1、第二章 线性规划 （Linear Programming）,本章主要内容：,第一节 线性规划的模型与图解法第二节 单纯形法第三节 对偶问题与灵敏度分析第四节 运输问题第五节 线性整数规划,第一节 线性规划的模型与图解法 一、线性规划问题及其数学模型,在生产管理和经营活动中经常需要解决：如何合理地利用有限的资源，以得到最大的效益。,例1 某工厂可生产甲、乙两种产品，需消耗煤、电、油三种资源。现将有关数据列表如下：试拟订使总收入最大的生产方案。,线性规划模型的三要素,3.约束条件：为实现优化目标需受到的限制，用决策变量的等式或不 等式表示；,1.决策变量：需决策的量，即待求的未知数；,2.目标函数
2、：需优化的量，即欲达的目标，用决 策变量的表达式表示；,目标函数：总收入，记为z,则z=7x1+12x2，为体现对其 追求极大化，在z 的前面冠以极大号Max；,决策变量：甲、乙产品的计划产量为x1、x2 ；,在本例中,约束条件：分别来自资源煤、电、油限量的约束，和产量非负的约束，表示为,解：设安排甲、乙产量分别 为 ,总收入为 ，则问 题1求解最优方案的数学模型为：,线性规划模型的一个基本特点： 目标和约束均为变量的线性表达式,如果模型中出现如的非线性表达式，则属于非线性规划。,例2 某市今年要兴建大量住宅,已知有三种住宅体系可以 大量兴建，各体系资源用量及今年供应量见下表：要求在充分利用各
3、种资源条件下使建造住宅的总面积为最 大(即求安排各住宅多少m2)，求建造方案。,解: 设今年计划修建砖混、壁板、大模住宅各为 x1,x2,x3 m2, z为总面积,则本问题的数学模型为:,前苏联的尼古拉也夫斯克城住宅兴建计划采用了上述模型，共用了12个变量，10个约束条件。,练习：某畜牧厂每日要为牲畜购买饲料以使其获取A、B、C、D四种养分。市场上可选择的饲料有M、N两种。有关数据如下：试决定买M与N二种饲料各多少公斤而使支出的总费用为最少？,解：设购买M、N饲料各为 ，则,书例2.1，例2.2,线性规划模型的一般形式：（以MAX型、 约束为例）,决策变量： 目标函数： 约束条件：,则模型可表
4、示为,模型一般式的矩阵形式,记,称为决策变量向量， 称为价格系数向量, 称为技术系数矩阵, 称为资源限制向量。,问题：为什么 A 称为技术系数矩阵？,资源约束条件,非负约束条件,回顾例1的模型,其中表示决策变量的向量；表示产品的价格向量；表示资源限制向量；表示产品对资源的单耗系数矩阵。,1.1.3 线性规划应用举例 例（下料问题） 某工厂要做 100 套钢架，每套用长为 2.9 m,2.1 m,1.5 m 的圆钢各一根。已知原料每根长 7.4 m ，问：应如何下料，可使所用原料最省？,解： 共有 8 种下料方案，如表所示。,设 x1,x2,x3,x4,x6,x7,x8分别为上述 8 种方案下料
5、的原材料根数，建立如下的 LP 模型：,例（汽油调和问题）：新星炼油厂生产的70,80,85号三种汽油由三种原料调和而成，且有不同的质量要求。每种原料每日可用数量、质量指标、成本以及每种汽油的质量要求和价格见表。该炼油厂如何调和才能使利润最大？假定调和中的质量指标都符合线性相加关系。,汽油原料数据,产品汽油数据,问题分析：,问题类型：最优调和方案什么原料调入什么产品，调入的数量是多少 目标：调和方案的利润最大利润 = 销售收入 - 调和成本= 产品价格*销售数量 - 原料成本*用量 变量：产品数量？原料数量？其他物理量？ j 产品生产数量 = 各原料调入 j 产品数量和i 原料使用数量 = i
6、 原料调入各产品的数量和,汽油调和模型：,决策变量 xij = i 种原料调入 j 种汽油的数量； 参数 pj = 第 j 种产品的销售价格; ci = 第 i 种原料的生产成本; ei = 原料的辛烷值, ej = 产品的辛烷值, hi = 原料的含硫量, hj 产品的含硫量, si = 原料每日的可用量,目标函数：利润(销售收入-成本)最大(900 600)x11+(1200 600)x12+(1500 600)x13 +(900 900)x21+(1200 900)x22+(1500 900)x23 +(900 1400)x31+(1200-1400)x32+(1500-1400)x33
7、 = 300x11+ 600x12+ 900x13+0x21+ 300x22+ 600x23 500x31 200x32+100x33 简化: 3x11+6x12+9x13+3x22+6x23 5x31 2x32+x33,原料可用量约束：用于调和各种汽油的某种原料的使用量应小于等于该种原料的可用量； 用于调和的直溜汽油不多于2000吨x11 + x12 + x13 2000 用于调和的催化汽油不多于1000吨x21 + x22 + x23 1000 用于调和的重整汽油不多于500吨x31 + x32 + x33 500,质量约束：产品的质量指标应满足最低要求；70#汽油的辛烷值含量约束： 62
8、x11+78x21+90x31 70(x11+ x21+ x31 )整理后可得： (62 70)x11+ (78 70)x21+ (90 70)x31 0 8x11 + 8x21 + 20x31 0,70#汽油的辛烷值含量约束： 8x11 + 8x21 + 20x31 0 80#汽油的辛烷值含量约束： 18x12 2x22 + 10x32 0 85#汽油的辛烷值含量约束： 23x13 7x23 + 5x33 0,70#汽油含硫量约束：1.5x11+ 0.8x21+ 0.2x31 (x11+ x21+ x31 )整理后可得：(1.5 1)x11+ (0.8 1)x21+ (0.2-1)x31 0
9、 0.5x11 0.2x21 0.8x31 0,70#汽油含硫量约束：0.5x11 0.2x21 0.8x31 0 80#汽油含硫量约束：0.5x12 0.2x22 0.8x32 0 85#汽油含硫量约束：0.9x13 + 0.2x23 0.4x33 0,max z = 3x11 + 6x12 + 9x13 + 3x22 + 6x23 5x31 2x32 + x33 8x11 + 8x21 + 20x31 0 18x12 2x22 + 10x32 0 23x13 7x23 + 5x33 00.5x11 0.2x21 0.8x31 00.5x12 0.2x22 0.8x32 0 s.t. 0.9
10、x13 + 0.2x23 0.4x33 0x11 + x12 + x13 2000x21 + x22 + x23 1000x31 + x32 + x33 500xij 0 i = 1, 2, 3；j = 1, 2, 3,二、线性规划模型的图解法,图解法是用画图的方式求解线性规划的一种方法。它虽然只能用于解二维（两个变量）的问题，但其主要作用并不在于求解，而是在于能够直观地说明线性规划解的一些重要性质。,图解法步骤：,图解法可分为两步进行；第一步，根据约束条件画出与约束条件相应方程的直线，由这些直线共同确定的区域即为可行解的区域(满足约束条件的决策变量集合) 第二步，画出目标函数的等值线，然后平
11、行移动至与可行区域边界“相切”之点，此点即为最优点，相应坐标x1，x2T即为最优解。,（1）做约束的图形 先做非负约束的图形；再做资源约束的图形。以例1为例，其约束为,各约束的公共部分即 模型的约束，称可行域。,1. 图解法的步骤,（2）做目标的图形,对于目标函数任给 二不同的值， 便可做出相应的二 直线，用虚线表示。,以例1为例，其目标为 分别令 ，做出 相应的二直线，便可看出 增大的方向。,（3）求出最优解将目标直线向使目 标 优化的方向移，直 至可行域的边界为止， 这时其与可行域的“切” 点 即最优解。如在例1中， 是可行域的一个角点， 经求解交出 的 二约束直线联立的方程 可解得,由图
12、解法的结果得到例1的最优解 ，还可将其代入目标函数求得相应的最优目标值 。说明当甲产量安排 20 个单位，乙产量安排 24 个单位时，可获得最大的收入 428。,练习：用图解法求解 下面的线性规划。,问题：在上两例中, 多边形，而且是“凸”形的多边形。,最优解在什么位置获得？, 在边界，而且是在某个顶点获得。,线性规划的可行域是一个什么形状？,2. 由图解法得到线性规划解的一些特性,（1）线性规划的约束集（即可行域）是一个凸多面体。,凸多面体是凸集的一种。所谓凸集是指：集中任两点的连线仍属此集。试判断下面的图形是否凸集：,凸集中的“极点”，又称顶点或角点，是指它属于凸集，但不能表示成集中某二点
13、连线的内点。如多边形的顶点,圆周上的点都是顶点。,（2）线性规划的最优解（若存在的话）必能在可行域的角点获得。,因为，由图解法可知，只有当目标直线平移到边界时，才能使目标 z 达到最大限度的优化。,问题：本性质有何重要意义？, 它使得在可行域中寻优的工作由“无限”上升为“有 限”，从而为线性规划的算法设计提供了重要基础。,（3）线性规划解的几种情形, 唯一最优解: 目标函数等值线“相切”于约束集合的一个角点D，则D点是线性规划问题的惟一最优解；, 多重最优解：目标函数等值线平行于一条约束边界，则此边上所有点都是最优解；,（3）线性规划解的几种情形（续）, 无解：约束集合是空集，即无可行解。, 无有限最优解（无界解）：有可行解，但没有使目标值为有限的最优解：,p13,
