1、1习题六 数理统计的基本概念A 组一、填空题1设 是来自总体 的简单随机样本，26,Z Z(0,1)N，则当 时， 。23456()()YCY2()解：因为 是总体 的样本，所以126, (, ， ，且两者相互独立。因此13Z(0)N456Z(0,3)N ， ，且两者相互独立。按 分布的定2,13,12义 ，即 ，即知 。2213456()()ZZ()3Y2()13C2.设随机变量 ， 且相互独立，则 。21()2421解：由性质， ， 且相互独立 1n22()n212()n故 。212(7)3.设随机变量 ，则 。Tt(0)PT解：4.5. 是总体 的简单随机样本，则当 时，125,X (,
2、1)XNk22345()(3.kYt解：因为 是总体 的样本，故 ，即有12, (0,1)12(0,)XN2， ，且 与 相互独12(0,1)XN22345(3)X12X2345X立，于是 ，因此所求的常数 。121221345345 ()() t 3k6.7.8.二、选择题9.10.11.12.13.14B 组1假定 为具有二阶矩的总体 的样本，试证明12,nX Xcov(,)0,12,.i in证明 因为 与 同分布，且相互独立，故12,n， ，()()iEXEX22)()iEX1,.in于是cov(,)()()(i i i由于 ，因此()0i i2c(,)()()i i iXEXEX其中
3、21()()()()nniij ijijjiE3221()()nEXn而22211()()n nj jkjj jjEXX2211()()nnj kjjkjEXE22222 211(1)()()(nkj nXEXn 所以 。cov(,)0iX* 也可利用数学期望与方差之间的关系计算 :2()E22 21()()()njjEDXDX222211()()()nnj jj jE222211()()()nnj jXX2E2设总体 服从泊松分布 ，求其样本 的联合分布。X()P12,n解 据已知， 相互独立，且 的分布列为12,n iX(1,2;,)!ikii iiein 于是 的联合分布列为12,nX
4、1212,n nPXkXkPkXPk 412 112!nn ikkk nkee 3在总体 中随机抽取一容量为 36 的样本，求：1）样本的均值2(5,6.3)XN X落在 到 之间的概率，2）样本方差 大于 的概率。50.8. 2s5.73解 这时有 。2,.n1）根据定理 6.1，有5(0,1)6.3/XN于是所求概率为 .25.81.50.8./36/63/XPP5.81.429174(.)(.429)63/X 0570.292）根据定理 6.2，有222(1)(1)(35)nsxn于是所求概率为 22 2().5.363sPs2(1)46.08n查 ，得 ，故有 。2(35)x20.1(
5、).5925.30.1Ps4在总体 中随机抽一容量为 5 的样本 。,4N2345,X（1）求样本均值与总体均值之差的绝对值大于 1 的概率；（2）求概率 ；12345max(,)PX5（3）求概率 。12345min(,)10PX解 据已知，总体的均值与方差分别为 ，且样本均值 ，2,4(12,)5XN于是（1）所求的概率为12124/5PXPXP5()(.8)(0.682).34（2） 相互独立且与总体同分布，故所求的概率为1235,X12345max(,)1PX12345,1X4551PXPPX5(.)0.932.2（3）所求的概率为1234512345min(,)10min(,)134
6、5,0PXXX1245PP55120105()().83.75求总体 的容量分别为 10，15 的两独立样本均值差的绝对值大于 的概2,3N 0.3率。6解 设 、 分别为这两个样本的均值，则 ， ，于是XY3(20,)1XN3(20,)15X3(0,)(,.5)1N而 ，因此所求概率为(,)0.5 0.30.310.31.5XYPXYPXYP.1 .42(.42)1.5.5 2(043)2(10.68)7注意：本题因 、 未知，因此不能应用定理 6.4。1s26分别从总体 和 中各取容量为 400 的两独立样本，求2(,)XN2(,30)Y常数 使 。0k0.9Pkk解 因为 ， ，于是2(
7、,)(,1)429(,)(,)40N930,XYN而 2()113/2/13/3/kXYkkPkkP因此依题设，有 ，或 ，所以，查表得2()0.913/()0.95/，即有.57/k4.621k7 设 为 的一个样本，求 。12,nX 2(0,.3)N021.4iiPX7解 令 ，则 ，于是由 分布的定义知0.3iiXY(0,1),2)iNin 2x221(0xYx故 1010102222.4.3.461i i ii iPXPPYPx查 分布表，得 ，即有 ，所以2x20.1()5.987x26.x10221.4.3.40.1i ii iY8设 是来自总体 的样本，求样本均值 的数学期望与方
8、差。12,nX 2()XxnX解 ，()E1()()2Dnn9 设 为来自泊松分布 的一个样本， 、 分别为样本均值12,nX PXS与样本方差，求 ， ， 。()X2()S解 因为 与总体 同分布，且相互独立，故12,n，()E1()()DXn而 2222()()()iXE2n所以2221()()()niiESEX22221 1()()()()ni nnn810设在总体 中抽取一容量为 16 的样本，这里 均未知，求：2(,)N2,（1） ,其中 为样本方差；（2）求 。2.401sPs2()Ds解 （1）因为 ，这里 ，于是22()(1)nx6n22().4015.40ssPP22(1)(
9、)3.63.615nn查 分布表，得 ，所以2x20.1(5).78x2.401.09sP（2）这里 ，因为16n422()()5nDss而，21()nsx2)30xn所以 442()3015Ds11分别从具有方差 和 的两正态总体抽取样本容量 、221816n，样本方差为 和 的两独立样本，求概率 。231n1s2 21/.Ps解 由定理 6.5 知2112(,)Fns于是所求概率为9222111 8/.6.6.740.5ssPsPP这是因为 ，查 表： 、 ，12(,)(0,3).74FnFF16n231时，有 ，故 ，即有 。0.5.74.521/.0.5s12已知 ，求证 。()Xt2
10、(,)n证明一：由 ，设 ，其中 ， ，且 与 相互tnYZn(0,1)N2()ZnYZ独立。所以 ，而 ， ，且 与 相互独立，由 分布的定2YXZn2(1)2()2YZF义和 服从自由度为 的 分布，即 ，证毕。2(,)F2(1,)XFn证明二： 由已知，有 121()()nXnxfxx欲证212(),0()0,nXxxfxn因为22()XFxPx故若 ，有 。0x20若 ，有102()()xXXFxPXftd即有221()()()XXXdf fxfx()Xf122()nnx12()nxn证毕。13设 为来自正态总体 的简单随机样本，记129,X X，3456( )6Y27891()3YX
11、，9227)iiSY1(ZS证明统计量 服从自由度为 2 的 分布。Zt证明 设 ，则 ， ，于是(,)XN21(,)6N2(,)3Y，或 2212(0,)(0,)63Y12(0,)/N而据定理 6-2，有 ，从而由 分布的定义知22Sxt，即12/()t12()(YZtS14已知总体 ，其样本 的方差是 ，2(,)XN12,nX 221()niSX11若 是对总体 的又一次独立抽样，试证明 。1nX 1(1)nXttnS证明 因为 ， ，于是2(,)Nn21(,)nN221 1(0,)(0,)nXn或1(,)nN而据定理 6-2，有 ，从而由 分布的定义知2(1)Sxnt，即12()/()nXtS1(1)nXttnS
