1、第十四章 达朗贝尔原理,2012.5.11,引言,本章介绍动力学的一个重要原理达朗贝尔原理。应用这一原理，可以把动力学问题从形式上转化为静力学问题，并利用静力学中研究平衡问题的方法来求解。这种解答动力学问题的方法，也称动静法。,主要内容：,一 质点的达朗贝尔原理 二 质点系的达朗贝尔原理 三 刚体惯性力系的简化 四 绕定轴转动刚体的轴承动约束力,注意：惯性力不是力，但可以感知到。 它是质点对施力体反作用力的合力。,1、惯性力,如下图质点m 的运动，由牛顿第二定律：,FI 为惯性力，大小等于质点质量与其加速度的乘积，方向与加速度方向相反。,一、质点的达朗贝尔原理,质点的达朗贝尔原理：作用在质点的
2、主动力、约束力和虚加的惯性在形式上组成平衡力系。,惯性力是人为地、假想地加上去的，并不真实的作用在物体上。达朗贝尔原理从形式上将动力学问题转化为静力学问题，它并不改变动力学问题的实质，质点实际上也并不平衡。,一、质点的达朗贝尔原理,2、达朗贝尔原理,（1）设质点在空中，只受到重力作用，试问在下列两种情况下，质点惯性力的大小和方向如何？ a）质点作自由落体运动；b）质点被铅垂上抛 （ ）,Aa）与b）的惯性力大小相等，方向都铅直向下 Ba）与b）的惯性力大小相等，方向都铅直向上Ca）与b）的惯性力大小相等，a）向上、b）向下Da）与b）的惯性力大小相等，a）向下、b）向上,B,一、质点的达朗贝尔
3、原理,例1 列车在水平轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆，当车厢向右作匀加速运动时，单摆左偏角度，相对于车厢静止。求车厢的加速度a。,一、质点的达朗贝尔原理,选单摆的摆锤为研究对象，作受力图：主动力，约束反力，虚加惯性力,解：,由动静法, 有,解得,角随着加速度 a的变化而变化，当a不变时， 角也不变。只要测出 角，就能知道列车的加速度a 。,一、质点的达朗贝尔原理,例2 圆锥摆,则有,质点系的达朗贝尔原理：质点系中每个质点上作用的主动力，约束力和它的惯性力在形式上组成平衡力系。,设有一质点系由n个质点组成，对每一个质点i，有,空间任意力系平衡的充分必要条件：力系的主矢和对任意点主矩等于零。,二、质
4、点系的达朗贝尔原理,质点系的达朗贝尔原理：作用在质点系上的外力与虚加在每个质点上的惯性力在形式上组成平衡力系。,二、质点系的达朗贝尔原理,由于,二、质点系的达朗贝尔原理,对平面任意力系：,用动静法求解动力学问题时，,对于空间任意力系：,例2如图所示，定滑轮的半径为r，质量为m均匀分布在轮缘上，绕水平轴转动。垮过滑轮的无重绳的两端挂有质量为m1和m2的重物（mm2)，绳与轮间不打滑，轴承摩擦忽略不计，求重物的加速度。,二、质点系的达朗贝尔原理,解：以整体为研究对象，施加惯性力，如图所示,由,解得,若为均值圆盘，惯性力该如何施加？,二、质点系的达朗贝尔原理,对质点系，每个质点均受到惯性力的作用，这
5、些惯性力形成一个力系，利用静力学的力系简化理论，求出惯性力系的主矢和主矩，给解题会带来方便，这里讨论刚体平移、定轴转动和平面运动时惯性力系的简化。,回顾力系向一点简化结果：,作用在简化中心的力和一个力偶,主矢,主矩,三、刚体惯性力系的简化,三、刚体惯性力系的简化,根据质心运动定理，惯性力系的主矢：, 惯性力系的主矢,注意：主矢的大小和方向与简化中心的位置无关。,主矩的大小和方向与简化中心的位置一般有关。,O,若惯性力系向质心简化，则,三、刚体惯性力系的简化,2 惯性力系的主矩,1）刚体平移,结论：平移刚体上的惯性力系可以简化为一个通过质心的合力。,由,2）刚体定轴转动,大小为:,三、刚体惯性力
6、系的简化,有,记,惯性积,同理,三、刚体惯性力系的简化,2）刚体定轴转动,由于,如果刚体有质量对称面且该面与转动轴垂直,简化中心取此平面与转轴的交点，则,有,结论:刚体有质量对称面且绕与该面垂直轴转动时，其惯性力系向转动中心O简化为一个力和一个力偶，力的作用线通过转轴。,三、刚体惯性力系的简化,分析几种特殊情况：,转轴不通过质心，匀角速转动：,只有主矢，仍加在转轴O，主矩等于零。,转轴通过质心，非匀角速转动：,只有主矩，O、C重合为固定点，主矢等于零。,转轴通过质心，匀角速转动：,主矢、主矩均为零。,三、刚体惯性力系的简化,3）刚体作平面运动（平行于质量对称面）,刚体平面运动：,随基点（质点C
7、）的平动,绕通过质心轴的转动,以质心C为简化中心,结论:刚体有质量对称面且平行与该平面运动时，其惯性力系向转动质心C简化为一个力和一个力偶，力的作用线通过质心。,三、刚体惯性力系的简化,由动静法可列出如下三个方程：,刚体平面运动微分方程,三、刚体惯性力系的简化,小结：,1.平动刚体惯性力系简化为通过质心的合力,2.刚体有质量对称面且绕与该面垂直轴转动时，其惯性力系向转动中心O简化为一个力和一个力偶，力的作用线通过转轴。,3.刚体有质量对称面且平行与该平面运动时时，其惯性力系向转动质心C简化为一个力和一个力偶，力的作用线通过质心。,三、刚体惯性力系的简化,注意：,1.力系简化结果与简化中心有关。
8、,2.不能以惯性力系主矢与简化中心无关而把主矢画在任意位置；也不能因惯性力系主矢与质心加速度相反而一律画在质心处。,4.熟练施加惯性力是动静法求解的关键。,3.为方便起见，对平移刚体、平面运动刚体加惯性力时，主矢画在质心上；定轴转动刚体，主矢画在转轴上。,三、刚体惯性力系的简化,例3：绕一端转动的均质杆。,三、刚体惯性力系的简化,例4 如图所示，电动机定子及其外壳总质量为m1，质心位于O处。转子的质量为m2，质心位于处，偏心矩e,图示平面为转子的质量对称面。电动机用地角螺钉固定于水平基础上，转O与水平基础间的距离为h。运动开始时，转子质心位于最低位置，转子以匀角速度转动。求：基础与地角螺钉给电
9、动机总的约束力。,当转子有偏心时，会有附加动约束力。那么，什么情况下转子轴承的动约束力为零呢？,四、定轴转动刚体的轴承动约束力,如图，以O为简化中心，所有主动力和惯性力系向该点简化，形成一空间任意平衡力系，列平衡方程为,四、定轴转动刚体的轴承动约束力,解得,动约束力为零的条件为：,即：,四、定轴转动刚体的轴承动约束力,通过质心的惯性主轴称为中心惯性主轴,因此，避免出现轴承动约束力的条件是：刚体的转轴应是刚体的中心惯性主轴。,刚体的转轴通过质心，且刚体除受重力外，不受其他主动力作用，则刚体可以在任意位置静止不动，该现象称为静平衡；,四、定轴转动刚体的轴承动约束力,因此,当刚体的转轴通过质心且为惯性主轴时，刚体转动不出现动约束力，该现象称为动平衡；,可以静平衡的定轴转动不一定动平衡，但能够动平衡的定轴转动刚体肯定能够实现静平衡。,例5 质量不计的刚轴以角速度匀速转动，其上固结着两个质量均为m的小球A和B。指出在图示各种情况下，哪些是静平衡的？哪些是动平衡的？,静平衡： (b)、 (d),动平衡： ( a),四、定轴转动刚体的轴承动约束力,如何进行动平衡,1 静平衡与动平衡试验机,2 现场转子动平衡,我国汽轮机轴承振动评价标准(双振幅),四、定轴转动刚体的轴承动约束力,四、定轴转动刚体的轴承动约束力,总结,
