1、机械优化设计复习题一.单项选择题 1一个多元函数 在 X* 附近偏导数连续，则该点位极小值点的充要条件为（ ）FA B. , 为正定0*0FX*HC D. , 为负定*H2.为克服复合形法容易产生退化的缺点，对于 n 维问题来说，复合形的顶点数 K 应（ ）A B. C. D. 1Kn212Kn21n3目标函数 F（x）=4x +5x ，具有等式约束，其等式约束条件为 h(x)=2x1+3x2-6=0,则2目标函数的极小值为（ ）A1 B 19.05 C0.25 D0.14.对于目标函数 F(X)=ax+b 受约束于 g(X)=c+x 0 的最优化设计问题，用外点罚函数法求解时，其惩罚函数表达
2、式 (X,M (k)为( )。A. ax+b+M(k)min0,c+x 2，M (k)为递增正数序列B. ax+b+M(k)min0,c+x 2，M (k)为递减正数序列C. ax+b+M(k)maxc+x,0 2，M (k)为递增正数序列 hnD. ax+b+M(k)maxc+x,0 2，M (k)为递减正数序列1.B 2.C 3.B 4.B 5.A 6.B 7.D 8.B 9.A 10C.11.B 12.C 13A 14.B 15.B 16 D 17.D 18.A19.B.20.D 21.A 22.D 23.C 24.B 25.D 26.D 27.A 28.B 29.B 30.B 5.黄金
3、分割法中，每次缩短后的新区间长度与原区间长度的比值始终是一个常数，此常数是（ ） 。 A.0.382 B.0.186 C.0.618 D.0.8166.F(X)在区间x 1,x3上为单峰函数，x 2为区间中一点，x 4为利用二次插值法公式求得的近似极值点。如 x4- x20,且 F(x4)F(x2)，那么为求 F(X)的极小值，x 4点在下一次搜索区间内将作为( )。A.x1 B.x3 C.x2 D.x47.已知二元二次型函数 F(X)= ，其中 A= ，则该二次型是 ( )的。AX1T1A.正定 B.负定 C.不定 D.半正定8.内点罚函数法的罚因子为（ ） 。A.递增负数序列 B.递减正数
4、序列 C.递增正数序列 D.递减负数序列9.多元函数 F(X)在点 X*附近的偏导数连续， F(X*)=0 且 H(X*)正定，则该点为 F(X)的（ ） 。 A.极小值点 B.极大值点 C.鞍点 D.不连续点10.F(X)为定义在 n 维欧氏空间中凸集 D 上的具有连续二阶偏导数的函数，若 H(X)正定，则称 F(X)为定义在凸集 D 上的（ ） 。A.凸函数 B.凹函数 C.严格凸函数 D.严格凹函数1.B 2.C 3.B 4.B 5.A 6.B 7.D 8.B 9.A 10C.11.B 12.C 13A 14.B 15.B 16 D 17.D 18.A19.B.20.D 21.A 22.
5、D 23.C 24.B 25.D 26.D 27.A 28.B 29.B 30.B 11.在单峰搜索区间x 1 x3 (x1x4,并且其函数值 F（x 4）F(x 2)，则取新区间为（ ） 。A. x1 x4 B. x2 x3 C. x1 x2 D. x4 x312.用变尺度法求一 n 元正定二次函数的极小点，理论上需进行一维搜索的次数最多为（ ）A. n 次 B. 2n 次 C. n+1 次 D. 2 次13.在下列特性中，梯度法不具有的是（ ） 。A.二次收剑性 B.要计算一阶偏导数C.对初始点的要求不高 D.只利用目标函数的一阶偏导数值构成搜索方向14.外点罚函数法的罚因子为（ ） 。A
6、.递增负数序列 B.递减正数序列 C.递增正数序列 D.递减负数序列15.内点惩罚函数法的特点是（ ） 。A能处理等式约束问题 B.初始点必须在可行域中C.初始点可以在可行域外 D.后面产生的迭代点序列可以在可行域外16.约束极值点的库恩塔克条件为 F(X)= ，当约束条件 gi(X)X(giq1i0(i=1,2,m)和 i0 时，则 q 应为 ( )。A.等式约束数目； B.不等式约束数目； C.起作用的等式约束数目D.起作用的不等式约束数目17 已知函数 F(X)=- ，判断其驻点(1，1)是( )。1212xxA.最小点 B.极小点 C.极大点 D.不可确定18对于极小化 F(X)，而受
7、限于约束 g (X)0(=1,2,m)的优化问题，其内点罚函数表达式为（ ）A. (X, r (k)=F(X)-r(k) B. (X, r (k)=F(X)+r(k)1/()Xum1/()gXumC. (X, r (k)=F(X)-r(k) D. (X, r (k)=F(X)-r(k)max,()01gXuumin,()01gXuu19. 在无约束优化方法中，只利用目标函数值构成的搜索方法是( )A. 梯度法 B. Powell 法 C. 共轭梯度法 D. 变尺度法1.B 2.C 3.B 4.B 5.A 6.B 7.D 8.B 9.A 10C.11.B 12.C 13A 14.B 15.B 1
8、6 D 17.D 18.A19.B.20.D 21.A 22.D 23.C 24.B 25.D 26.D 27.A 28.B 29.B 30.B 20. 利用 0.618 法在搜索区间a,b内确定两点 a1=0.382,b1=0.618，由此可知区间a,b的值是( )A. 0,0.382 B. 0.382,1 C. 0.618,1 D. 0,121. 已知函数 F(X)=x12+x22-3x1x2+x1-2x2+1，则其 Hessian 矩阵是( )A. B. C. D. 23313222. 对于求 minF(X)受约束于 gi(x)0(i=1,2,m)的约束优化设计问题，当取 i0 时，则约
9、束极值点的库恩塔克条件为( )A. F(X)= ,其中 i为拉格朗日乘子m1ii(X)B. F (X)= ,其中 i为拉格朗日乘子1ii()gC. F(X)= ,其中 i为拉格朗日乘子，q 为该设计点 X 处的约束面数q1ii(X)D. F(X)= ,其中 i为拉格朗日乘子，q 为该设计点 X 处的约束面数q1ii()g23. 在共轭梯度法中，新构造的共轭方向 S(k+1)为( )A. S(k+1)= F(X(k+1)+ (k)S(K)，其中 (k)为共轭系数B. S(k+1)= F(X(k+1) (k)S(K)，其中 (k)为共轭系数C. S(k+1)=- F(X(k+1)+ (k)S(K)
10、，其中 (k)为共轭系数D. S(k+1)=- F(X(k+1) (k)S(K)，其中 (k)为共轭系数24. 用内点罚函数法求目标函数 F(X)=ax+b 受约束于 g(X)=c-x0 的约束优化设计问题，其惩罚函数表达式为( )A. ax+b-r(k) ，r (k)为递增正数序列x-c1B. ax+b-r(k) ，r (k)为递减正数序列C. ax+b+ r(k) ，r (k)为递增正数序列x-c1D. ax+b+r(k) ，r (k)为递减正数序列25. 已知 F(X)=x1x2+2x22+4,则 F(X)在点 X(0)= 的最大变化率为( )1A. 10 B. 4 C. 2 D. 02
11、6.在复合形法中，若映射系数 已被减缩到小于一个预先给定的正数 仍不能使映射点可行或优于坏点，则可用（ ）A.好点代替坏点 B.次坏点代替坏点C.映射点代替坏点 D.形心点代替坏点1.B 2.C 3.B 4.B 5.A 6.B 7.D 8.B 9.A 10C.11.B 12.C 13A 14.B 15.B 16 D 17.D 18.A19.B.20.D 21.A 22.D 23.C 24.B 25.D 26.D 27.A 28.B 29.B 30.B 27. 优化设计的维数是指( )A. 设计变量的个数 B. 可选优化方法数C. 所提目标函数数 D. 所提约束条件数28.在 matlab 软件
12、使用中，如已知 x=0:10，则 x 有_个元素。A. 10 B. 11 C. 9 D. 1229.如果目标函数的导数求解困难时，适宜选择的优化方法是（ ） 。A. 梯度法 B. Powell 法 C. 共轭梯度法 D. 变尺度法30.在 0.618 法迭代运算的过程中，迭代区间不断缩小，其区间缩小率在迭代的过程中（ ） 。A逐步变小 B 不变 C 逐步变大 D 不确定二 填空1.在一般的非线性规划问题中，kuhn-tucker 点虽是约束的极值点，但 是全域的最优点。2.判断是否终止迭代的准则通常有 . 和 三种形式。3.当有两个设计变量时，目标函数与设计变量关系是 中一个曲面。4.函数在不
13、同的点的最大变化率是 。5.函数 ，在点 处的梯度为 。2114fxx132TX6.优化计算所采用的基本的迭代公式为 。7多元函数 F（x）在点 x*处的梯度F（x *）0 是极值存在的 条件。8函数 F（x）=3x +x -2x1x2+2 在点（1，0）处的梯度为 。219阻尼牛顿法的构造的迭代格式为 。10用二次插值法缩小区间时，如果 ， ，则新的区间（a,b）应取作 ， px2pf2用以判断是否达到计算精度的准则是 。11.外点惩罚函数法的极小点是从可行域之 向最优点逼近，内点惩罚函数法的极小点是从可行域之 向最优点逼近。12罚函数法中能处理等式约束和不等式约束的方法是 罚函数法。13.
14、Powell 法是以 方向作为搜索方向。14.当有 n 个设计变量时，目标函数与 n 个设计变量间呈 维空间超曲面关系。1不 2。距离.目标函数改变量.梯度 3。三维空间 4。不同的 5。 T426 7。必要条件 8。 9。kkdx1 T26kkkxffx110 , ? 11.外.内 12.。混合 13.。逐次构造共轭 14.。n+1b2a三 问答题1. 变尺度法的基本思想是什么？2. 梯度法的基本原理和特点是什么？3什么是库恩塔克条件？其几何意义是什么？4. 在内点罚函数法中，初始罚因子的大小对优化计算过程有何影响?5. 选择优化方法一般需要考虑哪些因素?6. 满足什么条件的方向是可行方向？
15、满足什么条件的方向是下降方向？作图表示。7. 简述传统的设计方法与优化设计方法的关系。8. 简述对优化设计数学模型进行尺度变换有何作用。9. 分析比较牛顿法.阻尼牛顿法和共轭梯度法的特点10为什么选择共轭方向作为搜索方向可以取得良好的效果？11多目标问题的解与单目标问题的解有何不同？如何将多目标问题转化为单目标问题求解？12.黄金分割法缩小区间时的选点原则是什么？为何要这样选点？四.计算题1.用外点法求解此数学模型 min.10FXxstg2 将 写成标准二次函数矩阵的形式。21121263fxxx3 用外点法求解此数学模型 ：12121in. 0fXxstg4 求出 的极值及极值点。2164
16、0fxx5 用外点法求解此数学模型 ：312122min.0fXxstg6用内点法求下列问题的最优解： 0312)(211 xgts xfin（提示：可构造惩罚函数 ，然后用解析法求解。 ） 。1)(l)(,(ugrfrx7.设已知在二维空间中的点 ，并已知该点的适时约束的梯度T21，目标函数的梯度 ，试用简化方法确定一个适用Tg1Tf5.0的可行方向。8. 用梯度法求下列无约束优化问题：Min F(X)=x 12+4x22，设初始点取为 X(0)=2 2T，以梯度模为终止迭代准则，其收敛精度为 5。9. 对边长为 3m 的正方形铁板，在四个角处剪去相等的正方形以制成方形无盖水槽，问如何剪法使
17、水槽的容积最大？建立该问题的优化设计的数学模型。10. 已知约束优化问题： 0)(2514)(min31221xgtsf试以 为复合形的初始顶点，用复合形法进TTTxx,4,1200201行一次迭代计算。机械优化设计综合复习题参考答案一.单项选择题1.B 2.C 3.B 4.B 5.A 6.B 7.D 8.B 9.A 10C.11.B 12.C 13A 14.B 15.B 16 D 17.D 18.A19.B.20.D 21.A 22.D 23.C 24.B 25.D 26.D 27.A 28.B 29.B 30.B 二 填空1不 2。距离.目标函数改变量.梯度 3。三维空间 4。不同的 5。
18、 T426 7。必要条件 8。 9。kkdx1 T26kkkxffx110 , ? 11.外.内 12.。混合 13.。逐次构造共轭 14.。n+1bx2a三 问答题1.变尺度法的基本思想是：通过变量的尺度变换把函数的偏心程度降低到最低限度，显著地改进极小化方法的收敛性质。2梯度法的基本原理是搜索沿负梯度方向进行，其特点是搜索路线呈“之”字型的锯齿路线，从全局寻优过程看速度并不快。3库恩-塔克条件是判断具有不等式约束多元函数的极值条件。 mjxgniFjijmji ,210,1库恩塔克条件的几何意义是: 在约束极小值点 处，函数 的负梯度一定能表示成XxF所有起使用约束在该点梯度（法向量）的非
19、负线性组合。4初始罚因子 ，一般来说 太大将增加迭代次数， 太小会使惩罚函数的性态变坏，0r0r0r甚至难以收敛到极值点。5选择优化方法一般要考虑数学模型的特点，例如优化问题规模的大小，目标函数和约束函数的性态以及计算精度等。在比较各种可供选用的优化方法时，需要考虑的一个重要因素是计算效率。6可行条件应满足第二式：7.下降条件应满足第一式：0)( )( kTkSXF)( )( kTkjg Jj,.21)(kX)(kXg)(kF搜索方向应与起作用的约束函数在 点的梯度及目标函数的梯度夹角大于或等于 90 。kx 08数学模型的尺度变换是一种改善数学模型性态，使之易于求解的技巧。一般可以加速优化设
20、计的收敛，提高计算过程的稳定性。9牛顿法的迭代关系式为：阻尼牛顿法的迭代关系式为：共轭梯度法的迭代关系式为：11()kkkfdxd牛顿法适合二次型问题，阻尼牛顿法有防止目标函数值上升的阻尼因子，适合非二次型问题，两者均需计算海森矩阵及其逆矩阵，计算量大。共轭梯度法用梯度构造共轭方向，仅需梯度计算且具有共轭性质，收敛速度快，不必计算海森矩阵，使用更加方便。10根据共轭方向的性质：从任意初始点出发顺次沿 n 个 G 的共轭方向进行一维搜索，最多经过 n 次迭代就可找到二次函数的极小点，具有二次收敛性。11单目标问题的解一般是唯一理想解，多目标的解一般是相对理想解。多目标问题转成121()(,2)k
21、kkf 0,1kkkkfx2单目标问题的常用方法有：主要目标法.线性加权法.理想点法.平方和加权法.分目标乘除法.功率系数法和极大极小法。12选点原则是插入点应按 0.618 分割区间。因为这样选点可以保持两次迭代区间的相同比例分布，具有相同的缩短率。四.计算题1提示：先转化为惩罚函数形式 答案 1x2二次函数的矩阵标准形式为 答案为 +CBGT2 122241Txx+33x3参考第六章复习题提示 结果为 Tx04. 用梯度计算极值点 答案为 15.5. 先构造外点罚函数 答案为 T6. 先构造内点罚函数 答案为 37. 用图解法，先画出约束函数梯度及目标函数梯度，做两者的垂线，与两梯度夹角均大于90 的任意方向均可。08. 以负梯度为搜索方向进行迭代计算 答案为 T09. 设剪掉的正方形边长为 1x数学模型为 Min 12)3()xF.ts01x210. 提示 先算三点的目标函数值并排序，将最差点沿其余点中心进行反射，计算反射点函数值并判断可行性。 答案为 T5.31
