动，形成电流，电流产生焦耳热，使电磁波的能量不断损耗，因此在导体内部电磁波是一种衰减波； （3）在导体中，交变电磁场与自由电子运动相互作用，使导体中电磁波传播不同于真空或介质中电磁波的传播形式。,3 有导体存在时电磁波的传播,在变化电磁场中，导体不再处于静电平衡状态，必然有体电荷分布， 分布随时间变化形成电流，产生附加变化电磁场，形成导体内总电磁场分布，又影响 。,1静电场中导体上的电荷分布,静电平衡时，电荷仅分布在表面上，导体内部无电荷，且电场强度垂直导体表面。,2变化场情况下的电荷分布,本节仅讨论均匀导体。,一导体内的自
11、由电荷分布,为特征时间或驰豫时间，表示 减小到 所需时间。,3良导体条件,二导体内的电磁波,1基本方程（导体内部）,良导体中电流也在表面薄层内分布，一般仍用体电流分布来解决问题。注意：用了体电流分布，面电流必须视为零。在特殊情况下采用面电流分布时，就不能再考虑体电流分布。,（1）引入复介电场数,实部为位移电流的贡献；虚部为传导电流的贡献，引起能耗（耗散功率 ）。 因此，时谐波方程组与介质中时谐波方程组形式上完全一样 。,（2）直接写出亥姆霍兹方程,（ 3）平面波解仍可写作,2导体中的平面波解,3 、 的意义及表示式,（1）平面电磁波解改写为：,（2） 、 与 间的关系式,（即 分界面指向导体内
12、部，波 沿 方向衰减）,（3）平面波从介质入射到导体表面,由,解出：,，相速为 。,对良导体情况： ，、 几乎同方向。,（推导过程：因为 ，则又 ，对导体,所以 。）,对正入射： ，,与 均沿z轴正方向；介质中 ，所以,良导体情况下： （ ）。,三穿透深度和趋肤效应,在导体中的平面波为（在 情况下）,2趋肤效应：对于良导体，当电磁波频率为交变频率时，电磁场及交频电流集中在导体表面薄层。 例如，当 兆赫，铜,3导体内磁场与电场的关系,对良导体,且 ， 因此，电场与磁场有 的相位差。,振幅比： 则有,在真空或介质中 ，两者比较可见导体中磁场比真空或介质中磁场重要的多，金属中电磁能主要是磁场能量。,
13、四导体表面上的反射,真空正入射，,反射系数为,作业：P179：1. 2. 3,TEM波：电场和磁场在垂直传播方向上振动的电磁波。平面电磁波在无界空间中传播时就是典型的TEM波。,一有界空间中的电磁波,1无界空间中横电磁波（TEM波）,2有界空间中的电磁波边值问题,金属一般为良导体，电磁波几乎全部被反射。因此，若空间中的良导体构成电磁波存在的边界，特别是若电磁波在中空的金属管中传播，金属边界制约管内电磁波的存在形式。在这种情况下，亥姆霍兹方程的解不再是平面波解。,4 谐振腔,二理想导体边界条件,讨论 的理想导体(一般金属接近理想导体)。假定它的穿透深度 （ ）。,1一般边值关系,（由于边界为理想
14、导体，故认为导体内 ，因此只有面电流分布）设 为导体的电磁场量， 为真空或绝缘介质中的电磁场量， 。,2理想导体内部,，用 代替,则在界面上：,定 态 波,3理想导体为边界的边值问题,三谐振腔,低频电磁波可采用 回路振荡器产生，频率越高，辐射损耗越大，焦耳热损耗越大（因为 ， 越小，电容电感不能集中分布电场和磁场，只能向外辐射；又因趋肤效应，使电磁能量大量损耗）。,用来产生高频振荡电磁波的一种装置由几个金属板或反射镜（光学）构成，称为谐振腔。,（1）由6个金属壁构成的空腔,6 个面在直角坐标中表示为,（2）设 为腔内 的任意一个直角分量,每个分量都满足,1矩形谐振腔的驻波解,（3）分离变量法求
15、解,2边界条件确定常数,（1）考虑,对 ，,假定,（2）考虑,3谐振波型,（1）电场强度,两个独立常数由激励谐振的信号强度来确定,（2）谐振频率（本征频率）：,（3）讨论,l 给定一组 ，解代表一种谐振波型（在腔内可能存在多种谐振波型的迭加）；只有当激励信号频率 时，谐振腔才处于谐振态。,l 中不能有两个为零,若 则,对每一组 值，有两个独立的偏振波型这是因为对于确定的 可分解到任意两个方向。,设 ，则最低谐振频率为,l 最低频率的谐振波型,（1，1，0）型,但在一般情况下，,作业：P179：4、5、7、8,1低频电路情况,虽然能量在场中传播，但在低频时，场在线路中的作用可由一些参数（电压、电
16、流、电阻和电容等）表示出来，不必直接研究场的分布，用电路方程即可解决。对于低频电力系统一般用双线传输或采用同轴线传输。同轴线传输是为了避免电磁波向外辐射的损耗及周围环境的干扰，但是频率变高时，内线半径小，电阻大，焦耳热损耗严重，趋肤效应也严重。,一高频电磁波能量的传输,5 波导管,高频情况场的波动性明显，电容、电感等概念一般不再适用，线路中电流也具有波动性，电压概念不再适用于高频情况，电路方程求解一般不适用。在有线通讯中，高频电磁波若用双线或同轴线传输，能量因热损耗损失严重。在高频情况常常用一根空心金属管（波导管）传输电磁波，多用于微波范围。,2高频情况,二理想导体边界条件,讨论 的理想导体(
17、一般金属接近理想导体)。假定它的穿透深度 （ ）。,1一般边值关系,（由于边界为理想导体，故认为导体内 ，因此只有面电流分布）设 为导体的电磁场量， 为真空或绝缘介质中的电磁场量， 。,2理想导体内部,，用 代替,则在界面上：,1矩形波导管,让电磁波沿 轴传播,2解的形式,四个壁构成的金属管，四个面为,三矩形波导中的电磁波,其中 满足亥姆霍兹方程,令 代表电场强度任意一个直角坐标分量，它也必然满足上述方程。令： 则有,特解为：,3边界条件定常数,其中两个常数 由激发源功率确定 。,（1）当 为横波（横电波，即 TE 波）由上式得出 ，所以 、 不能同时为横波；,4 的解由 确定,不能同时为零,
18、（2）当 为横波， ， ，横磁波（TM波）,四截止频率,（3）不同的 ，有不同的TE 和TM（ ）,要使管中有波传播， 必须使,一般把波长 的波，称为超短波，即微波。,截止频率为：,作业：9、10、13、14,例,矩形波导a=22.86mm,b=10.16mm f=14GHz的波在其中传输,波导中有多少传播模？,解：,模式可以传播的条件为：,当 时,当 时,例2:已知矩形波导尺寸,计算在什么频率范围仅传单模.,解:,单模传输的波长范围,可以传输,当 时,由 可知,因此当 时可以实现单模传输。,例：同轴传输线内导线半径为a，外导线半径为b，两导线间为均匀绝缘介质。导线载有电流I，两导线间电压U。（1）忽略导线电阻，计算介质中的能流密度 和传输功率。（2）设内导线的电导率为 ，计算通过内导线表面进入导线内的能流，证明它等于导线的损耗功率。,解：（1）以距对称轴为r的半径作一圆周（ ),应用安培环路定理，由对称性得,设内导线单位长度的电荷 （电荷线密度）为,应用高斯定理,所以能流密度为,为沿导线轴向单位矢量。,两导线间的电压为,所以,即为通常在电路问题中的传输功率表示式，这功率是在场中传输的。,能流图,返回,
