1、2018/4/13,1,矿山岩体力学,高文蛟Tel:13292647239E-mail:,博士 高级工程师,一、课程的性质、任务,1.课程性质 本课程为采矿工程本科专业的开设的必修专业基础课程，它是采矿学、井巷工程、矿山压力及其控制、矿压观测与顶板灾害防治隧道与地下工程爆破工程等专业课的先行课程。2.课程任务系统学习岩石、岩体的物理力学性质及其强度理论；认识地应力场的特性及其测量方法；掌握岩石地下工程结构、岩石边坡的受力特征以及简单的力学计算。,2018/4/13,2,二、课程内容及课时安排,1.弹性力学（10） 弹性力学的基本概念及其基本假设；两类平面问题的概念、基本方程的建立以及特定问题的
2、直角坐标与极坐标的应力函数基本解答。2.岩石力学（40） 岩石的物理力学性质、岩体的力学性质、地应力场及其量测、岩石本构关系及其强度理论、岩石地下工程问题的处理与计算、岩石边坡稳定性计算,2018/4/13,3,3.力学试验（6）（1）岩石抗压强度测试实验（2）岩石抗剪强度测试实验（3）锚杆拉巴试验,三、学习的要求,1.注重基本理论的学习2.注重基本概念的掌握3.注重基本方法的应用4.及时预习和复习5.记笔记6.独立完成作业,2018/4/13,5,四、参考书籍,1.蔡美峰、何满潮、刘东燕.岩石力学与工程M.北京：科学出版社，20062.凌贤长、蔡德所.岩体力学M.哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社
3、，20023.沈明荣、陈建峰.岩体力学M.上海：同济大学出版社，20064.高 磊.矿山岩石力学M.北京：机械工业出版社，19875.徐芝纶.弹性力学简明教程M.北京：高等教育出版社，2004,2018/4/13,6,五、考核与要求,1.成绩构成（1）书面考核：70分（2）五次作业：10分（3）试验考核：15分（4）出勤考核：5分 2.考勤要求（1）试验考勤（2）课堂考勤,2018/4/13,7,弹性力学,本节重点,本章的主要内容1.弹性力学的研究内容，及其研究对象和研究方法，认清它们与材料力学的区别；2.弹性力学的几个主要物理量的定义、量纲、正负方向及符号规定等；3.弹性力学的几个基本假定，
4、及其在建立弹性力学基本方程时的作用。,2018/4/13,9,2018/4/13,10,第一章 绪论,1.1 弹性力学的内容 弹性体力学，简称弹性力学，又称弹性理论，研究弹性体由于受外力、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。,2018/4/13,11,1.2 弹性力学与所学其他力学的异同（1）相同点 弹性力学的任务和材料力学、结构力学的任务一样，是分析各种结构物或其构件在弹性阶段的应力和位移，校核它们是否具有所需的强度和刚度，并寻求或改进它们的计算方法。 （2）不同点1. 研究的对象不同1）理论力学主要把物体当成刚性体来分析其静止或运动状态。2）材料力学主要研究杆件。3）结构力学
5、研究杆系结构。4）而弹性力学研究各种形状的弹性体，除杆件外，还研究平面体、空间体，板和壳等。,2.研究问题的方法不同1）弹性力学研究问题时，在弹性体区域内必须严格考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，在边界上严格考虑受力条件或约束条件，由此建立微分方程和边界条件进行求解，得出较精确的解答。2）材料力学虽然也考虑这几方面的条件，但不是十分严格的。常引用近似的计算假设来简化问题，得出的是近似的解答。 3.解决问题的范围不同 1）弹性力学不仅能解决杆件问题，而且还能解决圆孔附近的应力集中问题以及平面体、空间体，板和壳等问题。2）材料力学通常只能解决杆件问题。,2018/4/13,12,2018/4/
6、13,13,4.分析问题的方法不同1）材料力学通常采用平面截面法 。2）弹性力学常采用分离体方法，即在物体内部取（平行六面体、四面体）微元进行分析。,1.3 弹性力学分类（1）数学弹性力学 它是研究基本概念、基本方程、边界条件、基本解法，几乎是力学概念和纯数学推导。所得出的结论是理论的解析解。（2）应用弹性力学 它是研究工程应用方面无法求得解析解的问题，用近似方法求解，即使用包括差分法、变分法、有限单元法等数值计算方法来求解。,2018/4/13,14,1. 4 基本概念 弹性力学中经常用到的基本概念有:外力、内力、应变和位移等。（1）外力 是指其他物体作用于研究对象上的力。按其作用方式分为表
7、面力和体积力。,2018/4/13,15,2018/4/13,16,1. 体积力 图1-1 1）定义 分布在弹性体内部各质点上的外力，称为体积力，简称体力。体力及其分量的量纲为 。为了表明任意一点P的体力大小和方向，引入体力集度的概念。,2018/4/13,17,2）体力集度 定义：即在P点取一微小部分，其体积为V,如图1-1a所示。点所受外力在该微小体积内的合力为F，其平均集度则为F / V ，当无限减小而趋于P点时，利用假设条件（体力连续分布），则F和平均集度F / V都不断变化而最后趋于P点，成为极限矢量f。这个极限矢量f就是P点的体力集度，即:,2018/4/13,18,2. 表面力1
8、）定义 分布在弹性体外表面上的外力称为面积力，简称面力。面力及其分量的量纲为 。 为了描述物体表面各点受力大小的程度，也用集度来表示，即任一点面力平均集度的极限。2）表面力集度 定义：设作用于微面S的面力为F，则面力的平均集度为F/S，令无限减小而趋于P点，利用连续性假设（若面力连续分布），则F/S将趋于一定的极限，即,2018/4/13,19,3）注意 体力 和面力 均是矢量，其在坐标轴上的分量 、 均是标量，且均以正标向为正，负标为负。体力和面力都是表示单位体积、面积上的作用力（即力的集度），因此，在考虑平衡条件求合力时，须要乘以相应的体积和面积。,（2）内力1）定义 即弹性体受外力作用后
9、，其内部不同部分之间的相互作用力。内力通常指截面上的合力和合力矩，内力的集度就是应力，如图1-2所示。,2018/4/13,20,2）应力 定义：应力是截面上某一点处单位截面面积上的内力值。假定以通过弹性体内任一点P的截面m-n将它分为A和B两部分，B部分对A部分的作用力在P点附近微小的面积A上的合力为F，其平均集度为F/A，令A无限减小而趋于P点时，平均集度也趋于极限矢量p，它就是P点的应力，应力及其分量的量纲为 。,2018/4/13,21,3）应力的符号及其表示方法 为了分析一点的应力状态，即各个截面上应力的大小和方向，在这一点从物体内取出一个微小的平行六面体，它的棱边平行于坐标轴而长度
10、为 、 、 ，图1-3。,2018/4/13,22,将每一面上的应力分解为一个正应力和两个剪应力，分别与三个坐标轴平行。正应力用表示，为了表明这个正应力的作用面和作用方向，加上一个坐标角码。例如， 正应力是作用在垂直于x轴的面上，同时也是沿着x轴的方向作用的。剪应力用表示，并加上两个坐标角码，前一个角码表明作用面垂直于那一个坐标轴，后一个角码表明作用方向沿着那一个坐标轴。例如， 剪应力是作用在垂直于x轴的面上而沿着y轴方向作用的。,2018/4/13,23,4）微元体上应力正负的规定 如果某一个截面上的外法线是沿着坐标轴的正方向，这个截面上的应力分量就以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。
11、相反，如果某一个截面上的外法线是沿着坐标轴的负方向，这个截面上的应力分量就以沿坐标轴负方向为正，沿坐标轴正方向为负。这样，图1-4中微元体各截面上的应力分量全部都是正的。虽然这样规定正负号后，对于正应力来说，结果是和材料力学中的规定相同（拉为正，压为负）。,2018/4/13,24,（3）形变1.定义：弹性体受力后发生形状和大小的改变，称为形变。2.形变表示方法：常用线应变和切应变来表示，即弹性体内任一点的形变，可以用长度和角度的改变来表示。通过该点的微分线段的相对伸长称为这一点某方向的正应变、通过该点两个微分线段间夹角的改变称为剪应变。正应变用字母表示。正应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应
12、力的正负号规定相适应。剪应变用字母表示，如 表示y与z两方向的线段之间的直角的改变。剪应变以直角变小时为正，变大时为负，与剪应力的正负号规定相适应。正应变和剪应变都是无量纲的量。,2018/4/13,25,（4）位移 1.定义：弹性体内在发生变形过程中各点都会有位置的移动，称为该点的位移。2.位移是矢量，它在坐标轴方向的投影 是标量，称为位移分量。位移分量沿坐标轴正方向为正，反方向为负。位移及其分量的量纲为L。,2018/4/13,26,1.5 弹性力学的基本假设 （1）连续性假设：即假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，没有任何空隙。1.意义 这样物体内的一些物理量才可能是连续的，
13、因而才能用坐标的连续函数来表示它们的变化规律。2.近似处理 尽管一切物体都是由微粒组成，但是，只要微粒的尺寸和相邻微粒之间的距离都远小于物体的尺寸，这样的假设就不会引起显著的误差。,2018/4/13,27,（2）完全弹性假设：即假定物体所受外力去除后能够完全恢复原来的形状和大小，没有残余变形。也就是物体的应力-应变完全服从虎克定律，即应力-应变完全具有线性的一一对应关系。（3）均匀性假设：即假定物体各质点的材料相同。如果物体是由两种或两种以上的材料组成的，那么，也只要每一种材料的颗粒远小于物体，而且在物体内均匀分布，这个物体也就可以当做是均匀的。,2018/4/13,28,（4）各向同性假设
14、：即假定物体一点的弹性在所有各个方向都相同。 （5）小变形假设 其含义有两方面： 1.应变量小 即假定应变分量 1。例如普通梁中的正应变10-31，切应变是用弧度表示角度，也是1； 2.位移量小 即假定物体各点的位移 物体尺寸。,2018/4/13,29,凡满足前四点假设的物体，都称为理想弹性体。本书所讨论的问题，限于理想弹性体的小变形问题，属于线弹性力学范畴。根据上述假设所建立起来的弹性力学，称为线性弹性力学。对于超出以上五个基本假定的情况，则不在本教科书中叙述。,2018/4/13,30,第二章 平面问题基本理论,本章重点：1.两类平面问题的定义。2.在平面区域内的平衡微分方程、几何方程和
15、物理方程的建立。3.在平面边界上的位移和应力边界条件的建立及圣维南原理的应用。4.关于一点应力状态的分析。5.按位移求解方法和按应力求解方法的一般过程。6.常体力求解平面问题的简化方法。,2018/4/13,31,2018/4/13,32,2.1平面应力问题与平面应变问题（1）什么样的问题是平面问题？1. 基本未知函数均是平面（x y面）内的物理量。2. 这些未知函数仅为 x，y两变量的函数。 （2）平面问题主要有那些类型？1.平面应力问题2.平面应变问题,2.1.1平面应力问题 （1）定义 设有很薄的等厚度薄板，只在板边上受有平行于板面且不沿厚度变化的面力和体力；以薄板的中面为xy面，以垂直
16、于中面的任意一直线为z轴；只有平行于xy面的三个应力分量 ，其他应力分量为零，且这三个应力分量和形变分量与位移分量不沿厚度变化，只是x，y的函数，这样的问题称为平面应力问题。,2018/4/13,33,2018/4/13,34,（2）力学模型 设薄板的厚度为t，以薄板的中面为坐标面，把厚度方向取作z轴建立坐标系oxy。,图 2-1,（3）z轴方向有关参量关系 1.由于 时的板面上无外力作用，则边界条件成为: 2.由于板很薄，外力又不沿厚度变化，则板内各点的以上三个应力分量都极小，可以认为小到零的程度，即：,2018/4/13,35,2.1.2平面应变问题 （1）定义 设有很长的柱形体，在柱面上
17、受有平行于横截面且不沿长度变化的面力和体力；以任意横截面为xy面，任意纵线为z轴，则所有形变分量和位移分量都不沿z轴变化，而只是x，y的函数；在此条件下，横截面内所有各点只会沿x和y方向移动，而不会有z方向的位移，这种问题称为平面位移问题，习惯上称为平面应变问题。 例如厚壁圆筒、高压管道、水坝等就属于此类。,2018/4/13,36,2018/4/13,37,（2）力学模型 以柱体任一横截面为xOy平面，纵向为z轴，建立坐标系oxy。,图 2-2,（3）z轴方向的有关参量关系由于z轴方向很长，一般认为：从而可推导出：根据胡克定律：,2018/4/13,38,2.2 平衡微分方程（1）平衡微分方
18、程的推导 1.建立坐标系 在薄板或柱形体中任取一正平行六面体微元（点P），它在x和y方向的尺寸分别为dx和dy，z方向为一个单位长度，即为1.,图 2-3,2018/4/13,39,2.注意1）在正负 x， y面上，应考虑到由于坐标增量而引起的应力的增量；2）在推导任何基本方程时，通常都以正的物理量来表示，这样可以避免带负号物理量的运算。因此，图 2-3中的体力、应力都以正方向、正号表示；3）在列平衡条件时应力和体力应分别乘以其面积和体积，才能得出其合力；4）在导出平衡微分方程时，应用了两个基本假定：一是连续性假定；二是小变形假定。,2018/4/13,40,3.列方程 当弹性体平衡时，P点的
19、平衡就以微元体平衡表示。这样，就有三个平衡方程：1）证明剪力互等根据力矩方程 则有：化简，略去高阶项，可得剪力互等,2-1,2018/4/13,41,2）平衡微分方程 （纳维叶方程 ）以x轴为投影轴，列出投影平衡方程 ，则有：同理可列出 ，两个投影方程化简后成为 ：,2-2,2018/4/13,42,4.对于上述平衡微分方程，说明几点1）平衡微分方程表示任一点（x，y）的平衡条件，（x，y）属于平面域 A，所以也代表 A 中所有点的平衡条件。2）平衡微分方程适用的条件是，只要求符合连续性和小变形假定。3）对于平面应力问题和平面应变问题，平衡微分方程相同。4）由于 ，以后只作为一个独立未知函数处
20、理。因此，2个独立的平衡微分方程（2-2）中含有 3个应力未知函数。,2018/4/13,43,2.3平面问题中一点的应力状态（1）建模 设x，y坐标面上一点P的应力分量为 如图2-4a所示。在校核强度条件时，还需要求出通过此点的任一斜面上的应力。为此，在P点附近取一个平面AB，它平行于该斜面，并与经过P点而垂直于x轴和y轴的两个平面划出一个微小的三角板或三棱柱PAB（z轴方向取为单位长度1），图2-4b。当面积AB无限减小而趋于P点时，平面AB上的应力就是P点在上述斜面上的应力。现设斜面上的全应力p可以分解为沿坐标向的分量 ，或沿法向和切向的分量 ，如图 2-4b所示。,2018/4/13,
21、44,图 2- 4,用n代表斜面AB的外法线方向，其方向余弦为：,2018/4/13,45,（2）求斜面应力分量 设斜面AB的长度为 ，则PB面及PA面的面积分别为 ，而PAB的体积为 通过三角形微分体的平衡条件 ，可得： 化简可得：,2-3,2018/4/13,46,（3）斜面上的正应力和切应力 计算 在法向和切向的投影，便得斜面上的正应力和切应力： 将2-3式代入得： 由式（2-4）及（2-5）就可以求得经过P点的任意斜面上的正应力 。,2-4,2-5,。,2018/4/13,47,（4）斜面上的主应力和应力主向 1.定义 经过P点某一斜面上的切应力等于零，则该斜面上的正应力称为在P点的一
22、个主应力，而该斜面称为在P点的一个应力主平面，该斜面的法线方向称为在P点的一个应力主向。 2.求主应力 在一个应力主面上，由于切应力为零，全应力就等于该面上的正应力，也就等于主应力，因此，该面上的全应力在坐标轴上的投影成为：,2018/4/13,48,联合式（2-3）解出比值,，即得：,于是可得的二次方程：,解本方程，可求得两个主应力为：,2-6,根据式（2-6）可以得到：,2-7,（a）,2018/4/13,49,3.求主应力方向 设 与x轴的夹角为 则： 利用式（a）中的第一式，即得：同理，设 与x轴的夹角为 ，可得：,（b）,2018/4/13,50,再利用式（2-7），可得：,（c）,
23、由式（b）及式（c）可有：,也就是说， 的方向与 的方向互相垂直，如图2-4a所示。,2018/4/13,51,（5）求最大和最小的正应力与切应力 1.最大和最小正应力 如果已求得任意点的两个主应力 和 ，以及应力主向，就极易求得这一点的最大与最小的应力。为了简便，将x轴和y轴分别放在 和 的方向，于是有：,（d）,由式（2-4）及式（d）可得：,再利用关系,可得：,从上式可以看出 的最大值为 而最小值为 ，这就是说，两个主应力也就是最大值与最小值的正应力。,2018/4/13,52,2.最大或和最小剪应力 按照式（2-5）及式（d），任意斜面上的切应力为：,由上式可见，当,时,为最大值或最小
24、值，于是得,，而最大值与最小值的切应力为,x轴及y轴（即应力主向）成450的斜面上。,2018/4/13,53,，发生在与,2.4几何方程（1）几何方程推导 1.建立坐标系 在弹性体内取任一点P（x，y）作两个沿正标向的微分线段 PA， PB，并标出它们在变形后的位置 ，如图 2-5所示。,图2-5,2018/4/13,54,2.正应变 根据图2-5，可推得PA和PB的正应变：,3.剪应变 下面来求线段PA与PB之间的直角改变，即剪应变 。由图,可知，这个剪应变是由两方面组成的：一部分是y方向的位移,引起的，即x方向的线段PA的转角 ；,另一部分是由x方向的位移,引起的，即y方向的线段PB的转
25、角,。,2018/4/13,55,线段PA的转角是：,同样，可得线段PB的转角是：,于是，PA与PB之间的直角改变（以减小为正），即剪应变为：,这样就得到了平面问题中的简化的几何方程（柯西方程）：,2-8,2018/4/13,56,（2）几点说明几何方程表示任一点的微分线段上形变分量与位移分量之间的关系式。几何方程也是从微分角度导出的 ，并且应用了连续性和小变形两个基本假定。因此，其适用的条件是：连续性和小变形假定。对于平面应力问题和平面应变问题，几何方程相同。如果物体的位移确定，则形变完全确定。当物体的形变分量确定时，位移分量不完全确定。,2018/4/13,57,2.5 物理方程、虎克定律
26、（1）虎克定律 在完全弹性的各向同性体内，材料力学中的广义虎克(Hooke)定律表达式为：,2-10,2018/4/13,58,式中：E杨氏(Youg)弹性模量，又称拉压弹性模量，简称弹性模量；G剪切弹性模量，又称刚度模量；,横向收缩系数，又称泊松(Poisson)比。,这三个弹性常数之间有如下关系：,2-11,注意：这三个弹性常数只有在物体是完全弹性体、均匀的、各向同性的假设条件下才是不变量。,2018/4/13,59,（2）平面应力问题的物理方程 在平面应力问题中，已知： 所以式2-10可写成：,2018/4/13,60,因此平面应力问题中的物理方程可表示成：,2-12,可用来求薄板厚度的
27、改变。,2018/4/13,61,（3）平面应变问题的物理方程 在平面应变问题中，已知： 于是由式2-10的第三式得：,将上式代入式2-10第1式及第2式，并注意式2-12第三式仍然适用，得 平面应变问题的物理方程：,2-13,2018/4/13,62,（4）通过两种平面问题的对比，可得如下结论：所有应力（3个应力分量）、应变（3个形变分量）和位移（2个位移分量）分量均为坐标x,y的函数，与坐标z无关；独立的应力分量均为 ，故两者具有相同的平衡微分方程（2个平衡微分方程）；独立的应变分量均为 ，故两者具有相同的几何方程（3个几何方程）；若令 ，则两者的物理方程（3个物理方程）的形式相同。,20
28、18/4/13,63,2.6 边界条件（1）边界条件的分类 1. 位移边界条件 2.应力边界条件 3.混合边界条件 （2）位移边界条件 设在部分边界 上给定了约束位移分量 和 ，则有： 位移边界条件实质上是变形连续条件在约束边界上的表达式。,2-14,2018/4/13,64,（3）应力边界条件 设在 部分边界上给定了面力分量 ，我们可以将图 2-4b的三角形微分体移到边界上，使AB为边界面，并在边界面上用面力代替应力 和 ，再考虑其平衡条件，从而得出边界点的微分体上坐标面的应力与边界面上的面力之间的关系式： 上式要求s上任一点，应力分量必须等于对应的约束应力分量，这就是弹性力学中的应力边界条
29、件。,2-15,2018/4/13,65,（4）应力边界条件应注意的几点 1. 应力边界条件表示边界 上任一点的应力和面力之间的关系式。这也是函数方程，在 上每一点都应满足。 2. 式（2-3）表示区域内任一点的斜面上应力 与坐标面上应力 之间的关系式，适用于区域内任一点。而边界条件（2-15）只能应用于边界上，因此，必须将边界线s的方程代入式（2-15）的应力表达式中。,2018/4/13,66,3.注意式（2-15）中的面力、应力都有不同的正负符号规定，且分别作用于通过边界点的不同的面上。方向余弦 则按三角公式确定正负号。 4.在导出应力边界条件时，只考虑到一阶微量。体力项是二阶微量，因此
30、没有出现。 5.在平面问题中，位移边界条件和应力边界条件都是两个，分别表示x向和y向的条件。应力边界条件是边界点上微分体的平衡条件，也属于静力学条件。,2018/4/13,67,（5）混合边界条件 在平面问题的混合边界条件中，物体的一部分边界具有已知位移，因而具有位移边界条件，可用2-14式表示；另一部分边界则具有已知面力，因而具有应力边界条件，可用2-15式表示。此外，在同一部分边界上还可能出现混合边界条件。,2018/4/13,68,2.7 圣维南原理（1）圣维南原理 如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同），那么，近处的应力分
31、布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计，即局部效应原理。（2）原理中的注意点 1.变换后的面力必须与原面力静力等效; 2.面力变换只能是静力等效变换； 3.“近处”，根据实际经验，一般地讲大约是变换面力的边界的 12倍范围内；而此范围之外，可以认为是“远处”。,2018/4/13,69,（3）圣维南原理的应用 在图 2-8中 ，由于 ，左右两端是小边界。按照式（2- 15），在右端边界面上，严格的边界条要求：,图 2- 8,（a）,式（a）是很难满足的，因为式（a）要求在 x= l的边界上每一点（每一y值）上，应力都与对应的分布面力相等。,2018/4/13,70,在此小边界上应用圣维南
32、原理，式（a）可以用下面的静力等效条件代替：在右端小边界上，使应力的主矢量等于面力的主矢量，应力对某点的主矩等于面力对同一点的主矩（即数值相同，方向一致）。具体表达式为：,（b）,（1）在小边界上应力的主矢量和主矩的数值应当等于相应面力的主矢量和主矩的数值；（2）面力的主矢量和主矩的方向就是应力主矢量和主矩的方向。,式（b）表示：,2018/4/13,71,（4）式（a）与式（b）相比 1.式（a）是精确的，而式（b）是近似的； 2.式（a）有两个条件，一般为两个函数方程；而式（b）有三个积分条件，均为代数方程。 3.在求解时，式（a）难以满足，而式（b）易于满足。当小边界上的条件（a）难以满
33、足时，便可以用式（b）来代替。,2018/4/13,72,2018/4/13,73,2.8 按位移求解平面问题（1）求解平面问题的一般过程 通过上一节课的学习，已对平面应力问题和平面应变问题建立了如下三套基本方程：,1.平衡微分方程,2-2,2.几何方程,2-8,3.物理方程,平面应力问题中的物理方程：,2-12,平面应变中的物理方程：,2-13,2018/4/13,74,2018/4/13,75,4.边界条件,位移边界条件：,2-14,应力边界条件：,2-15,上述各方程组中有3个应力分量、3个形变分量及2个位移分量的未知函数，这些函数在区域内必须满足基本方程，在边界上必须满足边界条件。为此
34、，通常采用类似于代数方程中的消元法进行求解。,（2）按位移求解平面问题 按位移求解弹性力学平面问题的实质：是以位移分量 作为基本未知数，通过微分方程和边界条件求出位移分量，用几何方程求出应变分量，再用物理方程求出应力分量的过程。 下面推导求解过程： （平面应力问题）,1.首先平衡微分方程用位移分量表示,1）物理方程式2-12改成由应变表示应力分量的形式为：,2-16,2018/4/13,76,2018/4/13,77,2）将几何方程（2-8）代入，用位移分量来表示应力分量,2-17,3）将上式代入平衡微分方程2-2化简，就得到用位移分量表示的微平衡方程,2-18,2.边界条件用位移分量表示将式
35、2-17代入应力边界条件2-15，化简后，得：位移边界条件仍然如式（2-14）所示 。,2-19,2018/4/13,78,（3）按位移求解平面应力问题时的解题过程 1.要使得位移分量在区域内满足微分方程（2-18）；2.并在边界上满足位移边界条件（2-14）或应力边界条件（2-19）；3.求出位移分量以后，即可用几何方程（2-8）求得形变分量；4.再用式（2-17）求得应力分量。5.平面应变问题和平面应力问题相比，除了物理方程不同外，其他方程都相同。只要将上述各方程和边界条件中的 、 ，就可得出平面应变问题按位移求解的方程和边界条件。,2018/4/13,79,（4）应用位移法求解平面问题的
36、优缺点 1.优点 位移法是弹性力学的一种基本解法，能适应各种边界条件的弹性力学问题求解，在弹性力学的各种近似数值解法中有着广泛的应用。 2.缺点 求解过程比较复杂，在求解位移函数时，往往遇到很大的困难，目前已得出的函数解答很少。,2018/4/13,80,2.9按应力求解平面问题、相容方程（1）按应力求解的一般过程1.取 作为基本未知函数；2.将三套方程中的未知量用应力函数表示； 在前面所学的三套方程中，只有几何方程不是用应力表示的。因此，将几何方程中位移分量消除，并用应力分量表示即可。,2018/4/13,81,1）相容方程的推导 下面来考察几何方程：,将,对y的二阶导数和,对x的二阶导数相
37、加，得：,即：,（2-20）,式（2-20）称为变形协调方程或相容方程。它表示在连续假定条件下，,形变分量,不是互相独立的，而是相关的，否则,不存在。,2018/4/13,82,2）相容方程用应力分量表示,a.对于平面应力问题，将物理方程2-12代入2-20，得：,(a),b.利用平衡微分方程，可以消去式(a)中的剪应变。为此，将平面问题的平衡方程2-2写为：,（b）,2018/4/13,83,c.将（b）式的第1式对x求导，第二式对y求导，然后相加，并利用 ，得： 将式（c）代入a，化简以后，得：,2018/4/13,84,(c),（2-21）,或,（2-21）,其中,符号代表,称为拉普拉斯
38、(laplace)算子。,式（2-21）为以应力表示的平面应力问题的相容方程，或变形连续方程。,对于上述推导为应力问题的求解，而对于平面应变问题的求解只需要将,式（2-21）中,用,代换后即可得出,平面应变问题的相容方程，即：,2-22,2018/4/13,85,3.边界条件 在按应力求解平面问题时，由形变分量去求位移分量须要通过积分。因此，位移分量用应力分量表示的式子，不仅表达式较为复杂，而且还包含积分带来的未定项，这样使得位移边界条件用应力分量来表示时既复杂又难以求解。所以在按应力求解时，我们通常只考虑全部为应力边界条件的问题。即： 综上所述，按应力求解平面问题时，只需要 满足微平衡方程（
39、2-2）、相容方程（2-21）和边界条件（2-15），便可求得区域内的解。,2018/4/13,86,2-15,（2）单连体和多连体的概念 由于按应力求解平面问题时涉及到积分问题，因此，对于工程物体还有单连体和多连体之分。在求解问题时，对于多连体还要运用“位移单值条件”才能完全确定应力分量。 单连体：即对于在物体内所作的任何一根闭合曲线，都可以使它在物体内不断收缩而趋于一点，此种物体成为单连体，反之为多连体。,2018/4/13,87,（3）形变协调条件的物理意义 1.形变协调条件是连续体中位移连续性的必然结果。因为，在物体的连续性假定下，位移分量u和v必然是连续的，由此导出几何方程。 2.形
40、变协调条件是形变对应的位移存在且连续的必要条件。当形变分量满足了形变协调条件后，我们就能求出对应的位移分量，也就是说，对应的位移存在而且必然连续。反之，不满足形变协调条件的形变分量，不是物体中实际存在的，也求不出对应的位移。,2018/4/13,88,2.10常体力情况下的简化 应力函数（1）常体力情况下的简化 在很多的工程问题中，体力是常量，即体力分量不随坐标而变。因此，相容方程为：,2-23,应当满足拉普拉斯微分方程，即,是调和函数。,因此，在平衡微分方程（2-2）及相容方程（2-23）中，只包括,三个未知数，利用这三个方程及应力边界条件,（2-15）就可以进行解题。,2018/4/13,
41、89,（2）简化适用的条件1.体力为常量，则相容方程简化为式（2-23）； 2.全部边界上均为应力边界条件，没有位移边界条件；3.弹性体为单连体，位移单值条件自然满足，不必再校核。（3）满足上述条件解的特点 在上述条件下，解出的应力分量均与材料弹性常数无关，因此有下列结论：1.对于不同的材料，这三个应力分量的理论解答相同；在用试验方法求应力时，也可以用不同的模型材料来代替。2.对于两类平面问题平面应力和平面应变问题，这三个应力的解答相同，即理论解可以互相通用；在模型试验时，可以用平面应力问题的模型代替平面应变问题的模型，使模型的制作和加载大为简化。,2018/4/13,90,（4）平面问题的应
42、力函数方法 在常体力的情况下，按应力求解应力边界问题时，应力分量 应满足平衡微分方程和相容方程 ： 因此，弹性力学平面问题的应力函数方法，就是要引入一个自然满足平衡微分方程的应力函数，使得三个变量都可由一个应力函数决定。,。,(a),(b),2018/4/13,91,1.应力函数 平衡微分方程(a)，是一个非齐次微分方程组，它的全解应包括两个部分，即非齐次方程的特解和齐次方程的通解。 其特解可用试凑法求得，可以取为： 齐次方程为： 下面来研究齐次方程（d）的通解。根据微分方程理论，偏导数具有相容性。若设函数 ，则有：,(c),(d),2018/4/13,92,假如函数C和D满足下列关系式：,那
43、么对照上式，一定存在某一个函数f，使得：,为了求得齐次微分方程(d)的通解，将其中第一式改写为：,根据上述微分方程理论，这就一定存在某一个函数A（x，y）使得：,(e),2018/4/13,93,(f),同样将式(d)的第二式改写为,可见也一定存在某一函数B(x,y)，使得：,(g),(h),由式(f)及(h)可得：,此式把函数,联系起来了。因而艾瑞引进应力函数,，它的全微分,，于是有：,2018/4/13,94,(i),(j),将式(i)代入式(e)，式(j)代入式(g)，并将式(i)代入式(f)，即得,通解为 ：,（k）,代入平衡方程(d)，可知恒满足。,将齐次方程的通解（k）与任一组特解
44、，例如与特解(c) 叠加，,便得到非齐次方程的全解：,2-24,不论函数,取成什么形式，应力分量（2-24）总能满足平衡,微分方程(a)。,称为平面问题的应力函数，或称为艾里应力函数。,2018/4/13,95,2.相容方程的应力函数表示 通过微分方程求得的应力分量式（2-24）还需要满足相容方程（2-23）。将式2-24代入2-23，得： 在体力为零或为常量时，上式简化为： 若用拉普拉斯算子表示，则为：,2-25,2018/4/13,96,式中 表示： 称为双调和算子。方程（2-25）称为双调和方程。 因此，在常体力的情况下，平面问题的应力分量可用应力函数 来表示，而函数 必须满足双调和方程
45、，即 为双调和函数。 总结： 在常体力的情况下，弹性力学平面问题中存在着一个应力函数 。 按应力求解平面问题，可归纳为求解一个应力函数 。,2018/4/13,97,第三章 平面问题的直角坐标解答,本章重点： 1.按应力函数求解时，必须满足的条件。 2.逆解法和半逆解法。 3.由应力求位移的方法。 4.从简支梁受均布荷载的问题中，比较弹性力学和材料力学解法的异同。,2018/4/13,98,2018/4/13,99,3.1 逆解法与半逆解法 多项式解答 （1）当体力为常量时，用应力函数按应力求解平面问题时的解题步骤:1.在区域内的相容方程2.在边界s上的应力边界条件3.对于多连体，还必须考虑位移单值条件,
