1、第六章 二阶电路,上海交通大学本科学位课程,2003年8月,6.1线性定常RLC电路的零输入响应,二阶电路是含有两个独立储能元件的线性定常电路。描述这种电路的方程是二阶线性常微分方程。,一、RLC串联电路的零输入响应,RLC串联电路的零输入响应,为线性常系数二阶齐次微分方程,特征方程：LCs2+RCs+1=0,称为电路的阻尼常数（衰减）,称为电路的谐振角频率,对于R、L、C不同的参数，特征根可能为： (1)两个不等的负实根；(2)一对相等的负实根; (3) 实部为负的共轭复根。(4) 共轭虚根。,根据初始条件可得：,当0 或 时，s10，s20，s1s2，为两个不相等的负实根。则,vC(t)是
2、以V0为起始值的单调衰减,方向不变。,当t从0变到时，,由此可见，电容器在全部时间内一直放电，这种单向放电称为非周期（非振荡）放电，或过阻尼放电。,过阻尼情况：,从上式可看出，iL(t)在整个暂态过程中方向也不变，但其初始值和终值均为零，所以在暂态过程中必有一个最大值。 设最大值出现时刻为tm。,iL(t)的绝对值达到最大。,uL(t)是以-V0为起始值,在tm时刻过零，终值为零的暂态过程，方向变化的,vL(t) 达到最大值。,过阻尼情况：,在0ttm期间，,电容放出能量供给电阻和电感。,在tm t期间，,电容和电感共同放出能量供给电阻。,由,当=0 或 时，s1=s2=-=-0=s，为两个相
3、等的负实根。则,根据初始条件可得：,uC(t)的放电仍然是非振荡性的；由于此时电路处于非振荡性放电和振荡性放电的分界点，所以称为临界阻尼情况。,iL(t)的绝对值达到最大。,vL(t) 达到最大值。,当0 时，,特征根为一对共轭复根：,为振荡的角频率,且有关系：,其通解：,由初始条件决定K和,可得：,其中uC 、 i 、uL的波形为衰减振荡状态。储能元件周期性地交换能量。,称为欠阻尼情况。,见P208页图6.6,当=0时，s1,2=j0，为一对共轭虚根。则,从uC(t) uL(t) iL(t)的表达式可看出，都是按正弦规律振荡，不衰减，也称为无阻尼情况。,A 当0 时，s10，s20，s1s2
4、，为两个不相等的负实根。称过阻尼情况,结论：,B 当=0 时，s1=s2=-=-0=s，为两个相等的负实根。称临介阻尼情况,结论：,C 当0时，s1,2=-j0，为一对共轭复根。称欠阻尼情况,D 当=0时，s1,2=j0，为一对共轭虚根。称无阻尼情况,结论：,，d影响零输入响应的波形。 反映了响应的衰减特性，其大小决定了衰减的快慢。 d反映了振荡的快慢。,品质因数：表征电路固有特性,对于RLC串联电路,1.过阻尼,即,2.临介阻尼,3.欠阻尼,4.无阻尼,同样可根据Q值的大小，预估零输入响应的波形,例：利用该电路可产生强大的瞬间电流。,已知开关K在a端时，电容被充电到U0=105V,此时K由a
5、合向b，求iL及其最大值。,已知R=510-4，L=6 10-9 H，C=1500 F,为欠阻尼情况,第六章 二阶电路,上海交通大学本科学位课程,2003年8月,6.2线性定常RLC电路的零状态响应,根据KVL可得：,初始条件为：,可得,为齐次微分方程的解。,6.2.1 RLC串联电路的阶跃响应,根据初始条件：,可得,1. 过阻尼情况,2. 临界阻尼情况,根据初始条件可得：,3. 欠阻尼情况,电容电压在激励电压值附近作衰减振荡，最大值可接近电源电压的两倍，产生过电压现象。,图为电火花加工器的原理图,当电容电压达到工作电极和金属工件间隙的击穿电压时，间隙处产生火花，电容通过间隙放电，然后电源对电
6、容再次充电，重复上述过程。,50,0.06H,1F,4. 无阻尼情况,6.2.2 RLC电路的冲激响应,由于电路受冲击电压作用，当t0时，(t)=0，且t0+时有：,由电路受冲激函数激励的特点，求出初始条件 uC(0+) ， iL(0+),对下式在 t=0- 到0+ 区间积分,由于uC(t)不可能是阶跃函数或冲击函数，所以,t 0+时：,1. 过阻尼情况,2. 临界阻尼情况,3. 欠阻尼情况,另一方面根据线性电路，冲激响应h(t)与阶跃响应s(t)的关系：,可以利用电路的阶跃响应求解电路的冲击响应。,全响应=零输入响应+零状态响应 = 自由分量 + 强制分量 = 暂态分量 + 稳态分量,6.3
7、线性定常RLC电路的完全响应,注意：全响应既不是初始条件，也不是输入的线性函数。,解 KVL：,支路关系：,电路方程：,例 求正弦激励下的全响应vC(t)初始条件iL(0-)=2A，vC(0-)=1V,特征方程 ：,特征根 ：s1=-1，s2=-2,齐次解：,方程的解：,特解：与输入同频率的正弦量vp=Acos(2t+) 其中A、为待定值。,特解应满足方程：,代入原方程可求得：A=0.316，=-108.4,所以 vp=0.316cos(2t-108.4),因此,其中,解得,由初始条件定积分常数,GLC并联电路的响应可根据与RLC串联的对偶关系得到,6.4 GLC并联电路的响应,例：,电路如图，uC(0-)=0， iL(0-)=0，G=210-3S，C=1F，L=1H，iS=1A，t =0时开关S打开。求：阶跃响应iL 、 uC 、 iC,为临界阻尼情况,
