1、数列的分类（1）按项数分：可以分为有穷数列和无穷数列，即如果项数是有限的那么就是有穷数列，如果项数是无限的那么就是无穷数列：（2）按增减分：可以分为递增数列和递减数列，即如果数列的项是随着项数的增加而增加的就是递增数列，如果数列的项是随着项数的增加而减小的就是递减数列；（3）按项的特点分：可以分为摇摆数列和常数列，即如果数列的项是在某个或某几个数之间来回摇摆就是摇摆数列，如果数列的每一项都相等而且都是一个常数那么就是常数列。有穷数列的定义：项数有限的数列叫做有穷数列；无穷数列的定义：项数无限的数列叫做无穷数列；递增数列的定义：一般地，一个数列a n，如果从第 2 项起，每一项都大于它的前一项的
2、数列叫做递增数列。递减数列的定义：如果从第 2 项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列。单调数列：递增数列和递减数列通称为单调数列. 数列的单调性:1.对单调数列的理解:数列是特殊的函数,特殊在于其定义域为正整数集或它的子集.有些数列不存在单调性.有些数列在正整数集上有多个单调情况,有些数列在正整数集上单调性一定;2.单调数列的判定方法:已知数列a n的通项公式，要讨论这个数列的单调性，即比较 an 与an+1 的大小关系，可以作差比较；也可以作商比较，前提条件是数列各项为正。摆动数列的定义：从第 2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列。巧用(-1) n
3、求摆动数列的通项：在数列中，我们经常会碰到求形如：1，-1,1 ，-1，或-1,1，-1,1 ， ，等数列的通项，很显然，我们只要利用(-1) n 进行符号的调整，就能很快求出数列的通项公式，我们在其它摇摆数列中也可以巧妙地利用(-1) n 求出通项公式。例题 1.有穷数列 1，2 3，2 6，2 9， ，2 3n+6 的项数是（ ）A3n+7 B3n+6Cn+3D n+2答案：C例题 2.已知a n是递增的数列，且对于任意 nN*，都有 an=n2+n 成立，求实数 的取值范围解：a n是递增的数列，anan+1 对任意的 nN* 恒成立，即 n2+n(n+1)2+(n+1)，解得 -2n-
4、1，-2n-1-3， -3例题 3.共有 10 项的数列a n的通项 an= ，则该数列中最大项、最小项的情况是（ ）A.最大项为 a1，最小项为 a10 B.最大项为 a10，最小项为 a1 C.最大项为 a6，最小项为 a5 D.最大项为 a4，最小项为 a3答案：D例题 4*.在单调递增数列 an中，a 1=2，不等式(n+1)a nna2n 对任意 nN*都成立，（）求 a2 的取值范围；（）判断数列a n能否为等比数列？说明理由；（）设 ，求证：对任意的 nN*，（）解：因为a n是单调递增数列，所以 ，令 n=1， ，所以 。（）证明：数列a n不能为等比数列。用反证法证明：假设数
5、列a n是公比为 q 的等比数列， ，因为a n单调递增，所以 q 1，因为 nN*，(n+1)a nna2n 都成立，所以 nN*， ， 因为 q1，所以 ，使得当 时， ，因为 （nN*），所以 ，当 时， ，与矛盾，故假设不成立。（）证明：观察： ， ，猜想： ；用数学归纳法证明：（1）当 n=1 时， 成立；（2）假设当 n=k 时， 成立；当 n=k+1 时，所以 ，根据（1）（2）可知，对任意 nN*，都有 ，即 ，由已知得 ，所以 ，所以当 n2 时， ，因为 ，所以对任意 nN*， ，对任意 nN*，存在 mN*，使得 ，因为数列a n单调递增，所以 ， ，因为 ，所以 。例题
6、 5.已知下列数列：(1)2 000，2 004，2 008，2 012；(2)0， ；(3)1， ；(4)1， ；(5)1，0， -1， ，sin ， ；(6)3，3，3，3，3，3其中，有穷数列是（ ），无穷数列是（ ），递增数列是（ ），递减数列是（ ），常数列是（ ），摆动数列是（ ），周期数列是（ ）。（将合理的序号填在横线上）答案：(1)(6)； (2)(3)(4)(5)； (1)(2)；(3) ；(6)；(4)(5)；(5)例题 6.下列叙述中正确的个数为 （ ）数列a n，a n=2 是常数列； 数列 是摆动数列；数列 是递增数列；若数列a n是递增数列，则数列a nan+1也
7、是递增数列；A1B2C3D 4答案：C例题 7.已知 Sk 表示数列a k的前 k 项和，且 Sk+Sk+1=ak+1(kN* ），那么此数列是（ ）A递增数列 B递减数列 C常数列 D摆动数列例题 8.设 Sn 为数列a n的前 n 项和（n=1，2，3 ， ）。按如下方式定义数列 an：a1=m（mN*），对任意 kN* ，k 1，设 ak 为满足 0akk-1 的整数，且 k 整除Sk，（）当 m=9 时，试给出a n的前 6 项；（）证明：kN*，有 ；（）证明：对任意的 m，数列 an 必从某项起成为常数列。解：（）m=9 时，数列为 9，1 ，2，0，3，3，3，3，即前六项为 9
8、，1 ，2，0，3 ，3。（） ；（） 有 ，NkSk由（）可得 ，为定值且 单调不增，数列 必将从某项起变为常数，不妨设从 l 项起 为常数，则 ，于是 ，所以 ，所以a n当 nl+1 时成为常数列。例题 9*.数列a n满足：a n+1=3an-3an2，n=1，2，3，。（）若数列a n为常数列，求 a1 的值；（）若 a1= ，求证： ； （）在（）的条件下，求证：数列a 2n单调递减。（）解：因为数列 为常数列，所以 ， ，由 n 的任意性知， 或 。（）证明：用数学归纳法证明 ，当 n=1 时， ，符合上式；假设当 n=k（k1）时， ， 因为 ， 所以 ，即 ，从而 ，即 ，因
9、为 ，所以，当 n=k+1 时， 成立，由，知， 。 （）证明：因为（n2），所以只要证明 ，由（）知， ，所以只要证明 ，即证明 ，令 ，所以函数 f(x)在 R 上单调递增；因为 ，所以， ，即 成立，故 ，所以数列 单调递减。例题 10*.已知 An（a n，b n）（ nN* ）是曲线 y=ex 上的点，a 1=a，S n 是数列a n的前n 项和，且满足：，n=2，3，4， （）证明数列 是常数数列；（）确定 a 的取值集合 M，使 aM 时，数列a n是单调递增数列；（）证明当 aM 时，弦 AnAn+1（nN* ）的斜率随 n 单调递增。解：（）当 n2 时，由已知得 ，因为 ， 于是 ， 由-得 ， 于是 ， 由-得 ， 所以 (n2)是常数列。（）由有 ，由有 ，而表明：数列 分别是以 a2、a 3 为首项，6 为公差的等差数列，所以 ，数列 是单调递增数列 对任意的 kN*成立，即所求 a 的取值集合是 。（）弦 ，任取 x0，设函数 ，记 ，当 上为增函数，当 上为减函数，所以 ，从而 f（x ）0，所以 f（x ）在 上都是增函数；由（）知，当 aM 时，数列 单调递增，取 ；取 ；所以 的斜率随 n 单调递增。.
