1、第十一章 动静法习题课,惯性力的概念质点的达朗贝尔原理 质点系的达朗贝尔原理刚体惯性力系的简化达朗贝尔原理的应用,基本内容复习,ppt/38,2,3,实例：人用手推车，F、F 为一对作用力和反作用力，所以,质点惯性力定义为 惯性力等于加速运动的质点，对迫使其产生加速运动的物体的反作用力。如果将惯性力加在加速运动的质点上，那么，该质点处于形式上的平衡，即,一、惯性力的概念,ppt/38,4,质点惯性力不是作用在质点上的真实力，加上惯性力之后，质点处于形式上的平衡，这就是质点的达朗贝尔原理。二、质点的达朗贝尔原理 设M为受约束的非自由质点，质量m，加速度a，惯性力FI=-ma，受主动力F，约束反力
2、FN作用，则,ppt/38,5,例1 列车在水平轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆，当车厢向右作匀加速运动时，单摆左偏角度q ，相对于车厢静止。求车厢的加速度a。,ppt/38,6,解：选单摆的摆锤为研究对象惯性力为 由动静法, 有解得,q角随着加速度 a的变化而变化，当a不变时， q角也不变。只要测出q角，就能知道列车的加速度 a。这就是摆式加速计的设计原理。,ppt/38,7,三、质点系的达朗贝尔原理,对整个质点系来说，动静法给出的平衡方程，只包括惯性力与外力，而与质点系的内力无关。 用动静法求解动力学问题时，与静力学一样，可以任意选取研究对象，再加上惯性力，列平衡方程求解。,ppt/38,8,
3、简化方法就是采用静力学中的力系简化的理论。将虚拟的惯性力系视作力系向任一点O简化而得到一个惯性力和一个惯性力偶。 无论刚体作什么运动，惯性力系主矢都等于刚体质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反。,四、刚体惯性力系的简化,ppt/38,9,刚体惯性力系简化的三种情况：,平动：惯性力系简化为一个通过质心的合力定轴转动：如果刚体有对称平面，该平面与转轴z垂直，则惯性力系向对称平面与转轴的交点O简化，得到在对称平面内的一力和一力偶平面运动（平行于对称平面）：惯性力系向质心C简化，得到在对称平面内的一力和一力偶,ppt/38,10,讨论：,刚体作匀速转动，转轴不通过质心C 。,ppt/38,
4、11,讨论：,转轴过质心C，a 0，惯性力偶 （与a反向）,ppt/38,12,讨论：,刚体作匀速转动，且转轴过质心，则,（惯性力系的主矢、主矩均为零）,ppt/38,13,练习1 均质杆长l ，质量m，与水平轴A铰接，杆由与平面成j0角位置静止落下。求开始落下时杆AB的角加速度及A点支座反力。,根据动静法，有,解：选杆AB为研究对象 惯性力系向A点简化结果：,ppt/38,14,ppt/38,15,用动量矩定理+质心运动定理求解此题：,解：选AB为研究对象,ppt/38,16,练习2 牵引车的主动轮质量为m，半径为R，沿水平直线轨道滚动，设车轮所受的主动力可简化为作用于质心的两个力 S、T及
5、驱动力偶矩M，车轮对于通过质心C并垂直于轮盘的轴的回转半径为r，轮与轨道间摩擦系数为f , 试求在车轮滚动而不滑动的条件下，驱动力偶矩M 之最大值。,解：取轮为研究对象 惯性力为：由动静法，得：,ppt/38,17,由(1)得,由(2)得 N= P +S，要保证车轮不滑动，必须 F Fmax=f N =f (P+S) (5)将上式代入(4)得：,ppt/38,18,根据达朗贝尔原理，写出形式上的平衡方程求解动力学问题的方法，称为动静法。应用动静法既可求运动，例如加速度、角加速度；也可以求力，并且多用于已知运动，求质点系运动时的动约束反力。 应用动静法求解动力学问题，可以利用建立静力学平衡方程的
6、一切形式上的便利。例如，矩心可以任意选取，二矩式，三矩式等等。因此当问题中有多个约束反力时，应用动静法求解尤其方便。,达朗贝尔原理的应用,ppt/38,19,选取研究对象：原则与静力学相同。受力分析：画出全部主动力和外约束反力。运动分析：主要是刚体质心加速度，刚体角加速度，标出 方向。加惯性力：在受力图上画上惯性力和惯性力偶，一定要 在 正确进行运动分析的基础上。熟记刚体惯 性力系的简化结果。,应用动静法求动力学问题的步骤及要点：,ppt/38,20,列动静方程：选取适当的矩心和投影轴。建立补充方程：运动学补充方程。求解求知量。注：FI，MIO的方向及转向已在受力图中标出，建立方程时，只需按F
7、I=maC， MIO =JOa 代入即可。,ppt/38,21,例1 质量为m1和m2的两重物，分别挂在两条绳子上，绳又分别绕在半径为r1和r2并装在同一轴的两鼓轮上，已知两鼓轮对于转轴O的转动惯量为J，系统在重力作用下发生运动，求鼓轮的角加速度。,取系统为研究对象,解：方法1 用达朗贝尔原理求解,ppt/38,22,虚加惯性力和惯性力偶：,由动静法：列补充方程代入上式得,ppt/38,取系统为研究对象根据动量矩定理：,23,方法2 用动量矩定理求解,ppt/38,研究系统，任一瞬时系统的动能为两边除以dt，并求导数，得,24,方法3 用动能定理求解,ppt/38,25,例2 在图示机构中，沿
8、斜面向上作纯滚动的圆柱体和鼓轮O均为均质物体，各重为P和Q，半径均为R，绳子不可伸长，其质量不计，斜面倾角q，如在鼓轮上作用一常力偶矩M， 试求：(1)鼓轮的角加速度？ (2)绳子的拉力？ (3)轴承O处的支反力？ (4)圆柱体与斜面间的摩擦力（不计滚动摩擦）？,ppt/38,26,解：方法1 用达朗贝尔原理求解取轮O为研究对象，虚加惯性力偶,列出动静方程：,取轮A为研究对象，加上惯性力FI和惯性力偶MIA如图示。,ppt/38,27,列出动静方程：运动学关系联立求解得,ppt/38,28,方法2 用动力学普遍定理求解,用动能定理求鼓轮角加速度 取系统为研究对象，当O轮顺时针转过dj角度时，外
9、力元功为：系统动能为在dt时间里动能增量为由动能定理的微分形式，得到,ppt/38,29,(2) 用动量矩定理求绳子张力 取轮O为研究对象，由动量矩定理得(3) 用质心运动定理求解轴承O处支反力 取轮O为研究对象，根据质心运动定理：,ppt/38,30,(4) 用刚体平面运动微分方程求摩擦力 取圆柱体A为研究对象， 根据刚体平面运动微分方程,方法3：用动能定理求鼓轮的角加速度 用达朗贝尔原理求约束反力（绳子拉力T 、轴承O处 反力XO和 YO及摩擦力 F）。,ppt/38,31,例3 均质圆柱体重为P，半径为R，无滑动地沿倾斜平板由静止自O点开始滚动。平板对水平线的倾角为 ，试求OA = S时
10、平板在O点的约束反力。板的重力略去不计。,解：(1) 用动能定理求速度，加速度圆柱体作平面运动。在初始位置时，处于静止状态，故T1=0；在末位置时，设角速度为，则vC = R , 动能为：,ppt/38,32,主动力的功：动能定理对 t 求导数，得到(2) 用达朗贝尔原理求约束反力取系统为研究对象，虚加惯性力FI和惯性力偶MIC为：,ppt/38,33,列出动静方程：,ppt/38,34,例4 绕线轮重P，半径为R及 r ，对质心O转动惯量为JO，在与水平成q 角的常力T 作用下纯滚动，不计滚阻，求：(1)轮心的加速度；(2)分析纯滚动的条件。,解：用达朗贝尔原理求解绕线轮作平面运动 （纯滚动
11、）,惯性力为由达朗贝尔原理，得将FI 、MIO代入上式，得到,ppt/38,35,由F Fmax=f N，得纯滚动的条件为：,ppt/38,36,1. 物体系统由质量均为m的两物块A和B组成，放在光滑水平面上，物体A上作用一水平力F，试用动静法说明A物体对B物体作用力大小是否等于F ？,思考题：,解：研究物块A,ppt/38,37,解：滑块B的惯性力如图,2. 质量为M的三棱柱体A 以加速度a1向右移动，质量为m的滑块B以加速度a2相对三棱柱体的斜面滑动，试问滑块B的惯性力的大小和方向如何？,ppt/38,38,3. 匀质轮重为P，半径为 r ，在水平面上作纯滚动。某瞬时角速度w ，角加速度为 a ，求轮的动量、动能，对质心的动量矩，惯性力系的主矢与向质心简化的主矩。,解：,ppt/38,
