1、解的存在唯一性定理利用逐次逼近法，来证明微分方程 的初值问题 的解存在与唯一性定理。(,)dyfx00(,)()dyfxyx一、 【存在、唯一性定理叙述】如果方程 的右端函数 在闭矩形区域 上满足如下(,)dyfx(,)fxy000:,Rxaxyby条件：（1） 、在 上连续；R（2） 、在 上关于变量 满足利普希茨条件，即存在常数 ，使对于 上任何一点 和 有以y NR,xy,下不等式： 。|(,),|fxfN则初值问题 在区间 上存在唯一解 ，0(,)dyfx00xhxh0(),yxy其中 0 (,)min,ma(,)xyRbhaMfy二、 【证明】逐步迫近法：微分方程 等价于积分方程 。
2、(,)dyfx0(,)xyfyd取 ，定义0()x01(,),1,23.xnnyfd可证明 的 满足积分方程。lim()nx)通过逐步迫近法可证明解的存在唯一性。命 题 1：先证积分方程与微分方程等价：设 是微分方程 定义于区间 上满足初值条件()yx(,)dyfx00xhxh的解，则 是积分方程 定义于区间 上的连续解。0()x()0(,)xyfyd00xh反之亦然。证： 因 是微分方程 的解，有()yx(,)dyfx(),()xfxd两边从 到 取定积分，得：0x 0 00)(,),xfh代入初值条件 得：0()y0(,xydxx即 是积分方程 定义于区间 上的连续解。()yx0,)xfd
3、00hh反之，则有 0 0()(,xyxx微分得： ,df且当 时有 。即 是微分方程 定义于区间 上满足0x0()xy()x(,)dyfx00xhxh初值条件 的解。()y现取 ，代入积分方程 的右端，所得函数用 表示，则0x0(,)xyfyd 1()x，再将 代入积分方程 的右端，所得函数用 表示，01()(,)xyfyd1()x0(,)xfyd 2()x则 ，以上 称为 1 次近似, 称为 2 次近似。以此类推得到 次近似021 2n。0()(,)xnnyfx从而构造逐步迫近函数序列为： 00 001() 1,2(,),xnnyxhxnfd 命 题 2：对所有 ,函数序列 在 上有定义、
4、连续且满足不等式n()x0hh0()nxyb证：当 时，1n。显然 在 上有定义、连续且有01()(,)xyfyd1()x00hxh，即命题 2 当 时成立。0001 0()()(,)(,)|xxnxyyfydfydxMhb 1n由数学归纳法，设命题 2 当 时成立，则对 有：nk1nk01()(,)xkkyfdx知 在 上有定义、连续且有0hh 01 0()(,)|xkkyfdxMhb命题 2 当 时也成立。1nk由数学归纳法原理得命题 2 对所有 均成立。n命 题 3：函数序列 在 上一致收敛。()nx00hxh证：只须考虑级数 -（*）0101()(),k xh在 上一致收敛。00xhx
5、h因其部分和为： ，因 ，11()()()()nknxx01 0()(,)|xxfdxM0 0 0 221 00()|(,)(,)|()|!x xx NxffdNdMN 设对 成立 。n11)|,!nnnMLxh则当 时有00xhxh0 0 0 11 1 1 0()|(,)(,)|()()|!()!nnx xnnnnnnnx NMNffxdNxddx 即对所有 ，在 成立 。k0hh0()()!kkMh其右端组成正项收敛级数 1!kM由魏氏判别法，级数（*）在 上一致收敛。即 在 上00xhxh()nx00hxh一致收敛。命题 3 得证。现设 lim()nx则 在 上有定义、连续且00hxh0
6、()xyb命 题 4： 是积分方程 在 上的连续解。()0(,xyfd 0hxh证： 由利普希茨条件 及 在 上一致收(,),)()nnffN()n00xxh敛于 ，知函数序列 在 上一致收敛于 。()x,x00xhxh,()f于是 即0 011lim()li(,)lim(,)xxnnnn nxyfdyfxd 0()(,)xyfdx是积分方程 在 上的连续解。()x0,xf 0hh命题 5：设 是积分方程 在 上的另一连续解。则()x0(,)xyfyd00xhxh。00() )xh证： 现证 也是序列 在 上的一致收敛极限函数。由 ，()x(nx00hxh 0()xy，01(),1)xnnyfd 0(,)xyfd得：，00 0()|(,)|xxfdxM。0 0 0221 0|,(,)|()|!x xx MNNffdNxdNdx设 ，则10()|!nnnx。由数0 0 0 11 1 0|(,)(,)|()|!()!nnx x xnnn nxffdxddx 学归纳法，对所有 ，有 。0()|()!nMNx因此，对所有 ，在 有 成立。但当 时 。n00xhh10()!nnNxhn10()!nMNh故 在 上的一致收敛于 。由极限的唯一性，得()nx0 ()。0)hx
