1、第十章 曲线积分与曲面积分10.1 对弧长的曲线积分教学目的：了解对弧长曲线积分的概念和性质，理解和掌握对弧长曲线积分的计算法和应用 教学重点：弧长曲线积分的计算 教学难点：弧长曲线积分的计算 教学内容：一、对弧长曲线积分的概念与性质1 曲线形构件质量设一构件占 面内一段曲线弧 ，端点为 ，线密度 连续xoyLBA,),(yx求构件质量 。M解：（1）将 分割 isn,2,1（2） ，),(iyxiiMiisyx)(（3） iniis1,（4） ni iiyx10),(lm,ax2nss2定义 为 面内的一条光滑曲线弧， 在 上有界，用 将 分成 小段Lxoy)(yfLiMLn，任取一点 作和
2、 ，令iSiiS),(,2,1(niniiSf1),(，当 时， 存在，称此极限,max21nss0iniif10),(lm值为 在 上对弧长的曲线积分（第一类曲线积分）记为 ),(yfL dsyxfL),(iniiSf10,lAo xy B注意：（1）若曲线封闭，积分号 dsyxf),(（2）若 连续，则 存在，其结果为一常数.),(yxfL（3）几何意义 =1，则 =L（L 为弧长）syxf),(（4）物理意义 M= dsL),(（5）此定义可推广到空间曲线 =dsyzxf),( iniiiSf10),(lm（6）将平面薄片重心、转动惯量推广到曲线弧上重心： ， ， 。MxdsLsyLMz
3、sL转动惯量： ， ， LxI),(2LydyxI),(2LodsyxI),(2（7）若规定 L 的方向是由 A 指向 B，由 B 指向 A 为负方向，但 与 的方f),向无关3对弧长曲线积分的性质a：设 ，则 = +21dsyxfL),(syxfL1),(dsyxfL2),(b： =gyxfL,),( ,g,c： = 。dskksyxfL)(二 对弧长曲线积分的计算定理：设 在弧 上有定义且连续， 方程 （ ） ，),(yxf L)(tyxt),(t在 上具有一阶连续导数，且 ，则曲线积分 存在，且0)(22ttdsyxfL),(= 。dsyxfL),(L dtf)(),(说明：从定理可以看
4、出（1） 计算时将参数式代入 ， ，在 上计算定),(yxf dtts)(22,积分。（2） 注意：下限 一定要小于上限 ， 0）iSit（3） ： , 时， =L)(xybadsyxfL),( dxxfba2)(1)(,同理 ： ， 时， =cf,dyyfdc 2)(1),(4) 空间曲线 ： ， ， ， P)(tx)(t)(tz=dsyfP),( dtttttf )(, 222 例 1计算曲线积分 ，其中 是第一象限内从点 到点 的单位圆弧L )1,0(A,B解 () ： L2xy1221dds =yL 1020 xx() 若 是象限从 到 的单位圆弧L)1,0(A)23,(B（1） =
5、+dsyLABdsy=2102xd+ 212x= + =10dx23(2) 若 ： ( ) L21yx 1y22ddsoAyxBxoyABB= = +dsyLdy1232dy02321dy1023(3) ： ， txcostyin23tdd2cos)(= =syL23int20it03sint2例 2计算 ： 所围成的边界Lyxde2ar4解 BOA在 上 =O0yaxdxsOAyxdse210aaxed在 上 =ABr4xsAByxse240adeae在 上 OBxys2xyx22=OByxde2 102aaxede = +Lyxs2)1(a4例 3计算 ：dLaxy2解 ： sincorL
6、cosar)2(，2yxadsaads2sinco = = =Ldsyx2coa2inxoyBAo y x a 或 .sin2,coayx202yxcos1a=dad22)sin()i( = = =Lsyx2 co1020cosda2a例 4 ： 围成区域的整个边界dsx2解 = 交点 LOA2xy)0,(1,= + = +LxdsAds101024= +102x= +1032)4(81x )15(2小结 1.对弧长曲线积分的概念和性质，2.对弧长曲线积分的计算法和应用作业 P23 1 P24 2、310.2 对坐标的曲线积分教学目的：了解对坐标曲线积分的概念和性质，理解和掌握对坐标曲线积分的
7、计算法和应用 教学重点：对坐标曲线积分的计算 教学难点：对坐标曲线积分的计算 教学内容：一、对坐标的曲线积分定义和性质1引例：变力沿曲线所作的功。设一质点在 面内从点 沿光滑曲线弧 移到点 ，受力xoyALBxoyA，其中 ， 在 上连续。求上述过程所作的功 ),( ),(),(jyxQiPyxFPQL解：（1）分割 先将 分成 个小弧段 LniiM1),2,(n（2）代替 用 近似代替 ，jyxiii1ii11iiixiiiy),(iii1近似代替 内各点的力，则 沿 所 ),( ),(),(jxQPyxFii ),(yxFiiM1做的功 iiwiiM1（3） 求和 ni iiii yx1
8、),(),(（4）取极限 令 的长度 maii1,21nini iiii yQxPw10 ),(),(l 2 定义： 设 L 为 面内从点 A 到点 B 的一条有向光滑曲线弧，函数o在 L 上有界.在 L 上沿 L 的方向任意插入一点列 ),(,yxQP ),(11iiiyxM把 L 分成 个有向小弧段1(niiiM1 ),;,2,(0BMAnn设 ，点 为 上任意取定的点.如果当1iiiiii yx(iii1个小弧段长度的最大值 时， 的极限总存在，则称此极限为函数iniixP),1在有向曲线弧 L 上对坐标 的曲线积分，记作 .类似地，如果),(yxPxLdxyP),(的极限值总存在，则称
9、此极限为函数 在有向曲线弧 L 上对坐ni iiQ1, ,Q标 曲线积分，记作 .即yLdyx),(，ni iiL xPdxP10,lm),(niiL yQy10),(l).(说明：（1）当 在 上连续时，则 ， 存在),(yxP,QLLdxyP),(LdyQ),(（2）可推广到空间有向曲线 上 （3） 为有向曲线弧， 为 与方向相反的曲线，则L= ，LdxyP),(Lxy),(=Qd（4）设 = ，则 = +L21Lyx1LQyx2LdyPx此性质可推广到 = 组成的曲线上。n21二、计算定理：设 ， 在 上有定义，且连续,),(yxP),(QLL),( tyx的 参 数 方 程 为当 单调
10、地从 变到 时，点 从 的起点 沿 变到终点 ，且 在以t,yxMAB ,t， 为端点的闭区间上具有一阶连续导数，且 ，则0)(22tt存在，且 =LdyxQyxP),(),( LdyxQyxP,),(dtttt ),(, 注意 1） ： 起点对应参数， ： 终点对应参数 不一定小于L2）若 由 给出 )(xy， 终 点 为起 点 为L.)( ,)(,dxyxQyxPQdL 3）此公式可推广到空间曲线 ： ， ， tttzdtttRtzyPdx )(),( )(),( ： 起点对应参数， ： 终点对应参数例 1 计算： ：摆线 ， 从Ldyaxy)()2(L)sin(tax)cos1(tay点
11、 到点 。0,O0,B解：原式= dtttt si)co1()cos1()s(20= dtattasinco)s1()cos( 220 = )2= 2022 )sini41( attta2()dyxyL例 2 ：1）曲线 2）折线 起点为 ，终点为Ldxy(2 x21L)0,(.)1,(解 1）原式= =dxx1024)(342） 原式= = =121L1010y故一般来说，曲线积分当起点、终点固定时，与路径有关 例 3设 ，计算 由 到 直线kyxjzixA223LsdA)0,(1P)1,23(练习：1 计算 ，其中 为（1）的抛物线 上从 到 . )1(2Ld 2xy)0,(O,(B一段弧
12、。 （2）抛物线 上从 到 的一段弧。 （3）有向折线 ，这里yx)0,(O,(BDA依次是点 ， ，BAO,)0,(,结论：起点，终点固定，沿不同路径的积分值相等。2 计算 从点 到点 的直线段ydzxzdx23)1,23(A)0,(BB3 两类曲线积分的关系设有向曲线弧 的起点 终点 取弧长 为曲线弧 的参数。 则LABsMLlA)(syxl0若 在 上具有一阶连续导数， 在 上连续，则, QP,LLQdyPx= dsysxsl )(,)(,0oL1yxL2oAyxMBL= dsysxQsyxPl in)(,co)(,0 其中 ， 是 的切线向量的方向余弦，且切线向量与 的方向一致，dsx
13、codsyinLL又 =QPL)( sysxsxl i)(,c)(,0 =yxdPLincos(同理对空间曲线 ： =Rzydx dsRQPL)cosco(为 在点 处切向量的方向角，用向量表示：,),(z tAr， 为 上 主单位切向量，,RQPAcos,cst ),(zy为有向曲线元dzyxstrd小结：1.对坐标的曲线积分概念和性质 2. 对坐标的曲线积分的计算 3.两类曲线积分的关系作业：P2526，410.3 Green 公式教学目的：理解和掌握 Green 公式及应用 教学重点：Grenn 公式 教学难点：格林公式的应用 教学内容：一、Green 公式1 单连通区域。设 为单连通区
14、域，若 内任一闭曲线所围的部分都属于 。称DDD为单连通区域（不含洞） ，否则称为复连通区域（含洞） 。规定平面 的边界曲线 的方向，当观看者沿 行走时， 内在他近处的那一部分总在他的左边，如LL定理 1. 设闭区域 由分段光滑的曲线 围成，函数 和 在 上具有一阶连DL),(yxP),(QDy xl L续偏导数，则有 = 。 为 的取正向的边界曲线。dxyPQD)(LQdyD即格林公式证：对既为 - 型又为 -型区域x： 连续，2L)(2xyyP=Dddyxba)(21,= Pxba )(,)(,21： 又1L)(1xy21LLdPd= +xba)(,dxba)(,21= 1 LDPdxy对于 -型区域，同理可证 = 原式成立DdxyQL对于一般情况，可引进辅助线分成有限个符合上述条件区域，在 上4321,D应用格林公式相加，由于沿辅助线积分是相互抵消，即可得证。几何应用，在格林公式中，取 ， =xQyP,Ddy2Ldx 1AL说明：1）格林公式对光滑曲线围成的闭区域均成立2）记法 =LydxDdxyoyxL1L2a b
