1、实验五,导弹系统的改进,微分方程,海军方面要求改进现有的舰对舰导弹系统。目前的电子系统能迅速测出敌舰的种类、位置以及敌舰行驶速度和方向，且导弹自动制导系统能保证在发射后任一时刻都能对准目标。根据情报，这种敌舰能在我军舰发射导弹后T分钟作出反应并摧毁导弹。现在要求改进电子导弹系统使能自动计算出敌舰是否在有效打击范围之内。,一、引例 导弹系统的改进,设我舰发射导弹时位置在坐标原点，敌舰在x轴正向d（km）处, 其行驶速度为 a (km/h), 方向与x轴夹角为 , 导弹飞行线速度b(km/h) 。设t 时刻时导弹位置为 (x(t)，y(t) , 那么,d,易知 t 时刻敌舰位置为 (d+atcos
2、,atsin)。,为了保持对准目标，导弹轨迹切线方向应为,由上面两个方程得下列微分方程,初始条件为x(0)=0, y(0)=0, 对于给定的a,b,d, 进行计算。当x(t)满足x(t) + d + a t cos 则认为已击中目标。 这里代表允许的误差，因为敌舰是有一定大小的。如果t T,则敌舰在打击范围内，可以发射。,二、数学理论复习: 常微分方程1、微分方程的概念,常微分方程: f (t,y,y,y,y(n)=0 微分方程组: 联系一些未知函数的一组微分方程 线性常微分方程: y(n) + a1 (t) y(n-1) + + an-1 (t) y + an (t) y = b(t) 若a
3、i (t) (i =1, ,n) 与t无关, 称为常系数的 若b(t)=0,称为齐次的,2、初等积分法 3、常系数线性微分方程 线性常微分方程的解为一个特解和相应 的齐次微分方程通解的叠加。 齐次微分方程的解可用特征根法求得,例1 求x+ 0.2 x+3.92x = 0的通解 解 特征方程为2 + 0.2 +3.92=0 roots(1 0.2 3.92 0求得共轭复根 +i=-0.11.9774i, 通解为 x(t) = Aet cos(t) +Bet sin(t),三、微分方程数值解法：Euler法,数值解法:寻求解y(t)在一系列离散节点 t0 t1 tn tf 上的近似值yk (k=0
4、,1,n)。 hk = tk+1 tk 为步长，通常取为常量h 。 Euler法：在节点处用差商近似代替导数,Euler格式,k=0,1,2,M函数euler.m给出Euler法计算程序 使用格式为 tout,yout = euler(ypfun, tspan, y0,h)ypfun: 表示f(t, y)的M文件名tspan=t0, tf: 表示自变量初值t0和终值tfy0: 表示初值向量y0，h是步长。输出列向量tout: 表示节点 (t0 , t1 , , tn)输出矩阵yout: 表示数值解，每一列对应y的一个分量,例2 解方程y = y-2t/y, y(0)=1, 0t1 解 先写M函
5、数eg5_2fun.m t,y=euler(eg5_2fun,0,1,1,0.1),四、使用MATLAB命令1、数值解tout,yout = ode45(yprime, tspan, y0) 用法与euler相同。 若无输出参数，则作出图形。 ode23与ode45类似只是精度低一些。,2、符号微分方程解析解 s=dsolve(方程1,方程2,初始条件 1,初始条件2,自变量) 均用字符串方式表示,自变量缺省值为t, 导数用D表示,2阶导数用D2表示,以此类推。 s返回解析解, 方程组情形, s为符号结构。,例3 (1)求y=ay+b的通解；(2)求解例2 (3)高阶方程 y=cos(2x)-
6、y, y(0)=1, y(0)=0 (4)方程组 f =f+g, g=-f+g, f(0)=1, g(0)=2,3、刚性方程组解法 刚性方程组解法ode15s使用格式同ode45,解 先将方程写为M函数eg5_4fun.m t,y=ode15s(eg5_4fun,0,400,2,1); plot(t,y);,五、实验例题 例5（引例）在导弹系统中设 a=90km/h, b=450km/h, T=0.1h. 求d, 的有效范围? 解 有两个极端情形容易算出。 若 =0, 即敌舰正好背向行驶, 即x轴正向。那么导弹直线飞行, 击中时间 t=d/(b-a)T 得d=T(b-a)=36km。 若 =,
7、 即迎面驶来, 类似有d=T(a+b)=54km 一般地, 有36d54。,在线算法：对于测定的d 和，可用,计算出t。如d=50, =/2，写出M函数eg5_5fun.m 用euler即得 x=44.2893,由于在T小时内，横坐标没有突破x=50, 所以敌舰不在有效打击范围，应等近一些再发射。 离线算法：首先对于所有可能的d和，计算击中所需时间，从而对不同 ，得d的临界值。具体应用时直接查表判断。x(t) + d + a t cos取 =0.1，编写m脚本文件eg5_5.m 运行得临界曲线。使用时查询即可。,例6 经调查发现，电饭锅销售速度与当时的销量成正比。现在我们来建立一个数学模型以预
8、测销量。设x(t)表示t时刻的销量， x0为初始时刻t0的销量，那么有方程,其中k为常数。解得 x(t) = x0 e k(t-t0)。 当k 0, t时，x(t)， 这对于销售初期可认为是合适的，长期显然不合适。,设x为全部需要量，那么销售速度与当时的潜在需要量 (x - x) 成正比，则有方程：,其中为比例常数。可用dsolve dsolve( Dx=a*x*(x1-x),x(t0)=x0) 解得,设t0 = 0(年)， x0 = 1(万台)， x = 100 (万台) ， = 0.01(年-1 万台-1)， 可用下列命令作出8年内电饭锅销量预测图形：,可见短期预报二个模型相近，但作为长期预报，后者较前者合理。当然后者也有不尽合理之处，比如x难以确定，未考虑产品更新换代等。, fplot(100/(1+99*exp(-0.01*100*x),0,8),
