1、1,信号与系统(Signal & system)教师：徐昌彪,2004-11-25,电路基础教学部,2,第三章 信号的频谱分析与傅里叶变换分析法3.1 周期信号的傅里叶级数3.2 周期信号的频谱与功率谱3.3 傅里叶变换3.4 典型信号的傅里叶变换3.5 傅里叶变换的性质3.6 周期信号的傅里叶变换3.7 能量谱密度与功率谱密度3.8 傅里叶变换分析法3.9 无失真传输系统与理想低通滤波器3.10 柚样定理,电路基础教学部,2004年11月25日10时7分,3,傅里叶傅里叶（Jean Baptiste Joseph Fourier， 17681830）生于法国中部欧塞尔一个裁缝家庭，8岁时沦为
2、孤儿。最早使用定积分符号，傅立叶级数的（三角级数）创始人。1795年任巴黎综合工科大学助教，1798年随拿破仑军队远征埃及，回国后被任命为格伦诺布尔省省长。1817年当选为巴黎科学院院士，1822年成为科学院终身秘书。1807年，他向科学院呈交了一篇题为“热的传播”的论文。在论文的审阅人中，拉普拉斯、蒙日和拉克鲁瓦都是赞成接受这篇论文的。但是遭到了拉格朗日的强烈反对。于是，这篇文章为此而未能发表。为了推动对热扩散问题的研究，科学院于1810年悬赏征求论文。傅里叶呈交了一篇对其1807年的文章加以修改的论文，题目是“热在固体中的运动理论” 。这篇论文在竞争中获胜，傅立叶曾获得科学院颁发的奖金。可
3、能是由于拉格朗日的坚持，这篇论文又未能正式发表。傅里叶认为这是一种无理的非难，他决心将这篇论文的数学部分扩充成为一本书。他终于完成了这部书，书名热的解析理论，于1822年出版。热的解析理论，是记载着傅里叶级数与傅里叶积分的诞生经过的重要历史文献，是一部划时代的经典性著作。,电路基础教学部,2004年11月25日10时7分,4,3.1 周期信号的傅里叶级数3.1.1 三角形式傅里叶级数(Fourier series)3.1.2 指数形式傅里叶级数,电路基础教学部,2004年11月25日10时7分,5,3.1.1 三角形式傅里叶级数(1)以为周期的周期信号f(t)，若满足下列狄里赫勒条件：在一个周
4、期内只有有限个不连续点；在一个周期内只 有有限个极大值点和极小值点；f(t)在一个周期内绝对可积。则有：f (t ) = a0 + (an cos n 0 t + bn sin n 0 t )n =1,电路基础教学部,2004年11月25日10时7分,6,3.1.1 三角形式傅里叶级数(2)f (t ) = a0 + (an cos n 0 t + bn sin n 0 t )n =1,其中,a0 =,1 T,T / 2,T / 2,f (t )dt,an =bn =,2 T2 T,T / 2 T / 2T / 2 T / 2,f (t ) cos n 0 tdtf (t ) sin n 0
5、tdt,(n = 1,2,3,L)(n = 1,2,3,L), 0 = 2 / T 称为基本角频率,an , bn,称为傅里叶系数,电路基础教学部,2004年11月25日10时7分,2,2,),a0,7,3.1.1 三角形式傅里叶级数(3)f (t ) = a0 + An cos(n 0 t + n )n =1,其中,An = an + bn, n = arctg(, bnan,为信号的直流分量An cos(n 0 t + n ) 为信号的n次谐波分量任何一个满足狄里赫勒条件的周期信号都可以分解为一个直 流分量和许多谐波分量之和。,电路基础教学部,2004年11月25日10时7分,8,3.1.
6、1 三角形式傅里叶级数(4)信号波形的对称性与傅里叶系数之间的关系f(t)为偶函数: f(t) f(-t)无正弦项，即bn=0f(t)为奇函数: f(t)- f(-t)无常数项和余弦项，即a=0 ，an=0f(t)为偶谐函数: f(t) f(tT/2)无奇次谐波项，即ak+1=0， bk+1=0f(t)为奇谐函数: f(t)- f(tT/2)无常数项和偶次谐波项，即a=0 ， ak=0， bk=0,电路基础教学部,2004年11月25日10时7分,1,2,1 2 1,2,9,3.1.2 指数形式傅里叶级数(1),f (t ) =, Fn e n = ,jn 0 t,其中,Fn =,1 T,T
7、/ 2,T / 2,f (t )e jn 0 t dt 称为傅里叶复系数,说明： Fn =| Fn |=,(an jbn ) =| Fn | e j nan + bn = An 2 2, n = nF0 = a0 Fn = F*n,电路基础教学部,2004年11月25日10时7分,1 T / 2,2 T / 2,),10,3.1.2 指数形式傅里叶级数(2)例：求如图所示信号的傅里叶级数。f(t)A,L,L,a0 = T T / 2,-T,-/2 0 /2A f (t )dt =T,T,t,an = T T / 2,f (t ) cos n 0 tdt =,2 A n,sin(,n 02,bn
8、 = 0,电路基础教学部,2004年11月25日10时7分,+ ,A 2 A n ,n =1 n,T, jn 0 t,f (t )e,=,) =,sin(,1,Sa(,),x,n 0 jn 0 t,= ,11,3.1.2 指数形式傅里叶级数(3),f (t ) = a0 + (an cos n 0 t + bn sin n 0 t )n =1= sin( 0 ) cos n 0 t2,Sa( x ) =1,sin xx,1 T / 2 Fn = T T / 2A n 0 An 2 T,dt = (an jbn )2n 02,-3 - 2-2 0 3,f (t ) =, Fn e n = ,jn
9、 0 t,=,AT,n Sa( 2 )e, ,Sa( x )dx = ,电路基础教学部,2004年11月25日10时7分,12,3.2 周期信号的频谱与功率谱3.2.1 周期信号的频谱（Spectrum）3.2.2 周期信号的功率谱（Power spectrum）,电路基础教学部,2004年11月25日10时7分,13,3.2.1 周期信号的频谱(1)f (t ) = a0 + An cos(n 0 t + n )n =1,f (t ) =, Fn e jn 0 t n = ,各种周期信号的区别在于：分量的数目、角频率、幅度、相位。,频谱：幅度谱、相位谱,单边频谱：,单边幅度谱 An n 0
10、单边相位谱 n n 0,双边频谱：,双边幅度谱 | Fn | n 0 双边相位谱 n n 0,电路基础教学部,2004年11月25日10时7分,F0,A0,0,An, 3,0,0,-2,14,3.2.1 周期信号的频谱(2),n,A1A2A3 0 20 30 n0,|F-1| |F-3| |F-2|-30 -20 -0 0,|Fn|F1|A2| |A3|0 20 30 n0n, 1, 2,-30 -20 -0,1,2,3,0 20 30 n0单边频谱,-3 ,0 20 30 n0-1双边频谱,电路基础教学部,2004年11月25日10时7分,1,15,3.2.1 周期信号的频谱(3)例：求周期
11、矩形脉冲信号的双边频谱。f(t)A,L,L,-T,-/2 0 /2,T,t,1 T / 2 Fn = T T / 2,f (t )e, jn 0 t,dt = (an jbn )2,=,A n,sin(,n 02,) =,AT,Sa(,n 02,),电路基础教学部,2004年11月25日10时7分,16,3.2.1 周期信号的频谱(4),周期信号频谱的特点：,离散性 谐波性 收敛性, 和与频谱的关系,随着 的增大，各条谱,线高度减小，谱线变密。,有效频带宽度不变。随着 的减小，各条谱 线高度减小，有效频度带, n,宽度增大。,有效频度带宽度与脉冲宽 宽成反比, , , ,电路基础教学部,200
12、4年11月25日10时7分,2,2,2,2,17,3.2.2 周期信号的功率谱,P =,1 T,T / 2,T / 2,f 2 (t )dt,P =, | Fn |2 = a0 + n= n=1,An2,P =,1 T,T / 2,T / 2,f (t )dt =, | Fn |2 n= ,称为帕什瓦尔定理,功率谱 | Fn | n 0,电路基础教学部,2004年11月25日10时7分,18,3.3 傅里叶变换(Fourier transform)3.3.1 傅里叶正变换3.3.2 傅里叶反变换3.3.3 频谱密度函数,电路基础教学部,2004年11月25日10时7分,lim,T ,19,3.
13、3.1 傅里叶正变换(1),定义 f (t ) F ( ) = ,f (t )e jt dt,应用此式的条件：f(t)在无限区间内绝对可积。, 由来周期信号 fT (t ),| f (t ) | dt 非周期信号 f (t ) = T fT (t ),Fn =,1 T,T / 2,T / 2,fT (t )e jn 0 t dt,lim TFn = ,f (t )e, jt, dt = F ( j ) 简写为 F ( ),电路基础教学部,2004年11月25日10时7分,*,20,3.3.1 傅里叶正变换(2)F()的奇偶性、虚实性,f (t ) F ( ) = ,f (t )e jt dt
14、=| F ( ) | e j ( ),= ,f (t ) cos tdt j ,f (t ) sin tdt,f(t)为实函数 F ( ) = F ( ),| F ( ) | ( ) f(t)为实偶函数f(t)为实奇函数,偶函数奇函数F ( ) 为实偶函数F ( ) 为虚奇函数,电路基础教学部,2004年11月25日10时7分,T ,T ,T ,21,3.3.2 傅里叶反变换定义,F ( ) f (t ) =,1 2, ,F ( )e jt dt,由来,f (t ) = lim fT (t ) = lim, Fn e jn 0 t = lim n= , TFn e jn 0 t / T n=
15、, = F ( )df e,jt,=,1 2, ,F ( )e jt d,电路基础教学部,2004年11月25日10时7分,22,3.3.3 频谱密度函数(1)周期信号 f (t ) = Fn e jn 0 tn= 表明：周期信号可以分解为无限多个频率为 n 0 、复振幅为 Fn 的指数分量 e jn 0 t 的离散和。其频谱是离散的。,非周期信号,f (t ) =,1 2, ,F ( )e jt d,表明：非周期信号可以分解为无限多个频率为 、复振幅 为 F ( )d /(2 ) 的指数分量 e jt 的连续和（积分）。其频 谱是连续的。用 F ( ) 来描述非周期信号的频谱特性。,电路基础
16、教学部,2004年11月25日10时7分,2, 0 ,T ,Fn,f 0 f,T ,23,3.3.3 频谱密度函数(2),F ( ) = lim TFn = lim,Fn = lim,表明：F ( ) 是单位频带的复振幅，具有密度的概念，故称 其为频谱密度函数，简称为频谱函数或频谱密度(Spectral density)。,Fn =,F ( )T = n 0,F ( ) = lim TFn利用上述关系，可以较为方便地从非周期信号的 F ( ) 求 取相应的周期信号的 Fn ，反之亦然。,电路基础教学部,2004年11月25日10时7分, ,24,3.4 典型信号的傅里叶变换,原函数,像函数,f
17、 (t ) (t ), ,F ( )1,U (t ), ( ) +,1 j,A,2A ( ),Ae at U (t ) (a 0) AU (t + ) U (t ) 2 2,Aj + aASa,2,sgn(t)cos(0 t ),2j ( + 0 ) + ( 0 )电路基础教学部2004年11月25日10时7分,若,t,25,3.5 傅里叶变换的性质(1)线性,f1 (t ) F1 ( ) f 2 (t ) F2 ( ),， 则 af1 (t ) + bf 2 (t ) aF1 ( ) + bF2 ( ),例：U (t ) ? 解：U (t ) = 1 U (t ) 2 ( ) ( ) + 1
18、 = ( ) 1j j,例：,f(t),21-1.5 -0.5 0 0.5 1.5, ?,解： f (t ) = g3 (t ) + g1 (t )F ( ) = 3 Sa(1.5 ) + Sa(0.5 ),电路基础教学部,2004年11月25日10时7分,26,3.5 傅里叶变换的性质(2),比例性若 f (t ) F ( ) ， 则 f (at ) 例： (2t ) ? U (0.5t ) ?解： (t ) 1 (2t ) 0.51U (t ) ( ) +j,1 | a |,F ( )a,U (0.5t ) ,1 | 0.5 |, (, 0.5,) +,1 j /(0.5),= ( ) ,
19、1 j,电路基础教学部,2004年11月25日10时7分,27,3.5 傅里叶变换的性质(3)比例性说明了：在时域中扩展一个信号的持续时间，对应于在频域中压缩了它的频率范围；反之，在时域中压缩一个信号的持续时间，则对应于在频域中扩展了它的频率范围。若要压缩信号的持续时间，则不得不以展宽频带宽度为代价，所以在通信技术中，通信速度和所需频带宽度是一对矛盾。,电路基础教学部,2004年11月25日10时7分,1,t,2,2,1,t,28,3.5 傅里叶变换的性质(4)对称性若 f (t ) F ( ) ， 则 F (t ) 2f ( ),例： A ?, ?,Sa(t ) ?,解： A (t ) AA
20、 2A ( ) = 2A ( )sgn(t ) j 2 sgn( )jt j sgn( ) = j sgn( ),电路基础教学部,2004年11月25日10时7分,2,t, t,1,29,3.5 傅里叶变换的性质(5)Ag (t ) ASa( )ASa( ) 2Ag ( )2Sa(t ) g2 ( ) = g2 ( )例： ? U ( ) ? e U ( ) ? cos(2 ),解： U (t ) ( ) +,1 j,e U (t ) ,1 j + 1, (t ) + 2U ( )jt,1 jt + 1, 2e U ( ), (t )2,+ j,1 2t, U ( ),1 2 (1 jt ),
21、 e U ( ),电路基础教学部,2004年11月25日10时7分,1,2,30,3.5 傅里叶变换的性质(6)cos 2t ( + 2) + ( 2) (t + 2) + (t 2) 2 cos(2 ) (t + 2) + (t 2) cos(2 )时移性,若 f (t ) F ( ) ， 则,f (t t0 ) F ( )e jt 0,例： (t t0 ) ?解： (t ) 1 (t t0 ) e jt0,U (t t0 ) ?,电路基础教学部,2004年11月25日10时7分,e,e,1 j t0,| a |,a,31,3.5 傅里叶变换的性质(7),U (t ) ( ) +,1 j,U
22、 (t t0 ) ( ) +,1 jt0 j,= ( ) +,1 jt0 j,例：若 f (t ) F ( ) ，则 f (at t0 ) ?,解：,f (t ) F ( ),f (t t0 ) F ( )e jt0f (at t0 ) F ( )e a,时移比例,电路基础教学部,2004年11月25日10时7分,已调波,波,e,1,j 0 t 1,32,3.5 傅里叶变换的性质(8)频移性若 f (t ) F ( ) ， 则 f (t )e j 0 t F ( 0 )例：若 f (t ) F ( ) ，则 f (t ) cos 0 t ?,解： cos( 0 t ) =f (t ) cos
23、0 t, j 0 t,+ e2,j 0 t,调制波f (t ),调制器f (t ) cos 0 t 载cos 0 t,= f (t )e2, j 0 t,+ f (t )e F ( + 0 ) + F ( 0 )2电路基础教学部2004年11月25日10时7分,33,3.5 傅里叶变换的性质(9),A,F ( ),调制波,调制器,已调波, m,0, m ,f (t ),载 波,y(t ) = f (t ) cos 0 t cos 0 t,Y ( )A / 2, 0 m 0, 0 + m,0, 0 m, 0, 0 + m,电路基础教学部,2004年11月25日10时7分,F ( )e,1,)e,
24、)e,34,3.5 傅里叶变换的性质(10)例：若 f (t ) F ( ) ，则 f (2t 4)e j 3 t ?,解：,f (t ) F ( ),f (t 4) F ( )e j 4,时移,f (2t 4) ,1 j 4 2 | 2 | 2,比例,f (2t 4)e, j 3 t, F (2, + 3 j 2( + 3 )2,频移,f (at t0 )e, j 0 t,1 | a |,F (, + 0 ja, + 0a,t0,电路基础教学部,2004年11月25日10时7分,35,3.5 傅里叶变换的性质(11)卷积定理时域卷积定理若 x(t ) X ( ) h(t ) H ( )则 y
25、(t ) = x(t ) * h(t ) Y ( ) = X ( ) H ( ),x(t )X ( ),h(t)(),y(t ) = x(t ) * h(t )Y ( ) = X ( ) H ( ),电路基础教学部,2004年11月25日10时7分,0,0,0, t 2 t,A,1 1 1,A,- t,2,2 ,/2 t,36,3.5 傅里叶变换的性质(12)例：e t U (t ) * e 2 t U (t ) ?,解：e U (t ) * e U (t ) f(t)例：,=j + 1 j + 2 ( j + 1)( j + 2)f1(t)f2(t) ? 1/ ,-/2 /2 t -/2解：
26、 f1 (t ) F1 ( ) = ASa( )2f 2 (t ) F2 ( ) = Sa( )f (t ) = f1 (t ) * f 2 (t ) F1 ( )F2 ( ) = ASa ( )2,电路基础教学部,2004年11月25日10时7分,2,1,2,1,1,37,3.5 傅里叶变换的性质(13)频域卷积定理若 f (t ) F ( ) g(t ) G( ),则 f (t ) g(t ) ,F ( ) * G( ),例：已知 f (t ) F ( ) ，则 f (t ) cos 0 t ?解： cos 0 t ( + 0 ) + ( 0 ),f (t ) cos 0 t ,F ( )
27、 * ( + 0 ) + ( 0 ),= F ( + 0 ) + F ( 0 )2,电路基础教学部,2004年11月25日10时7分,df (t ),d n f (t ),( n ),n,38,3.5 傅里叶变换的性质(14),时域微分性若 f (t ) F ( ) ， 则dt推广： ( j )n F ( )dt n, jF ( ),例： (t ) ?, ( n ) (t ) ?,解： (t ) = U (t ) j ( ) + 1 = 1j (t ) ( j ),电路基础教学部,2004年11月25日10时7分,1 j a t0,| a |,a,F ( )e,j F ( )e,39,3.5
28、傅里叶变换的性质(15)例：已知 f (t ) F ( ) ，则 f (at t0 ) ?,解：f (t ) F ( )f (t t0 ) F ( )e jt0f (at t0 ) F ( )e,f (t ) F ( )f (t ) jF ( )f (t t0 ) jF ( )e jt0,f (at t0 ) j,1 | a |, j a t0a,f (at t0 ) ,1 j a t0 | a | a a,试判别上述哪一个为正确答案，并对错的予以纠正。,电路基础教学部,2004年11月25日10时7分,( 1),j,1,40,3.5 傅里叶变换的性质(16)时域积分性若 f (t ) F (
29、 ),则 f,( 1),(t ) = ,t,f ( )d F (0) ( ) +,F ( j )j,例：U (t ) ?解： (t ) 1U (t ) = (t ) ( ) +,电路基础教学部,2004年11月25日10时7分,0,0,2 ,41,3.5 傅里叶变换的性质(17),例：,f(t)A, (t ) =A / ,df ( t )dt,-,t, ?,-, A / ,t,解： (t ) = f (t ) ( ) = ASa(,2,)e,j, 2, e, j, 2,t f (t ) = ( )d (0) ( ) +电路基础教学部,( )j,= ASa ( )22004年11月25日10时7
30、分,0,0,42,3.5 傅里叶变换的性质(18),例：,f (t ), (t ) = f (t ),2,1,t, ?,(1),t,解： (t ) = f (t ) ( ) = 1,t f (t ) = 1 + ( )d 2 ( ) + (0) ( ) +,( )j,F ( ) = 3 ( ) +,1 j,电路基础教学部,2004年11月25日10时7分,df (t ),( ) ( ),43,3.5 傅里叶变换的性质(19) (t ) = jF ( ) = ( j )dtt ( j ) ( )d (0) ( ) + j注意 (t ) = f (t ) ( ) = jF ( ),条件？,条件？,
31、F ( ) = F ( ) = (0) ( ) +j j 一般式 F ( ) = f ( ) + f ( ) ( ) +,( )j,电路基础教学部,2004年11月25日10时7分,0,0,j 2,44,3.5 傅里叶变换的性质(20),例：,f (t ), (t ) = f (t ),2,1, ?,1,-2,-2,2,t,-2 (3),2(4),t,解： (t ) = f (t ) ( ) = 3e 4e, j 2,+ 4 Sa 2,F ( ) = f ( ) + f ( ) ( ) +,( )j,= ( ) +, 3e j 2 4e j 2 + 4 Sa 2j,电路基础教学部,2004年1
32、1月25日10时7分,n,n,n,n,1,1,45,3.5 傅里叶变换的性质(21),频域微分性 若 f (t ) F ( ) ，则 tf (t ) j,dF ( )d,或 ( jt ) f (t ) ,dF ( )d,推广： t f (t ) j,n d F ( )d,或 ( jt ) f (t ) ,d n F ( )d n,例： t ?,tU (t ) ?,解：1 2 ( )t j 2 ( ),U (t ) ( ) +jtU (t ) j ( ) +,1 j,电路基础教学部,= j,( ) 22004年11月25日10时7分,1,信号与系统(Signal & system)教师：徐昌彪,
33、2004-11-25,电路基础教学部,0,),(,t,0 0,1 jn 0 t,n = T,2,n = T,2,3.6 周期信号的傅里叶变换(1),f (t ) =, Fn e n = ,jn 0 t, 2, Fn ( n n = ,上式表明：周期信号的频谱密度是由（无穷或多个）冲激组 成，这些冲激位于谐频 n 0 处，每一冲激的强度为 2Fn 。,f (t ) = T (t ),F ( ),L,(1),(1) (1),(1),(1) (1),(1)L,L,2T,2 2 2 2 2 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )T T T T T TL,-3T -2T -T,0 T 2
34、T 3T, 3 2 0,0 0 2 0 3 0, f (t ) = T (t ) = e,F ( ) = , ( n 0 ),电路基础教学部,2004年11月25日10时8分,2 T,1,2,),F ( ) 1 2 n 0T,4,1 2 n,),3,3.6 周期信号的傅里叶变换(2)例：求 fT (t ) 的傅里叶级数及其傅里叶变换。,fT (t )A,f (t )A, T, T / 2,0,T / 2,T,t, T / 2,0,T / 2,t,解：f (t ) F ( ) =,ATSa (,4,Fn =,= ASa ( T = n 0 2,) = ASa (2 2,电路基础教学部,2004年
35、11月25日10时8分,1 2 n,n = 2,2,0,),2,n,2,4,3.6 周期信号的傅里叶变换(3),fT (t ) =, Fn e n = ,jn 0 t,= ASa (,)e jn 0 t,fT (t ) FT ( ) =, 2Fn ( n n = , = ASa (n = ,) ( n 0 ),电路基础教学部,2004年11月25日10时8分,5,3.7 能量谱密度与功率谱密度3.7.1 能量谱密度（Energy spectral density）3.7.2 功率谱密度（Power spectral density）3.7.3 脉冲宽度与频带宽度,电路基础教学部,2004年11
36、月25日10时8分, 2,jt, F ( ) ,6,3.7.1 能量谱密度(1)时域 E = f 2 (t )dt,E = , 1 f (t ), F ( )e d dt,=,1 2, f (t )e jt dt d,=,1 21 2, ,F ( )F ( )d| F ( ) |2 d电路基础教学部,2004年11月25日10时8分,2,7,3.7.1 能量谱密度(2),频域 E =,1 2, ,| F ( ) |2 d, E = f (t )dt =,1 2 ,| F ( ) |2 d,上式称非周期信号的能量等式或帕什瓦尔等式。 能量谱密度 E f ( ) : 单位频带内信号的能量。,E =
37、,1 2, ,E f ( )d,E f ( ) =| F ( ) |2,能量谱密度反映了信号能量在频域中的分布情况，它只与信号的,幅度频谱有关，而与相位频谱无关。因此，凡是具有同样幅度频,谱而相位频谱不同的能量信号都有相同的能量谱密度。,电路基础教学部,2004年11月25日10时8分,解：, 2, ,8,3.7.1 能量谱密度(3),例：求 f (t ) = Sa(t ) 的能量 E 。,F ( ) = g2 ( ) , 法（一） E = Sa 2 (t )dt （难求）, 1,0,1,法（二） f (t ) F ( ) = g2 ( )E f ( ) =| F ( ) |2 = 2 g2
38、( ),E f ( ) =| F ( ) |2,E =,1 2, ,E f ( )d = , 1,0,1, 思考： Sa(t )dt = ?,f (t )dt = F (0) = ,电路基础教学部,2004年11月25日10时8分,2 2,1 2,|t |,2,9,3.7.1 能量谱密度(4), 思考： 0,1 (1 + t ),dt = ?,令 f (t ) =,1 1 + t 2,1 0 (1 + t 2 )2,dt = 2 f (t )dt =,1 4 ,| F ( ) |2 d,e ,2 1 + 2,2 1 + t 2, 2e | |,f (t ) =,1 1 + t 2, F ( )
39、 = e | |, 1 1 2 1 0 (1 + t 2 )2 dt = 2 f (t )dt = 4 | F ( ) | d = 4,电路基础教学部,2004年11月25日10时8分,1,fT (t ) = ,T,2,1,2,| FT ( ) |2,lim,10,3.7.2 功率谱密度(1),时域 P = limT T定义截短函数fT (t ) FT ( ),T / 2T / 2,f 2 (t )dt T f (t ) | t | 2,ET = ,fT (t )dt =,1 2, ,| FT ( ) |2 d,P = limT T,T / 2,T / 2,f (t )dt =,1 2, T
40、T d,电路基础教学部,2004年11月25日10时8分,P =,| FT ( ) |2,T ,11,3.7.2 功率谱密度(2)能量谱密度 Pf ( ) ：单位频带内信号的平均功率。1 2 Pf ( )dPf ( ) = limT功率谱密度反映了信号平均功率在频域中的分布情况，它只与信 号的幅度频谱有关，而与相位频谱无关。因此，凡是具有同样幅 度频谱而相位频谱不同的能量信号都有相同的功率谱密度。,周期信号 Pf ( ) = 2, | Fn |2 ( n 0 ) n= ,此式类似于周期信号频谱与频谱密度之间的关系,电路基础教学部,2004年11月25日10时8分, / 2,12,3.7.3 脉
41、冲宽度与频带宽度有效脉冲宽度 脉冲从幅值下降到幅值的1 / K 1 倍的时间间隔的两倍在时域中绝大部分能量所集中的时间段, / 2f 2 (t )dt = E有效频带宽度 ,矩形脉冲 脉宽为 带宽为 2 / ,幅度频谱在零频时的幅值下降到1 / K 2 倍时所对应的频带 在频域中绝大部分能量所集中的频段,1 / 2 2 / 2,| F ( ) |2 d = E,有效脉冲宽度（简称为脉宽）和有效频带宽度（简称带宽） 的乘积是一个常数，即二者成反比。,电路基础教学部,2004年11月25日10时8分,13,3.8 傅里叶变换分析法(1)含义在频域中求解其零状态响应的方法，亦称为频域分析法。步骤求激励的傅里叶变换 x(t ) X ( )确定系统函数 H ( )求响应的傅里叶变换 Y ( ) = X ( ) H ( )将 Y ( ) 作傅里叶反变换，得零状态响应的时域函数 y(t )关键：系统函数 H ( ),电路基础教学部,2004年11月25日10时8分,
