1、,第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件,原命题的逆命题和否命题有怎样的真假关系？提示:真假相同，因为原命题的逆命题和否命题互为逆否命题，故有相同的真假性.,命题“若p，则q”的逆命题为真，逆否命题为假，则p 是q的什么条件？提示:逆命题为真即q p,逆否命题为假，即p q, 故p是q的必要不充分条件.,1命题：“若x21，则1x1”的逆否命题是（ ） （A）若x21，则x1或x1 （B）若1x1，则x21 （C）若x1或x1，则x21 （D）若x1或x1，则x21 【解析】选D，逆否命题是条件和结论都否定.故选D.,2x1是x21的（ ） （A）充分条件 （B）必要条件 （C）充要条件 （
2、D）既不充分也不必要条件 【解析】选A.x1 x21，但是x21 x1.故选A.,3.下列命题中正确的是（ ） “若x2y20，则x，y不全为零”的否命题 “正多边形都相似”的逆命题 “若m0，则x2xm=0有实根”的逆否命题 “若 是有理数，则x是无理数”的逆否命题 (A) (B) (C) (D),【解析】选B.的否命题是“若x2y2=0，则x，y全为零”,是真命题，的逆命题是“相似形是正多边形”，是错误的；的原命题是真命题，故它们的逆否命题是真命题.,4.“在ABC中,若C=90,则A、B都是锐角”的否命题为:_，否定形式是_. 【解析】原命题的条件：ABC中，若C=90， 结论：A、B都
3、是锐角.否命题是否定条件和结论. 即在ABC中，若C90,则A、B不都是锐角. 否定形式是只否定结论. 即在ABC中，若C=90,则A、B不都是锐角. 答案:在ABC中，若C90，则A、B不都是锐角在ABC中，若C=90,则A、B不都是锐角,5.圆(x-a)2+(y-b)2=r2经过原点的充要条件是_(用含有a,b,r的等式表示). 【解析】把(0,0)代入(x-a)2+(y-b)2=r2得 a2+b2=r2，反之也成立. 答案:a2+b2=r2,1.命题的否定与否命题的区别 若p表示命题，“非p”叫做命题的否定.如果原命题是 “若p，则q”，否命题是“若p，则q”，而命题的否定是“若p，则q
4、”，即只否定结论. 2原命题与逆否命题的关系 往往可以通过判断原命题的逆否命题的真假，从而得出原命题的真假.,3反证法的常见题型 否定性问题、存在性问题、惟一性问题，至多、至少问题， 结论的反面比原结论更具体更易于研究和掌握. 4充分条件与必要条件的两个特征 (1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即 “p q” “q p”； (2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要) 条件，则p是r的充分(必要)条件.,四种命题及其关系 【例1】已知命题p: “若ac0,则二次方程ax2+bx+c=0没有实根” （1）写出命题p的否命题 （2）判断命题p的否命题的真假,并证
5、明你的结论. 【审题指导】先写出p的否命题，再去判断其真假，注意结合二次方程没有实根的情况.,1,【自主解答】(1)否命题: “若ac0,则二次方程ax2+bx+c=0 有实根” (2)命题p的否命题为真命题,证明如下: ac0,-ac0 =b2-4ac0 二次方程ax2+bx+c=0 有实根,【规律方法】1.命题真假的判定：对于命题真假的判定，关键是分清命题的条件与结论，只有将条件与结论分清，再结合所涉及的知识才能正确地判断命题的真假. 2.掌握原命题和逆否命题，否命题和逆命题的等价性，当一个命题直接判断真假性不容易进行时，可以转而判断其逆否命题的真假.,【互动探究】命题p不变，写出命题p的
6、逆否命题，并判断其真假. 【解析】命题p的逆否命题： 若二次方程ax2+bx+c=0有实根，则ac0. ax2+bx+c=0有实根， b2-4ac0， 而ac不一定小于零， 故是假命题.,【变式训练】写出“若x=2或x=3，则x2-5x+6=0”的逆命题、否命题、逆否命题及命题的否定，并判断其真假. 【解析】逆命题：若x2-5x+6=0，则x=2或x=3，是真命题； 否命题：若x2且x3，则x2-5x+60，是真命题； 逆否命题：若x2-5x+60，则x2且x3，是真命题, 命题的否定：若x=2或x=3，则x2-5x+60，是假命题.,充分条件和必要条件的判定 【例2】下列各小题中，p是q的什
7、么条件？ (1) p：a,b是整数;q：x2+ax+b=0有且仅有整数解 (2)p：a+b=1; q：a3+b3+ab-a2-b2=0 (3) p：x,y是实数，xy0; q：|x+y|=|x|+|y| (4) p：a1; q：ax2+2x+1=0至少有一个负的实根.,2,【审题指导】根据所给的条件,结合充分条件、必要条件的定义判断所给条件和结论的关系. 【自主解答】(1)必要不充分条件. q p成立而p q不成立， 设x2+ax+b=0的解是x1,x2，由x1,x2是整数，x1+x2=-a, x1x2=b 得a,b是整数，所以必要性成立.由a,b是整数，x1+x2=-a, x1x2=b,则x
8、1,x2不一定是整数，方程x2+ax+b=0有且仅有整数解不成立，所以充分性不成立.,(2)充分不必要条件. a3+b3+ab-a2-b2=0即(a+b-1)(a2-ab+b2)=0 p q成立而q p不成立. (3)充分不必要条件. xy0 x,y同正或同负 当 |x+y|=|x|+|y| 当 |x+y|=|x|+|y| xy0 |x+y|=|x|+|y| 但反之不能推出，如当x=0,y=2时，有|x+y|=|x|+|y|成立，xy0却不成立，,(4)充要条件. 当a=0时，原方程变形为一元一次方程2x+1=0，有一个负 的实根. 当a0时，原方程为一元二次方程，有实根的充要条件是 a0且=
9、4-4a0,即a1且a0. 设两根为x1、x2, 则有一负实数根时，,有两负实数根时，综上可得， a1. 反之当0a1时， 方程有两负实数根. 当a0时, 方程有一负实根 当a=0时,方程有一负根 p q成立，且q p成立.,【规律方法】判断充分条件、必要条件的方法 1命题判断法 设“若p,则q”为原命题，那么： (1)原命题为真，逆命题为假时，则p是q的充分不必要条件；(2)原命题为假，逆命题为真时p是q的必要不充分条件；(3)原命题与逆命题都为真时，p是q的充要条件；(4)原命题与逆命题都为假时，p是q的既不充分也不必要条件.,2集合判断法 从集合的观点看，建立命题p,q相应的集合：p:A
10、=x|p(x)成 立,q:B=x|q(x)成立，那么： (1)若A B，则p是q的充分条件，若A B时，则p是q的充 分不必要条件； (2)若B A，则p是q的必要条件，若B A时，则p是q的必 要不充分条件； (3)若A B且B A时，即A=B，则p是q的充要条件.,【变式训练】（2011深圳模拟）已知a、b为实数，则2a2b是log2alog2b的（ ） （A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 【解析】选B.由于2a2b，得ab，但不一定有log2alog2b，因为a,b可负，反之一定成立，故选B.,充分条件和必要条件的应用 【例3】已知集合
11、M=x|x-3或x5，P=x|(x-a)(x-8)0. （1）求实数a的取值范围，使它成为MP=x|5x8的充要条件； （2）求实数a的一个值，使它成为MP=x|5x8的一个充分但不必要条件； （3）求实数a的取值范围，使它成为MP=x|5x8的一个必要但不充分条件.,【审题指导】求a的取值范围使它成为MP的不同条件，可借助集合的观点，根据要求，求出成立时a的取值范围. 【自主解答】（1）由 MP=x|5x8，得-3a5，因此MP=x|5x8的充要条件是a|-3a5； （2）求实数a的一个值，使它成为MP=x|5x8的一个充分但不必要条件，就是在集合a|-3a5中取一个值，如取a=0，此时必有
12、MP=x|5x8；反之，MP=x|5x8未必有a=0，故a=0是所求的一个充分不必要条件；,（3）求实数a的取值范围，使它成为MP=x|5x8的一个必要不充分条件就是另求一个集合Q，故a|-3a5是集合Q的一个真子集.如果a|a5时，未必有MP=x|5x8，但是MP=x|5x8时，必有a5，故a|a5是所求的一个必要不充分条件.,【规律方法】解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解.,【变式训练】已知p：x28x200，q：x22x1a20，且p是q的充分不必要条件，求正实数a的取值范围 【解析】由x2-8x-200得
13、x-2或x10, p：x-2或x10. 由x2-2x+1-a20得x1-a或x1+a 命题q：x1-a或x1+a 若p是q的充分不必要条件，, 解得0a3. a的取值范围为0a3.,充要条件的证明和探求 【例】求证：ABC是等边三角形的充要条件是a2b2c2abacbc.这里a、b、c是ABC的三条边. 【审题指导】已知ABC是等边三角形，证a2+b2+c2= ab+ac+bc是必要性，反之是充分性，证明时注意对a2+b2+c2=ab+ac+bc的化简.,【规范解答】 (必要性)ABC是等边三角形，且a、b、c是其三边， a=b=c,a2+b2+c2=ab+ac+bc. （充分性）a2+b2+
14、c2=ab+ac+bc, (a-b)2+ （a-c）2+ (b-c)2=0即(a-b)2+(a-c)2+ (b-c)2=0, a=b=c,a、b、c是ABC的三边,ABC是等边三角形. 综上所述，ABC是等边三角形的充要条件是a2b2c2abacbc.,【规律方法】1.充要条件的证明应注意的问题： （1）一般地，条件已知，证明结论成立是充分性，结论已知，推出条件成立是必要性. （2） 有关充要条件的证明问题，要分清哪个是条件，哪个是结论. 2.充要条件的探求方法 （1）利用充要条件进行等价转化. （2）利用结论的必要性寻求解决问题的切入点.,提醒：有关充要条件探求的问题中，易犯的错误是用“必要
15、条件(或充分条件)”去代替“充要条件”.,【变式备选】求关于x的方程x2+(2k-1)x+k2=0的两个实根都大于1的充要条件. 【解析】方法一：设方程的两个根为x1,x2，则 x1+x2=-2k+1,x1x2=k2,所以,解得k-2，故所求的充要条件是k-2.,方法二：记f(x)=x2+(2k-1)x+k2，故所求的充要条件是：解得k-2，故所求的充要条件是k-2.,新定义题的切入点 【典例】（2010湖北高考改编）记实数x1,x2,xn中的最 大数为maxx1,x2，,xn，最小数为minx1,x2，,xn.已 知ABC的三边边长为a、b、c（abc）,定义它的倾斜度 为t=max min
16、 ,求证“t=1”是“ABC 为等边三角形”的必要不充分条件. 【审题指导】解答本题的关键是弄清题目中倾斜度的概念及 其求法，然后从必要性和充分性两方面证明，不成立的条件 举出反例即可.,【规范解答】（必要性）若ABC为等边三角形，则a=b=c, 此时 =1，所以t=max min =1 (充分性)若t=max min =1， 例如a=b=2,c=3,此时max = ，min = ， 则t=1，但是ABC是等腰三角形，而不是等边三角形. 综上t=1是ABC为等边三角形的必要不充分条件.,【创新点拨】本题以最大的数和最小的数作为题目背景，定义“倾斜度”，由于题目的背景对中学生来说是新颖的，可以充
17、分考查学生的读题、理解题意的能力，因此在高考题中经常出现. “新定义”题的常见类型有： 1.把学生没有见过的数学知识作为新情境，例如本题. 2.自我规定一些题目背景. 解答这类题的关键是理解题目所处的新背景，联系所学的知识，选择正确的解题方法.,【变式训练】（2011珠海模拟）集合U=(x,y)|xR, yR,A=(x,y)|2x-y+m0，B=（x,y）|x+y-n0，那 么点P（2，3）A 的充要条件是（ ） (A)m-1,n-1,n5 (D)m5 【解析】选A.P（2，3）A，则22-3+m0，得m-1,又 P（2，3） ,所以2+3-n0,故得n5.,1.(2010福建高考)若向量 =
18、(x,3)(xR).则“x=4”是 “| |=5”的（ ） (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分又不必要条件 【解析】选A.当x=4时, =(4,3),则| |=5.若| |=5,则 x=4，故“x=4”是“| |=5”的充分而不必要条件.,2.（2011济南模拟）给出命题：已知a、b为实数，若a+b=1，则 在它的逆命题、否命题、逆否命题三个 命题中，真命题的个数是（ ） (A)3 (B)2 (C)1 (D)0 【解题提示】先利用原命题和逆否命题之间的关系判断真假，然后再写出逆命题判断真假，得否命题的真假.,【解析】选C.因为a+b=1 1=(a+b
19、)2=a2+2ab+b24ab所以原命题为真命题;从而逆否命题亦为真命题.若不一定有a+b=1，故逆命题为假命题，从而否命题 亦为假命题.故在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题 中，真命题的个数为1.,3.（2011中山模拟）已知a1,f(x)=ax2+2x，则f(x)1成立的一个充分不必要条件是（ ） （A）0x1 （B）-1x0 （C）-2x0 （D）-2x1 【解析】选B.f(x)1,即：ax2+2x1,也就是x2+2x0(a1)，解得:-2x0,经验证知，B适合.,4.（2011惠州模拟）“= ”是“sin= ”的_ _条件 (填“充分不必要”或“必要不充分”或“充 要”或“既不充分
20、也不必要”) 【解析】当= 时 但是sin= 时，角 不一定是 ，如可以是 等，故是充分不必要条件. 答案:充分不必要,一、选择题（每小题4分，共20分） 1下列命题中，为真命题的是( ) (A) 是空集 (B)xN|x1|3是无限集 (C)空集是任何集合的真子集 (D)x25x0的根是自然数 【解析】选D.方程x25x0的根是0和5，都是自然数，故选D.,2.（2011佛山模拟）已知a,b是实数，则“a0且b0”是“a+b0且ab0”的( ) (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 【解析】选C.对于“a0且b0”可以推出“a+b0且a
21、b0”，反之也是成立的.,3.（2011韶关模拟）下列命题是真命题的为( ) (A)若 ,则x=y (B)若x2=1,则x=1 (C)若x=y,则logax=logay (D)若xy,则 x2y2 【解题提示】根据条件逐一验证，但是要注意每个选项字母 的所有可能取值. 【解析】选A.由 得x=y,故A正确；而由x2=1得x=1,则 B不正确；当x=y0时,logax和logay无意义,而x=-3y=1 时，得不到x2y2.故选A.,4. 已知条件p:x1，条件q: 1，则p是q成立的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既非充分也非必要条件 【解析】选B.因
22、为q: 1， 所以q： 1，解得0x1， 又（0，1 （-,1,故q p,p q, 因此p是q成立的必要不充分条件.,5.一元二次方程ax2+2x+1=0有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( ) （A）a0 （B）a0 （C）a-1 （D）a1 【解题提示】先由方程有一个正根和一个负根求出a满足的条件，再根据充分不必要条件确定a的范围. 【解析】选C.若方程有一个正根和一个负根， 则=4-4a 0且 0，得a0， 故充分不必要条件是a-1.,二、填空题（每小题4分，共12分） 6.“末位数是0或5的整数能被5整除”的否定形式是_ _ 否命题是_ 答案:末位数是0或5的整数，不能被5整除 末
23、位数不是0且不是5的整数，不能被5整除,7. 若f(x)=ax2+bx+c(a0,xR),f(-1)=0,则:“b-2a”是“f(2)0”成立的_条件.,【解析】f(-1)=0,a-b+c=0,c=b-a, f(2)4a+2b+c=3a+3b； 若b-2a,则f(2)=3a+3b3a+3(-2a) =-3a0(a0),是充分条件. 若f(2)=4a+2b+c=3a+3b0,则b-a,a0, 不能推出b-2a,不是必要条件，综上可知，“b-2a”是“f(2)0”成立的充分不必要条件. 答案:充分不必要,8.（2011中山模拟）设集合A=x|x2-4x+30,B=x|a-4xa+4,且xA是xB的
24、充分不必要条件，则实数a的取值范围是_. 【解析】由已知A B，A=x|1x3, 解得-1a5. 答案:-1,5,三、解答题（每小题9分，共18分） 9.（2011湛江模拟）设条件p:2x2-3x+10,条件q:x2-(2a+1)x+a(a+1)0，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围. 【解题提示】先求出p、q，再写出p、q.利用必要不充分条件直接求a的取值范围.,【解析】命题p为：x| x1,命题q为： x|axa+1，p对应的集合A=x|x1或x , q对 应的集合B=x|xa+1或xa, p是q的必要不充分条件，B A， a+11且a 或a+11且a . 0a .,10.求证：
25、关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0. 【证明】必要性: 若方程ax2+bx+c=0有一个根为1, x=1满足方程ax2+bx+c=0, a+b+c=0.,充分性： 若a+b+c=0,b=-a-c, ax2+bx+c=0化为ax2-(a+c)x+c=0, (ax-c)(x-1)=0, 当x=1时，ax2+bx+c=0, x=1是方程ax2+bx+c=0的一个根.,【方法技巧】充要条件的证明技巧： 1.充要条件的证明分为两个环节，一是充分性；二是必要性.证明时，不要认为它是推理过程的“双向书写”，而是应该进行条件到结论，结论到条件的证明. 2.证明时易出现必要性和充分性混淆的情形，这就要求我们分清哪是条件，哪是结论.,【探究创新】 （10分）命题p:-2m0,0n1;命题q:关于x的方程x2+mx+ n=0有两个小于1的正根，试分析p是q的什么条件. 【解析】 (1)取 方程为 方程无实根.故p q.,(2)若关于x的方程x2+mx+n=0有两个小于1的正根， 设为x1、x2,则0x11,0x21. 0x1+x22,0x1x21. 又x1+x2=-m，x1x2=n, 0-m2,0n1， 即-2m0,0n1.q p. 综上所述，p是q的必要不充分条件.,Thank you!,
