1、1如图，在四边形 ABCD 中，BDCD,ACAB,E 为 BC 的中点，EDA=60，求证：AD=DE2如图，在ABC 中，ADCB、BEAC，且相交于 O 点,N、M 是CO、AB 的中点，连接 MN、ED，求证：MN 是 ED 的中垂线证明：连接 ME、MD、NE、ND (注：DE 与 MN 交于 P 点)因 ADCB、BEAC ，可得EM 为直角AEB 斜边 AB 上的中线，EM=1/2 AB； MD 为直角ADB 斜边 AB 上的中线，MD=1/2 AB EM=MDNE 为直角CEO 斜边 CO 上的中线，NE=1/2 COND 为直角CDO 斜边 CO 上的中线，ND=1/2 CO
2、 NE=ND又 MN=MNMENMDN所以EMN=DMN又 ME=MD，MP=MPEMPDMP EP=DP EPM = DPM = 1802 = 90即：MN 是 ED 的中垂线3、如图所示，BD、CE 是三角形 ABC 的两条高，M、N 分别是 BC、DE 的中点求证：MNDEBD，CE 为ABC 的两条高，BDAC，CEAB，BEC=BDC=90，在 RtBEC 中，M 为斜边 BC 的中点，EM=2分之一的 BC，同理在 RtBDC 中，M 为斜边 BC 的中点，可得 DM=2分之一 BC（不知 可是这图？ = =格式出了一点问题。 。 ）EM=DM，M 在线段 ED 的垂直平分线上，又
3、 N 为 ED 的中点，N 也在线段 ED 的垂直平分线上，MN 垂直平分 EDNME DCBA4、如图，四边形 ABCD 中，DAB=DCB=90 o，点 M、N 分别是 BD、AC 的中点。MN、AC 的位置关系如何？证明你的猜想。NMDCBA5、已知梯形 ABCD 中，B+C90 o，EF 是两底中点的连线，试说明BCAD2EF解:作 EM/AB,EN/CD,又 AD/BC,则四边形 AEMB,CDEN 是平行四边形,AE=BM,ED=CN,EMN=B，ENM=角CB+C=90，则MEN 是直角三角形。又E、F 分别为上、下底的中点AE=ED，BF=CF，BM=CN，则 MF=NF=1/
4、2（BCAD） ，则 EF=NF=1/2（BCAD） 。 （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半） 。FE DCBA6、如图1，在正方形 ABCD 和正方形 CGEF（CGBC）中，点 B，C，G 在同一直线上，点 M 是 AE 的中点（1）探究线段 MD，MF 的位置及数量关系，并证明（2）若将图1中的正方形 CGEF 绕点 C 顺时针旋转，使 D，C，G 三点在一条直线上，如图2，其他条件不变，则（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明（3）将图1中的正方形 CGEF 绕点 C 顺时针旋转，使正方形 CGEF 的对角线 CE 恰好与正方形 ABCD 的边 BC 在同一条直
5、线上，如图3，其他条件不变，则（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明答案解：(1)MD=MF 且 MDMF，理由如下：如图1：延长 DM 交 EF 于点 N在正方形 ABCD 和正方形 CGEF 中：AD=CD，FC=FEADC=CFE=90ADEF1=2M 是 AE 的中点AM=EM在ADM 和ENM 中ADMENM(ASA)AD=ENDM=NMAD=CDCD=ENFD=FNDM=NMMDMF，DFM= DFN=45DFM=FDM=45MD=MF(2)MDMF 且 MD=MF理由如下：如图2：延长 DM 交 GE 于点 N，连接 FD，FN在正方形 ABCD 和正方形 C
6、GEF 中：AD=CD，CF=EFADC=G=CFE=90ADGE，DCF=NFE=901=2M 是 AE 中点AM=EM在ADM 和ENM 中：ADMENM(ASA)AD=EN，DM=NMAD=CDCD=EN在FCD 和FEN 中FCDFEN(SAS)FD=FN，5=6CFE=906+CFN=905+CFN=90即DFN=90DM=NMMDMF，DFM= DFN=45MDF=DFM=45MD=MF(3)（1）中的两个结论不变理由如下：如图3：延长 DM 交 CE 于 N，连接 FD，FN在正方形 ABCD：AD=CD，ADBC，DCB=90DCE=90，1=2在正方形 CGEF 中：CFE=
7、90，FCE=FEC=45，CF=EFDCF=NEF=45M 为 AE 中点AM=EM在ADM 和ENM 中：ADMENM(ASA)AD=EN，DM=NMAD=CDCD=EN在FDC 和FNE 中FDCFNE(SAS)5=6，FD=FNCFE=906+CFN=905+CFN=90即DFN=90DM=NMFMDM，DFM= DFN=45MDF=DFM=45MD=MF7、如图,已知在三角形 ABC 中,分别以 AC,BC 为边向外做正三角形 BCE、正三角形 ACD，BD 与 AE 交于 M，求证：MC 平分角 DME8.已知：在 中， ，动点 绕 的顶点 逆时针旋转，且ABCADABC，连结 过
8、 、 的中点 、 作直线，直线 与直线 、DEFEFAD分别相交于点 、 MN图 2 图 3图 1HMFEA BCDMNFEA BCDMNFEA BCD(N)（1）如图 1，当点 旋转到 的延长线上时，点 恰好与点 重合，取DBCNF的中点 ，连结 、 ，根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得ACHEF结论 （不需证明） NMF（2）当点 旋转到图 2 或图 3 中的位置时， 与 有何数量关系？AMBE请分别写出猜想，并任选一种情况证明分 析 ： 取 AC 的中点 H，连接 HE、HF，当点 D 旋转到图 2 中的位置时，由 F 为 DC 的中点，E 为 AB 的中点，根据三角形中位线的性质
9、得到 FHAD，且 FH=1/2AD；HEBC，且 HE=1/2BC，得到HFE=AMF，HEF=ENB，HE=HF，则HEF=HFE，所以AMF=BNE；当点 D 旋转到图 3 中的位置时，同理可证得AMF=BNE解：取 AC 的中点 H，连接 HE、HF，如图，当点 D 旋转到图 2 中的位置时，F 为 DC 的中点，E 为 AB 的中点，FHAD，且 FH=1/2AD；HEBC，且 HE=1/2BC，HFE=AMF，HEF=ENB，HE=HF，HEF=HFE，AMF=BNE；当点 D 旋转到图 3 中的位置时，用同样的方法可证明HFE=AME，HEF=BNE，而HFE=HEF，AME=B
10、NE，而AMF+AME=180，AMF+BNE=180故答案为：AMF=BNE 或AMF+BNE=1809、已知：如图，在 正 方 形 ABCD 中 ，点 G 是 BC 延 长 线 一 点 ，连 接 AG，分别交 BD、CD 于点 E、F（1）求证：DAE=DCE；（2）当 CG=CE 时，试判断 CF 与 EG 之间有怎样的数量关系？并证明你的结论（3）在 （2）的条件下，求 DF/FC 的值10、如图1，在 四 边 形 ABCD 中 ，A B=CD，E、F 分 别 是 BC、A D 的 中 点 ，连接 EF 并 延 长 ，分 别 与 BA、C D 的 延 长 线 交 于点 M、N ，则BM
11、 E=CN E（不需证明） （温馨提示：在 图1中 ，连 接 BD，取 BD 的 中 点 H，连 接 HE、HF，根据三角形中 位线定理，证明 HE=HF，从而1= 2，再利用平行线性质，可证得BM E=CN E ）问题一：如图2，在 四 边 形 ADBC 中 ，A B 与 CD 相交 于点 O，A B=CD，E、F 分别 是 BC、A D 的 中 点 ，连 接 EF，分 别 交 DC、A B 于点 M、N ，判断OM N 的 形状，请直接写出结论；问题二：如图3，在 A BC 中 ，ACA B，D 点在 AC 上，A B=CD，E、F 分 别 是BC、A D 的 中 点 ，连 接 EF 并
12、延 长 ，与 BA 的 延 长 线 交 于点 G，若E FC=60，连 接 GD，判断AGD 的 形状并 证明解：（1）取 AC 中点 P，连接 PF，PE，可知 PE=AB/ 2 ，PEAB，PEF=ANF，同理 PF=CD / 2 ，PFCD，PFE=CME，又 PE=PF，PFE=PEF，OMN=ONM，OMN 为等腰三角形（2）判断出AGD 是直角三角形证明：如图连接 BD，取 BD 的中点 H，连接 HF、HE，F 是 AD 的中点，HFAB，HF=1/2AB，同理，HECD，HE=1/2CD，AB=CDHF=HE，EFC=60，HEF=60，HEF=HFE=60，EHF 是等边三角形，3=EFC=AFG=60，AGF 是等边三角形AF=FD，GF=FD，FGD=FDG=30AGD=90即AGD 是直角三角形11、已知：点 B、C 分别在射线 OA、OD 上，AB=CD，PAB 的面积等于PCD 的面积。求证：OP 平分AOD。12、如图，在 ABC 中 ， ABC=60，A D、C E 分别平分 BAC、 ACB，求证：A C=AE+CD
