1、1超几何分布与二项分布的区别知识点 关键是判断超几何分布与二项分布判断一个随机变量是否服从超几何分布,关键是要看随机变量是否满足超几何分布的特征:一个总体(共有 N个) 内含有两种不同的事物 ()AM个 、 ()BN个 ,任取 n个,其中恰有 X个 A.符合该条件的即可断定是超几何分布,按照超几何分布的分布列()knMNCP（ 0,12,m ）进行处理就可以了 .二项分布必须同时满足以下两个条件:在一次试验中试验结果只有 A与 这两个,且事件 A发生的概率为 p,事件 A发生的概率为 1p；试验可以独立重复地进行,即每次重复做一次试验,事件 发生的概率都是同一常数 ,事件 发生的概率为 1p.
2、1、某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为23.现有 10 件产品，其中 6 件是一等品，4 件是二等品.() 随机选取 1 件产品，求能够通过检测的概率；() 随机选取 3 件产品，其中一等品的件数记为 X，求 的分布列；() 随机选取 3 件产品，求这三件产品都不能通过检测的概率.2、第 26 届世界大学生夏季运动会将于 2011 年 8 月 12 日到 23 日在深圳举行,为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了 12 名男志愿者和 18 名女志愿者。将这 30 名志愿者的身高编成如右所示的茎叶图（单位:cm）：若身高在 175cm 以
3、上（包括 175cm）定义为“高个子” ，身高在 175cm 以下（不包括 175cm）定义为“非高个子”,且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”.（）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中中提取 5 人,再从这 5 人中选 2 人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？（）若从所有“高个子”中选 3 名志愿者，用 表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出 的分布列，并求 的数学期望.23、某地区对 12 岁儿童瞬时记忆能力进行调查,瞬时记忆能力包括听觉记忆能力与视觉记忆能力.某班学生共有 40 人,下表为该班学生瞬时记忆能力的调查结果.例如表中听觉记忆能力为中等,且视觉记忆
4、能力偏高的学生为 3 人.视觉记忆能力 视觉 偏低 中等 偏高 超常偏低 0 7 5 1中等 1 8 3 b偏高 2 a0 1听觉记忆能力超常 0 2 1 1由于部分数据丢失，只知道从这 40 位学生中随机抽取一个,视觉记忆能力恰为中等,且听觉记忆能力为中等或中等以上的概率为25.（）试确定 a、 b的值；（）从 40 人中任意抽取 3 人,设具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生人数为 ,求随机变量 的分布列.4、在某校教师趣味投篮比赛中,比赛规则是: 每场投 6 个球，至少投进 4 个球且最后 2个球都投进者获奖；否则不获奖. 已知教师甲投进每个球的概率都是23（）记教师甲在每场的
5、 6 次投球中投进球的个数为 X，求 X 的分布列及数学期望；（）求教师甲在一场比赛中获奖的概率；（）已知教师乙在某场比赛中，6 个球中恰好投进了 4 个球，求教师乙在这场比赛中获奖的概率；教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率相等吗？ 听觉3H CA1 A2B1 B2L1L2A35、为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合格的概率为16，第二轮检测不合格的概率为10，两轮检测是否合格相互没有影响.（）求该产品不能销售的概率；（）如果产品可以销售，则每件产品
6、可获利 40 元；如果产品不能销售，则每件产品亏损 80 元（即获利-80 元）.已知一箱中有产品 4 件，记一箱产品获利 X 元，求 X 的分布列，并求出均值 E(X).6、张先生家住 H 小区，他在 C 科技园区工作，从家开车到公司上班有 L1，L2 两条路线（如图） ，L1 路线上有 A1，A2，A3 三个路口，各路口遇到红灯的概率均为12；L2路线上有 B1， B2 两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为34， 5（）若走 L1 路线，求最多遇到 1 次红灯的概率；（）若走 L2 路线，求遇到红灯次数 X的数学期望；（）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助张先生从上述两条路线中选
7、择一条最好的上班路线，并说明理由47、某商场一号电梯从 1 层出发后可以在 2、3、4 层停靠.已知该电梯在 1 层载有 4 位乘客，假设每位乘客在 2、3、4 层下电梯是等可能的.() 求这 4 位乘客中至少有一名乘客在第 2 层下电梯的概率；() 用 X表示 4 名乘客在第 4 层下电梯的人数，求 X的分布列和数学期望.8、某射击小组有甲、乙两名射手，甲的命中率为 123p，乙的命中率为 2p，在射击比武活动中每人射击发两发子弹则完成一次检测，在一次检测中，若两人命中次数相等且都不少于一发，则称该射击小组为“先进和谐组”；（）若 21p,求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组 ”的概率；（）
8、计划在 2011 年每月进行 1 次检测，设这 12 次检测中该小组获得“先进和谐组”的次数 ，如果 5E,求 2p的取值范围.9、 A、 B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验。每个试验组由 4只小白鼠组成，其 中 2 只服用 A，另 2 只服用 B，然后观察疗效。若在一个试验组中，服用 有效的小白鼠的只数比服用 有效的多，就称该试验组为甲类组。设每只小白鼠服用 有效的概率为 3,服用 有效的概率为1.（）求一个试验组为甲类组的概率；（）观察 3 个试验组，用 表示这 3 个试验组中甲类组的个数，求 的分布列和数学期望。510、盒子中装有大小相同的 10 只小球，其中 2 只红
9、球，4 只黑 球，4 只白球规 定：一次摸出 3 只球，如果这 3只球是同色的，就奖励 10 元，否则罚款 2 元（）若某人摸一次球 ，求他获奖励的概率；（）若有 10 人参加摸球游戏，每人摸一次，摸后放回 ，记随机变量 为获奖励的人数，（i）求 (1)P （ii）求这 10 人所得钱数的期望（结果用分数表示，参考数据：10452）课后练习巩固1、空气质量指数 PM2.5 (单位: 3/m g)表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，代表空气污染越严重 P2.5的浓度与空气质量类别的关系如下表所示：2.5日均浓度 035 3575 75115 115150 150250 250空气质
10、量类别 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染从甲城市 2013 年 9 月份的 30 天中随机抽取 15 天的 PM2.5日均浓度指数数据茎叶图如图 5 所示（1）试估计甲城市在 2013 年 9 月份 30 天的空气质量类别为优或良的天数；（2）在甲城市这 15 个监测数据中任取 2个，设 X为空气质量类别为优或良的天数，求 X的分布列及数学期望2、根据空气质量指数 AQI（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表:AQI（数值） 0510150:120:130:空气质量级别 一级 二级 三级 四级 五级 六级空气质量类别 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染3 2 0 4
11、 5 5 6 4 7 6 9 7 8 8 0 7 9 1 8 0 9 图 56一4 一一一一 一一02一64810a克3 克/克0.320.2.18 453525155O某市 2013 年 10 月 1 日10 月 30 日，对空气质量指数 AQI进行监测,获得数据后得到如图（4）的条形图:（1）估计该城市本月(按 30 天计) 空气质量类别为中度污染的概率； （2）在上述 30 个监测数据中任取 2 个,设 为空气质量类别颜色为紫色的天数,求 的分布列.3、某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出 80 名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示（I）估计这次测试数学成绩的平均
12、分；（II）假设在90，100段的学生的数学成绩都不相同，且都超过 94 分若将频率视为概率，现用简单随机抽样的方法，从 95，96，97，98，99，100 这 6 个数中任意抽取2 个数，有放回地抽取了 3 次，记这 3 次抽取中，恰好是两个学生的数学成绩的次数为，求 的分布列及数学期望 E 4一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取 50个作为样本，称出它们的重量（单位：克） ，重量分组区间为 5,1， ,2， ,3，35,， 由此得到样本的重量频率分布直方图，如图 3.（1）求 a的值；（2）根据样本数据，试估计盒子中小球重量的平均值；（注：设样本数据第 i组的
13、频率为 ip，第 组区间的中点值为 ix1,23,n ，空气质量类别颜色 绿色 黄色 橙色 红色 紫色 褐红色7则样本数据的平均值为 123nXxpxp .）（3）从盒子中随机抽取 3个小球，其中重量在 5,1内的小球个数为 ，求 的分布列和数学期望.5、甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队 3人，每人回答一个问题，答对为本队赢得一分，答错得零分假设甲队中每人答对的概率均为2，乙队中 3人答对的概率分别为21,3，且各人回答正确与否相互之间没有影响用 表示甲队的总得分（1）求随机变量 的分布列和数学期望；（2）用 A表示“甲、乙两个队总得分之和等于 3”这一事件，用 B表示“甲队总得分大于乙队总得
14、分”这一事件，求 ()PAB6PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物，也称为可吸入肺颗粒物。我国 PM2.5 标准采用世卫组织设定的最宽限值，即 PM2.5 日均值在 35 微克/立方米以下空气质量为一级；在 35 微克/立方米 75 微克/立方米之间空气质量为二级；在 75 微克/立方米以上空气质量为超标。某试点城市环保局从该市市区 2013 年上半年每天的PM2.5 监测数据中随机的抽取 15 天的数据作为样本，监测值如右下图茎叶图所示（十位为茎，个位为叶） 。（1）在这 15 天的 PM2.5 日均监测数据中，求其中位数；8（2）从这 15 天的数据中任取 2 天数据
15、，记 表示抽到 PM2.5 监测数据超标的天数，求 的分布列及数学期望；（3）以这 15 天的 PM2.5 日均值来估计一年的空气质量情况，则一年（按 360 天计算）中平均有多少天的空气质量达到一级或二级.参考答案1.【解析】 （）设随机选取一件产品，能够通过检测的事件为 A 分事件 A等于事件 “选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测” 2 分15320416)(p() 由题可知 X可能取值为 0,1,2,3. 30461CP,214630()CP,246310(),46310(). 8 分故 X的分布列为 9 分()设随机选取 3 件产品都不能通过检测的事件为 B 10 分事件 B
16、等于事件“随机选取 3 件产品都是二等品且都不能通过检测”所以，1()()08P. 13 分0 1 2 3P692.【解析】 （）根据茎叶图，有“高个子”12 人， “非高个子”18 人，1 分用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是 61305， 2 分所以选中的“高个子”有261人， “非高个子”有38人3 分用事件 A表示“至少有一名“高个子”被选中” ，则它的对立事件 A表示“没有一名“高个子”被选中” ，则 ()P1253C1075 分 因此，至少有一人是“高个子”的概率是 076 分（）依题意， 的取值为 0,123 7 分54C)0(3128P， 528C)(314P， )(312
17、84， )(3124 9 分因此， 的分布列如下：0 3p5145285125110 分 13280E 12 分 3.【解析】 （）由表格数据可知，视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上的学生共有 (10)a人.记“视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上”为事件 A，则2()405P，解得 6a，从而 40(32)40382ba.（）由于从 40 位学生中任意抽取 3 位的结果数为 40C,其中具有听觉记忆能力或视觉10记忆能力偏高或超常的学生共 24 人,从 40 位学生中任意抽取 3 位,其中恰有 k位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的结果数为 2416
18、kC，所以从 40 位学生中任意抽取 3 位,其中恰有 k位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的概率为324160()kCP(,23).的可能取值为 0、1、2、3.因为324160()7,1246307(CP,2146305()CP,3241605()CP，所以 的分布列为0 1 2 3P14277245132514.【解析】 （）X 的所有可能取值为 0，1，2，3，4，5，6. 依条件可知 XB(6，23). 662()3kkPkC( , , 6)所以 X 的分布列为：X 0 1 2 3 4 5 6P 72960791207914729所以1( )E=.或因为 XB(6，23)，所
19、以2643EX. 即 X 的数学期望为 4（）设教师甲在一场比赛中获奖为事件 A，则2415641()()().81PAC答：教师甲在一场比赛中获奖的概率为32.（）设教师乙在这场比赛中获奖为事件 B，则246()5AP.(此处为2465C会11更好!因为样本空间基于:已知 6 个球中恰好投进了 4 个球)即教师乙在这场比赛中获奖的概率为25.显然3801，所以教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率不相等5.【解析】 （）记“该产品不能销售”为事件 A，则11()()604P.所以，该产品不能销售的概率为14. 4 分（）由已知，可知 X 的取值为 320,8,4016.
20、5 分41(320)(56PX， 3()()46PXC，2478)18C，34270，(160)(56. 10 分所以 X 的分布列为X -320 -200 -80 40 160P 125634271864812511 分E(X)3001024，故均值 E(X)为 40.12 分6.【解析】 （）设走 L1 路线最多遇到 1 次红灯为 A 事件，则0312()=()()2PAC4 分所以走 L1 路线，最多遇到 1 次红灯的概率为12（）依题意， X的可能取值为 0，1，2 5 分1231(=0)1()450PX，339(=)(1)45420PX，928 分故随机变量 的分布列为：X0 1 2
21、P 1920901927020E 10 分（）设选择 L1 路线遇到红灯次数为 Y，随机变量 服从二项分布，1(3,)2YB:，所以132EY12 分 因为 EX，所以选择 L2 路线上班最好14 分7.【解析】 （）设 4 位乘客中至少有一名乘客在第 2 层下电梯的事件为 A,分由题意可得每位乘客在第 2 层下电梯的概率都是13， 3 分则465()1()381PA.6 分() X的可能取值为 0,1,2,3,4, 7 分由题意可得每个人在第 4 层下电梯的概率均为13，且每个人下电梯互不影响，所以1(4,)3B:.9 分X0 1 2 3 4P6834811811 分14()3EX.13 分
22、138.【解析】 （）112221()()()333PC-6 分（）该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率11 2222284()()()9ppp而 (,)BP:，所以 EP,由 5知21)5,解得 2314p.-12 分9.【解析】 （）设 iA表示事件“一个试验组中，服用 A有效的小白鼠有 i只” ，i=0，1， 2；iB表示事件“一个试验组中，服用 B有效的小白鼠有 i只” ，i=0 ，1，2 依题 意有124()39PA, 24()39PA, 01()24P, 11()2PB,所求的概率为 0102124()()()929BBA（）的可能取值为 0，1，2，3，且 B(3, ),
23、49345()(),9kkPC 的分布列为 0 1 2 3125729 100243 80243 64729所以数学期望43E.10.【解析】 （）4210=5Cp（） （i）由题意知,)B:（，则109414(1)(0)()()()557PPC14（ii）设 为在一局中的输赢，则1460255E,所以6(10)10()2E,即这 10 人所得钱数的期望为 12.课后巩固参考答案1.解：（1）由茎叶图可知，甲城市在 2013 年 9 月份随机抽取的 15 天中的空气质量类别为优或良的天数为 5 天1 分所以可估计甲城市在 2013 年 9 月份 30 天的空气质量类别为优或良的天数为 10天2
24、 分（2） X的取值为 0，1，2， 3 分因为51C37P，5 分5021，7 分0521CPX9 分所以 的分布列为： X01 2P73所以数学期望 210E2.解：（1）由条形统计图可知,空气质量类别为中度污染的天数为 6, -1 分所以该城市本月空气质量类别为中度污染的概率 61305P.-4 分（2）随机变量 的可能取值为 0,12,-5 分则2630587CP,-7 分142630,-9 分10 分15243015CP-11 分所以 的分布列为: 12P658704351453.解：（I ）利用中值估算抽样学生的平均分：450.05+550.15+650.2+750.3+850.2
25、5+950.05 =72. （3 分）众数的估计值为 75 分 （5 分）所以，估计这次考试的平均分是 72 分 （6 分）（注：这里的众数、平均值为估计量，若遗漏估计或大约等词语扣一分）（II）从 95， 96，97，98， 99，100 中抽 2 个数的全部可能的基本结果数是2615C，有 15 种结果，学生的成绩在90，100 段的人数是 0.0051080=4（人） ，这两个数恰好是两个学生的数学成绩的基本结果数是246C，两个数恰好是两个学生的数学成绩的概率.15P（8 分）随机变量 的可能取值为 0、1、2、3，则有 3()(),5kkPC变量 的分布列为：0 1 2 3P 825
26、365471（10 分）E8364013251（12 分） 4 (1) 解：由题意，得 0.20.81x， 1 分解得 .3x. 2 分（2）解： 50个样本小球重量的平均值为160.21.320.3.18402.6X（克）. 3 分由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为 4克. 4 分（3）解：利用样本估计总体，该盒子中小球重量在 5,1内的概率为 0.2，则1,5B:. 5 分的取值为 0,23， 6 分34651PC，21348515PC，235，32. 10分 的分布列为：64812301255E. 12 分（或者3）5.解：（1）解法一：由题意知， 的可能取值为 0，1，2
27、，3，且 1 分30321()7PC，3()9PC，3 分234(2)139，328()75 分所以 的分布列为013P64258251170 1 2 3P279487的数学期望为1032E7 分解法二：根据题设可知，23B，3 分因此 的分布列为3 32()1kkkkPCC013， ， ，5 分因为23B，所以2E7 分（2）解法一：用 表示“甲得 2 分乙得 1 分”这一事件，用 D表示“甲得 3 分乙得0 分”这一事件，所以 ACD，且 ， 互斥，又8 分23 1()132332PC 40，10 分3 54()D，11 分由互斥事件的概率公式得 451034()()2PABCPD12 分6.解：(1)由茎叶图可得中位数是 45(2) 依据条件， 服从超几何分布：其中 15,3NMn， 的可能值为 0,12由2105()kCp，得02153()7， 181502()Cp， 2051()Cp，所以 的分布列为： 310273E(2)依题意可知，一 年中每天空气质量达到一级或二级的概率为 15p一年中空气质量达到一级或二级的天数为 ，则 2(360,)B23604E一年中平均有 天的空气质量达到一级或二级2P710
