1、普通高中數學科課程綱要補充說明97 年 5 月 10 日初稿第一章修訂緣起教育部委託計畫。依總計畫填寫。第二章修訂歷程三次委員會議之紀錄。初稿與完稿時程。三次焦點座談之記錄。第三章設計精神與理念之再說明數學家大多接受過嚴格的純數學訓練：包括一套由集合與運算規則所建構的代數體系，由連續性公理所建構的分析理論，以及由平行公理所建構而的歐氏幾何。它們都是由最簡潔的公理出發，經過嚴謹的証明程序，建構出牢不可破的數學體系。這套思維模式與建構歷程有它在理論科學發展的重大意義，然而將它施行在數學教育上，特別是對初學者，在缺乏動機與應用的引導下，容易衍生成形式主義；六零年代美國新數學教育改革的失敗正是這樣慘痛
2、的教訓。直到今日，由於大多數教師都經過嚴格的純數學訓練，形式主義的典型現象，或多或少仍發生在我們的教學場域中。以下提出五項建言，提供教育工作同仁參考。1. 數學的學習若能切合現實世界，給予學習的動機與應用的導引，學生才不會不知為何要學，評量也能避免人工化的難題。2. 精簡的公理與嚴謹的推理，若能與學習者的既有經驗相結合，則比較容易被接受，也能內化為有用工具。3. 數學課程要讓學生看到抽象化的必要性，避免經由嚴謹程序而推得直觀上顯然的公認事實 。高中數學教育的內容，應能區別輕重並掌握主要脈絡，不宜在過於細節的問題上，投入過多的心力。4. 數學是研究各種規律性所發展出的語言，數學思維的模式兼具歸納
3、與演繹。中學課程應較為平衡地呈現歸納與演繹兩種思維模式，而不止著重於演繹。5. 函數、極限與微積分經常可以透過實例、圖形以及比較大小等具體觀察，而直觀地判斷出哪些項是重要的特徵或元素。對於初學者，應重視此類直觀的發展。本課綱的一個基本理念是要避免形式化的數學學習，要將學生所學的數學與現實世界連結。因此以生活上需要或是其他學科需要的數學內容，形成高中數學的核心內容。從這個基本理念出發，省思前述五項避免形式化教學的看法，2本課綱依據以下五項精神而設計。（一）掌握主要脈絡，建構清晰的數學概念。（二）展現以簡馭繁的數學思考方法。（三）在演繹之外，加強歸納思維的訓練，並認識數學模型的意義。（四）以圖形與
4、實例，循序漸進，建構抽象思維的內涵。（五）強調數學的應用，凸顯數學的普遍性與本質性。我們逐項說明如下。（一）掌握主要脈絡，建構清晰的數學概念每一冊訂有一主題，分別是數學 I：函數；數學 II：有限數學；數學III：平面坐標與向量；數學 IV：線性代數。各主題之脈絡如次頁圖表所示。（二）展現以簡馭繁的數學思考方法 伸縮與平移：二次函數的標準化(配方法)、指對數的換底(換為以 10 為底)、二次曲線的標準化(平移+二元配方法) 、數據的標準化 對稱性：將三角函數的求值問題，轉化為銳角三角形的邊角關係問題 對數函數：化乘除為加減，化次方為乘除 內積與外積：將角度與面積問題化為可操作的代數式 將排列組
5、合問題都對應到球與籃子的標準模型（三）在演繹之外，加強歸納思維的訓練，並認識數學模型的意義許多重要的公式都先有鋪陳再歸納出一般式，如： 在乘法公式中與多項式章節中，先鋪陳 ( ) 的分解，到等比nxa2,34級數時再歸納出一般的公式 在乘法公式中先鋪陳 ( ,4) 的展開式，到二項式定理再歸納nab2,3出一般展開式 發現數列的規律性也強調學生需能夠從數列或樣式中歸納出遞迴關係 為了計算兩向量的夾角，透過餘弦定理歸納出內積的自然定義 為了計算兩向量所張成之平行四邊形面積，透過正弦定理歸納出行列式的自然定義3 函數的學習脈絡一次函數二次函數單項函數一次方程式及其應用二次方程式及其應用整數系有理數
6、系實數系複數系多項式指數函數對數函數指數與對數的應用指數對數多項式函數 多項式方程式多項式不等式三角複數三角函數 三角函數的應用數列及其極限函數的概念函數的極限多項式函數的微積分微分的應用：多項式函數性質的判定積分的應用：統整高中幾何與力學數據分析數學I選修數學I選修數學甲II4 有限數學的學習脈絡 平面坐標與向量及線性代數的學習脈絡坐標直角坐標長方形面積畢氏定理三角極坐標正弦定理餘弦定理向量：線性組合內積外積行列式矩陣平面：直線方程式圓方程式空間：平面方程式空間中的直線二次曲線：橢圓、雙曲、拋物線點、線關係兩線關係直線與圓的關係點、面關係兩面關係三面關係兩線關係三元聯立方程式的應用線性規劃數
7、學IIIIV數列與級數邏輯集合排列、組合二項式定理樣本空間與事件機率的定義與性質條件機率與貝氏定理隨機的意義二項分布抽樣與統計推論數學II選修數學I5（四）以圖形與實例，循序漸進，建構抽象思維的內涵本課綱的設計，是提供了充分多的實例後，才給抽象的定義。如 在數與式中，先經過數字操作再轉化為文字與數學式的操作；其他章節如多項式、指對數、三角、坐標幾何中亦皆如此。 邏輯與集合的操作：在數學 I 的一次不等式中，有如求滿足 且12x的 的範圍的問題，自然引進邏輯中且的概念，而區間是23xx集合的概念，但不特別強調集合的抽象概念。又如數學 I 中的多項不等式，有如求滿足 的 的範圍 ，這是用到或的概念
8、。1230xx先有這些實例，再於數學 II 的排列組合中才正式引進邏輯與集合的操作。這個集合的抽象定義與操作是為了要處理一般的應用問題。 先有點坐標、平行及位置向量概念，再引進抽象的向量概念。 函數：先複習國中的一次函數和二次函數，然後介紹多項式與指對數函數；這些函數都是直覺地認識。到選修數學中才正式引進抽象的函數定義。 函數圖形的鋪陳，是經過了特徵的辨識及判定兩個歷程。函數的特徵如 對稱點、奇偶性 直線的斜率與截距 二次函數的頂點、凹凸性 已分解多項式函數的特徵，包括零根位置、重根、函數值正負的區間（五）強調數學的應用，凸顯數學的普遍性與本質性 運動學的例子：等速直線運動、等加速直線運動、拋
9、體運動、等速圓周運動，簡諧運動。 指數成長的例子：如人口成長、細胞分裂、放射性元素衰變、藥物代謝、複利等，或以指數方式度量的音量、音階、地震強度、酸鹼值等。 排列組合的例子：球與籃子的標準模型 機率的模型：二項分布、常態分布 聯立線性方程組的應用：線性規劃第四章教材綱要與附錄之補充說明在教育部 97 年 1 月 24 日頒佈的高級中學課程綱要文件中，數學綱要有兩種附錄 ，一種列在必修科目肆、教材綱要和選修科目的參、教材綱要的表格內，另一種是必修科目的陸、附錄和選修科目的伍、附錄 。這兩種附錄同名異義，發生這種令人混淆的結果，實乃編輯與體例的堅持，我們現在做以下補充說明與定義。教材附錄：在必修科
10、目肆、教材綱要和選修科目的參、教材綱要的表格內所寫的附錄。綱要附錄：在必修科目的陸、附錄和選修科目的伍、附錄 。關於教材附錄的補充說明如下： 教材附錄為課文內容之輔助教材，應該編入教科書。 教師應在適當時機將教材附錄配合課文內容授課，不必按頁碼順序在學期6末一併講授。 教科書可視其需要，自行增加教材附錄。 教材附錄不應屬於全國性評量範圍。關於綱要附錄的補充說明如下： 綱要附錄為綱要內容之範例與說明，教科書可自由選擇採納與否。1. 關於 p.52 插值多項式之補充說明除以 的餘式，就是通過 ， 的一次插值多項xfabx,af,bf式，這是用簡單多項式在特定區域 裡逼近一般多項式函數，此為數學化繁
11、,b為簡的精神。2. 關於 p.52 多項式不等式之補充說明解決多項式不等式的問題，可以不需要圖形的輔助，而使用代數方式處理。綱要中特別指定與圖形的連結，主要目的是藉此建立學生對多項式函數圖形特徵（包括零根位置、重根的意涵、函數值的正負）的直觀認識。3. 關於 p.52 一次函數圖形之補充說明呈現一次函數之變化率意涵時，函數圖形的 x 軸及 y 軸可含單位。4. 關於 p.53 單項函數圖形之補充說明單項函數的奇偶性與其圖形的對稱性用到 與 、 對 y 軸及原,x點的對稱性，此對稱性的學習採直觀的介紹即可。5. 關於 p.53 透過因式定理證明插值多項式的唯一性之補充說明如果 及 同為 3 次
12、多項式， 、 、fxgfagfbg、 ，其中 為相異的四個數，則 cfd,bcdfx證明：令 ；因為 ，由因式定理可得hxfgx0hah；將 代入得abcxd，因此 即 恆等於 0。0ddx一般 n 次插值多項式唯一性的證明，可於介紹數列 的符號後，在高三統整i複習時再介紹。6. 關於 p.54 複數四則運算之補充說明複數的乘法直接規定為 即可。)()()( bcadicidba77. 關於 p.56 對數表內插法之補充說明以內插法取代表尾差，但學生只需了解內插法的概念即可，避免太多繁複的計算。8. 關於 p.56 有限項等比級數之補充說明有限項等比級數之求和以處理 5.4 之應用問題為目的，
13、一般等比數列及級數問題則在數學 II 之數列與級數中處理。等比級數公式： 。211nnrr9. 關於 p.57 數列遞迴關係之補充說明由具體實例讓學生由前數項推測下一項，並歸納出一階遞迴關係，如(等差數列) 、 (等比數列) 、 、 、1nad1nar1na21na。重要的一階遞迴關係為等差數列與等比數列。na10. 關於 p.60 數據分析之補充說明本章只談母體的統計分析，不涉及抽樣統計。在數據集中趨勢中，可不再重複國中所學的中位數、四分位數及百分位數。但是如果要介紹，定義需與九年一貫數學課程綱要中的定義一致。11. 關於 p.62 三角函數的求值之補充說明此部分學習會用到直角坐標系下 與
14、、 、 對 x 軸、,xy,xy,yy 軸及原點的對稱性，此對稱性的學習採直觀的介紹即可。12. 關於 p.63 廣義角與參考角之補充說明此部分學習會用到直角坐標系下 與 、 、 對 x 軸、,xy,xy,yy 軸及原點的對稱性，此對稱性的學習採直觀的介紹即可。13. 關於 p.64 三角函數表之補充說明在三角函數表的查表教學過程中，可複習內插法，但避免繁複的計算。14. 關於 p.64 兩線關係之補充說明兩線關係之應用，包含外心、反射與鏡射之探討。15. 關於 p.69 二次曲線之補充說明圓錐曲線有許多問題在微積分的幫助下變得很簡單，如果在高中學習，就難免讓學生記憶許多不必要的公式。在此原則
15、下，選擇省略了切線和光學性質的內8容。第五章教材編寫與審查之補充說明教科書之審查僅應審查內容的正確性，並確認其內容滿足綱要的需求與規範，沒有不足也沒有過度延伸。在正確與符合綱要的前提下，對直觀與嚴謹尺度的拿捏，以及題材之選擇與呈現之方式，應適度尊重編者在數學學習或課程規劃上的設計。避免以審代編而造成風格極為相似的教材。簡言之，數學課本可以不止有一種形式。教科書可以自增附錄。課本附錄的定位為：要教不考。附錄可以配合課本內容教授，不必等到課本全部教完才講附錄。第六章學習內容之補充說明數學是研究各種規律性所發展出的語言，是人類理性思維的產物，也是自然科學與社會科學的共同基礎；二十世紀計算機的發明，更
16、促成當代各學科進行數量化與數學化的革命。因此，數學對學生未來的發展將日益重要。基於各學科知識發展潮流，聯合國教科文組織亦將數學與語文列為終身學習的基礎，學生 於 高 中 時 期 奠 定 良 好 的 數 學 根 基 ， 對 其 個 人 未 來 及 整 體 社 會 之 發 展 均十 分 的 重 要 。課程綱要之設計，應釐清數學的學習範疇。高中時期所應學習的數學，應界定在由生活上的需要，或是其他學科的需要，所形成的核心內容；也應是大部分學生在循序漸進學習中，得以學會的基礎數學。就台灣本地的社會變遷而言，過去高中生只有佔同年齡的百分之三十，程度較為整齊，因此過去數學課綱的定位，程度較深，同時採塊狀設計
17、的架構。但即便學生程度較整齊，這個定位仍太純數學，對文、法、商的學生仍太深、太重了些。這是許多老師與家長所反應的狀況。這使得許多學生在一進高中就放棄數學，不僅打擊他們的自信心，也剝奪了他們可能發展的機會。就國際數學課程的比較而言，數學必修大致到十年級為止，而我國的數學必修則是到十一年級，造成許多非理工性向學生學習一些不適合的數學。若要減輕學生的負擔，需檢討哪些是最核心的題材。有鑑於此，我們對現行高一高二的題材做了適當的調整，訂出必修數學課程學習內容的定位。高一數學（數學 I、II）的定位為學習與生活關聯或其他學科需要用到的數學，以建立學生在各學科進行量化分析時所需要的基礎。高一上處理有關連續量
18、的課題，包括由度量連續量所產生的實數，以及描述量與量關係的基本函數，如多項式函數與指數、對數函數。高一下處理有關離散量的課題，包括數列與級數、排列組合、生活中常見的古典機率，以及其他學科常用到的數據分析等。高二數學（數學 III、IV）的定位為社會組與自然組學生在學習上所應具備9的數學知識，其主題為坐標、向量幾何與線性代數。由此想法刪除傳統的部分內容，而這些內容都不致影響到學生銜接大學的課程，同時將這些刪除內容，放在選修代數，選修幾何中，提供有志唸數學、物理等學生一個挑戰的機會。本課綱設計的學習速度是針對一般程度的學生，讓他們在這樣的進度下能夠對內容充份吸收，學得懂也愛學。另外，對程度落後的學
19、生，設計基礎數學I/II 補足其銜接高中數學不足之部分。同時，必修數學 A 版可以由原來兩年修習的規劃，彈性拉長到兩年半，仍可接上學測的考試時間。對程度好的學生，則規劃選修數學( 如選修代數、選修幾何等)，以激發他們的學習熱忱，讓他們有挑戰的機會。對程度更好的資優生，則可將高三的選修數學甲/乙 I 規劃在高二上、下學期修習。一來此舉並不會造成任何銜接的問題，二來高三時期的數學課程可改修一年期的微積分，用來取代選修數學甲 II。如此設計可以提供資優生，有向上學習的機會，不致於被壓在同一個學習範疇做無謂的反覆學習。本課綱有相當多的內容採螺旋式設計，列舉如下。 多項式函數在高一學習，高三時透過微積分
20、統整並深化 等比數列、等比級數在高一上時的指對數函數中學習，再到高一下時之數列與級數中深化 三角函數的學習分成兩段。其幾何意涵於高二時學習，其函數意涵(週期性、圖形等)則留待高三時有較多物理基礎後再學習。 複數在高一的二次方程式中引進，在高三時結合三角函數學習複數的極式深化複數的乘除及次方運算及幾何意涵。每一學習段落均作明確的定位與主要脈絡，以讓學生循序漸進，不在主脈絡的部分採直觀方式處理。先讓學生能直觀了解學習的目標，在之後的課程中再經由實例、證明補足其嚴謹性，避免學生覺得在學習過程中處處有陷阱而無法舉足向前。這些內容在高一採觀的呈現，主脈絡是運用實數，如根號，指數的操作，不要在高一時糾纏在
21、實數定義的嚴謹性問題。可透過十分逼近法表現為無窮小數，並具好的運算性質。又例如函數圖形的對稱性，所用的對稱性的幾何內容，不是以函數作為主軸的教學上的主題。因此，只用直覺的認知即可。比如 x=y 的對稱，只要將坐標系橫著再反著看即可。用對摺方式表現出對稱性。對稱性的幾何觀念在國三以及高二會嚴格處理。在分析上實數的完備性、函數的定性分析、極限與微積分的概念採直觀處理。統計中的、抽樣與統計推論也是採直觀處理。第七章學習評量之補充說明數學學習應注重數學思考的訓練，須導正零碎解題技巧堆集以及不經慎思只求快速解答的學習文化。解題固是數學訓練重要的一環，但應注意其意義與方法；題型的情境要合於常理，刁鑽人工化
22、的難題則應予避免。第八章核心能力之補充說明課程綱要貳、核心能力列舉了七項能力，我們逐項說明如下。10一、演算能力：演算並非機械式的操作，而是為解決問題所進行必要的操作。演算的進行須建立在概念的理解上。演算的精進也深化我們對概念的理解。演算能力需要長時間、漸近且持續的練習才能精熟，過度或純機械式的操作只能有暫時的效果，或甚至有反效果，因此應該避免。文字、符號以及函數的代數操作應注意其演算的目的，需有具體的實例，並注意與現實世界是否連結，否則會演變成形式、機械式的操作。演算能力還包括基本的心算與估算能力。二、抽象化能力抽象化能力有下面幾個內涵：(1) 能將具體世界中的概念以數學式子、文字、符號、函
23、數、方程式或抽象體系的型等來表徵。(2) 能在抽象世界進行思考與形式操作。(3) 建立抽象體系的能力。(4) 能將抽象世界的推論回歸到具體世界。三、推理能力推理必須視為是數學活動的一部分。例如，能觀察並了解一個類型、說明一個結果的正確性，或決定一個答案是否正確都是需要邏輯推理的活動。特別是當推理成為數學活動的一部分時，學生比較不會認為數學只是一些規則的集合而已，可以讓學生了解數學是可以了解且有意義的學習活動。具體而言，這個能力的內涵包含：(1) 能了解推理與証明是數學學習的基礎。(2) 面對問題能做數學的猜測並能以此猜測進行探究。(3) 能發展與評鑑數學的推論與証明。(4) 能選用不同的推理與証明方法。學生若具有推理的能力，則他們會表現出：(1) 由觀察資料及辨識類型中作數學的猜測（歸納推理） 。(2) 由邏輯的推理或反例的佐證驗証的有效性：建構有效的理論（演繹推理） 。學生必須學會嚴謹的數學推理。四、連結能力泛指建立知識體系過程中的連結，在這裡我們將其侷限在數學知識的內部連結，以及數學與具體世界的外部連結。連結必須要輔之以實例，同時要引導學生去嘗試將新學的東西與舊經驗作連結，並鼓勵學生舉實例。更深入的連結是數學建模的能力。
