1、 第 1 页共 20 页 高等数学公式汇总第一章 一元函数的极限与连续1、一些初等函数公式：sin()sicosincotantta()1co1ctt()shshs和 差 角 公 式 ： sin2sicos2incos2cos2ini和 差 化 积 公 式 ：1sincosin()si()21coscos()cs()2in积 化 和 差 公 式 ：222222siicosco1 insintataco1t shschs倍 角 公 式 ：第 2 页共 20 页 2222sincos1;tansec;t 1cssin21ococssintan2i1cos1oicotsixxh半 角 公 式 ： 2
2、: :ln(12 ): :ln21xxxeharshxccxsetharth双 曲 正 弦 ； 反 双 曲 正 弦 ）双 曲 余 弦 ； 反 双 曲 余 弦双 曲 正 切 ； 反 双 曲 正 切，322()()abab2()1633(124n2、极限 常用极限： ; ;1,lim0nq1,linalim1nl()iln(1)() lim()/(),(),lifxfxfgx fxggfxgfee 若 则 两个重要极限 10 0sinsi1lm1,l0;lim()li()xxxxxxe :常 用 等 价 无 穷 小21 1cos; sinarcirtan; l;(1) l()xxxxnae 3、连
3、续：第 3 页共 20 页 定义： 000lim;li() xxyfx00 0()xffx极 限 存 在 或第二章 导数与微分1、 基本导数公式： 00 00()()()limli limtanxx xfxffxyf _0+0()()ff导 数 存 在 1 222 2; ; sincos; ()sin; (ta)sec; (ot)cs;(sec)ta(); l11log; l; (ari); (ro);xxaCxx xtg 222221(rctn); (cot); (;111 ; )()xrxshxcshxhasharcart 2、高阶导数： () ()() ()!; ln)nknknxxxn
4、xxxaae() () ()1 11! !; ; )nnnnnnxxax () ()sisi(; coscos(;22n nkkkk()1()(1)1)! ()!ll(nnnnnnaxxax 牛顿-莱布尼兹公式：()()0()(1)(2) ()()(1)! !nkknnn nknuvCuvnvuvuk 3、微分：第 4 页共 20 页 0()(); =()();yfxfxdyoxyfxfd连 续 极 限 存 在 收 敛 有 界 ; =可 微 可 导 左 导 右 导 连 续 ；不 连 续 不 可 导第三章 微分中值定理与微分的应用1、基本定理 ()(),(,),F()fbafbabFx拉 格 朗
5、 日 中 值 定 理 ：柯 西 中 值 定 理 ：当 时 ， 柯 西 中 值 定 理 就 是 拉 格 朗 日 中 值 定 理 。2、 ()20 000 0 0(1)(1) 01000 0(): () )()!: ) ; (,)(,1)()! !nnnnn n nfxfxfxfx RxoRff x 泰 勒 公 式余 项 ()(1)2 1(): ()() ; (0,)!nnnfffxfxfxx麦 克 劳 林 公 式 常用初等函数的展式： 2 11();(0,)!()!nxx nnxeeR3521 212si()sin()(); ;(0,)!)!2!m mmxxxRxx 242 2121cos()c
6、os1(1)();() ;(0,1)! 2!m mmxxxxx第 5 页共 20 页 24 11101ln(1)()()(); !3();0,nnnnnnnxxxxRR 21()()(1)(1) (); !();0,1 nnnxxxR 20l()()(1)1nnxxx3、 2223230 221().(:Ms()()Mlim=.(1; .sdsyxtydtdK MttdsyRKR 弧 微 分 公 式 ：平 均 曲 率 ： 从 点 到 点 ， 切 线 斜 率 的 倾 角 变 化 量 ； :弧 长点 的 曲 率 ：直 线 的 曲 率 ： 半 径 为 的 圆 的 曲 率 ： 23(1)=y曲 线 在
7、 点 处 的 曲 率 半 径 :第四章 不定积分1、常用不定积分公式： ()(); ()(); ()()fxdFCfxdfFxdC11; ln; ;lnxxxxCaded第 6 页共 20 页 2 22 2sincos; csin;talotlseetan; cslcsltanlcsot;eta; csoisctxdCxdCxxdx xCdxCxansecotsc; ;xxhdhds2 22 22rsiar arsin;1 1actncot; ct; l; ln;n() dxxCxCxddxxxaaa 2222ln();arcsixxdxCa2、常用凑微分公式： 2221; (); (ln);
8、1( 1lnta);cosidxdxdxdxx3、有特殊技巧的积分 21(1)sincossin()dxaxbab2lcosidxABbC41(3)x2211()()dxx第 7 页共 20 页 第五章 定积分1、基本概念 0011()lim()li()()() ,()nnb bi aa ifxdfxfFbxFxf 连 续 可 积 ;有 界 +有 限 个 间 断 点 可 积 ;可 积 有 界 连 续 原 函 数 存 在()()()xaftdxf()()xdx，()abfftt ()()a ab budvxvdux2、常用定积分公式：；0()()aafxdfxx；0,2()aadf为 偶 函 数
9、 (),()0afxfxd为 奇 函 数；2200(sin)(cos)fxfx 22000sinsin(sin)fdffxd；TTT20()()()afdffTT0()()afxfxdWallis 公式：22200 131,42sincos ,5nn nnIxdxdI 为 正 偶 数为 正 奇 数无穷限积分： +b+-bb+-()lim()(+)(; ()li()li()(+)()aabaafxdfxdFfffxdF瑕积分：第 8 页共 20 页 ()lim()()lim();()()()bbattatatbtbbcaacfxdfxdFfff ；+1,1pdxp收 敛 发 散 1,01,pad
10、xp收 敛 发 散,10()()!ne()()!;();nn20 2xd第六章 定积分应用1、平面图形的面积：直角坐标情形： ； ；()baAfxd()baAfxgd()dcAyd参数方程情形： ;();tttab极坐标情形： 21()2、空间立体的体积：由截面面积： ()baVAxd旋转体：绕 x 轴旋转：222();()()bbaaddccffgxdyyy为 积 分 变 量为 积 分 变 量绕 y 轴旋转： 22();()bbaadcVxfxfgdxydy为 积 分 变 量为 积 分 变 量3、平面曲线的弧长： 22222()1()()basttfxd 变力做功： ()baWFxd抽水做功
11、： =,gdWMghVgh克 服 重 力 做 功 质 量 高 度第 9 页共 20 页 液体压力做功： =dFpAghd压 力 压 强 面 积 ，第七章 向量代数与空间解析几何两点间距离公式 ：，22212111()()()Mxyz(, ;xyzxyzaaijk,xyzxyzbbijk,)zb(,)zaa方向余弦： 单位向量：222222cos,cosxxyzyxyzzxyzaa(,s)ae数量积： co(,xyzbabab，2a 0ijki1ijk夹角余弦： 222cos(,)xyyzxzaabab向量积： ()()()yzyzxzxyxxyzijkijakab， ， 0asin(,)bab
12、S平 行 四 边 形空间位置关系： /0(,)0yxzaba0xyzabab平面的方程：点法式： ；一般式 ：000()()()ABCz第 10 页共 20 页 0AxByCzD截距式： 1xyzabc两平面的夹角： 122121cosnABC点到平面的距离： 0022xyzDd两平行平面的距离： 122ABC直线与平面的夹角： 22 2sinsmnp 空间曲线 ，曲线的投影 ，空间立体 ，曲面 ，曲面的投影CxoyxyD球面： 222000()()()xzR椭圆柱面： ；双曲柱面： ；抛物柱面：21yab21xyab2xpy旋转曲面：圆柱面： ；圆锥面： ；双叶双曲面：22x22()zy22
13、1xyzac单叶双曲面： ；旋转椭球面: ；旋转抛物面：221xyzac221xyzac2xypz二次曲面：椭球面：221 (0,)abcabc抛物面：椭圆抛物面： ；双曲抛物面：2xyz2xyzab单叶双曲面： ；双叶双曲面：221abc221c第 11 页共 20 页 椭圆锥面：22xyzabc总结求极限方法：1、 极限定义；2、函数的连续性；3、极限存在的充要条件；4、两个准则；5、两个重要极限；6、等价无穷小；7、导数定义；8 利用微分中值定理；9、洛必达法则；10、麦克劳林公式展开； 求导法：1、导数的定义（求极限） ；2、导数存在的充要条件；3、基本求导公式；4、导数四则运算及反函
14、数求导；5、复合函数求导；6、参数方程确定的函数求导；7、隐函数求导法；8、高阶导数求导法（莱布尼茨公式/常用的高阶导数） ； 等式与不等式的证明：1、利用微粉中值定理；2、利用泰勒公式展开；3、函数的单调性；4、最大最小值；5、曲线的凸凹性第八章 多元函数微分法及其应用一、定义： 0 00(,) 0(,)0(,)(,)lim(,)(,)xy xxxyx xffyfxdfyfyf 二、 微分：，0(,)(,)li 0xyzffx可 微 偏 导 连 续 可 微 连 续 +偏 导 存 在，全微分： (,)(,)xydzffxd三、 隐 函 数 求 导 : o1 ,0().d2, , xyyxzzF
15、Fyfx（ ） 且（ ） 且四、曲线的切线和法平面第 12 页共 20 页 1、曲线方程 ，切线： ，法平面：():xtLyzt000()()()xyzttt000()()()txtz2、曲线方程 ，切线： ，法平面：:()yxLz001()xyzx000()()xz3、曲线方程 ，切向量 ，切线：,):(FxyLG 00 ,xyzxyzMMTFG00 0000 zxyz xyMMMxz四、曲面的切平面和法线，法向量： ，切平面:1(,)Fxyz、 曲 面 方 程 ： 0 ,xyzMnF,法线：00000 (,),)()(x y zyzy000()(,),(,)x zFxFx2、 ，切平面(,
16、)zfy曲 面 方 程 ：，00000(,),()()xfyxxzyz法线： 00(,)(,)1xyff五、方向导数： 0 000coscscosxyzMMfffl梯度： 00grad,xyzMuf第九章：重积分一、 二重积分： 2 21 1() ()(,)(,), ,bxdxacDDfxydfxydfyfyd第 13 页共 20 页 21()(cos,in)cos,in)Dfdfd二、三重积分：1、直角坐标系： 21(,) (,)d,)xyzxyDfxzVfz21()(,),).cDzfxyzdvf2、柱面坐标系：os,in.xryz,dvrz2211()(,)(,) cos,in,)d .
17、zfxyzdvrfz3、球面坐标系： 2sinco,sin,.rydvrdz2211()(,) 2(,) sinco,sin,cos)ind.rfxyzfrrr二、重积分的应用：1、体积： 21d(,) (,)dxyDVzzxy2、曲面 面积：(,)zf： 22(,)(,)dxyxySffx3、质量： 或,dDMxy,zv（ ）4、质心 ：(,)或(,),DDxyyx, , , ,zdvzdvzxydvxyxy（ ） （ ） （ ）（ ） （ ） （ ）第 14 页共 20 页 5、 转动惯量： 222(,)(,)()(,xyoDDDIydIxydIxyd或2 22(),(,),x yz oI
18、yzvzzvxIxxy （ ） （ ）（ ） （ ）第十章：曲线积分和曲面积分一、第一类曲线积分：（对弧长的曲线积分）： 22 2(,)(),()(,)1()cos,in)baLfxydftttdfxyttdx 222(,)(),()()Lfxyzdftttttd二、第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）：1、计算公式： (,)(,)(,)cos(,)cos,LLbaPxydQyPxQxydtttt2、格林公式： ()(cos)D DDPdxyxdyPdsA3、Stokes 公式：Stokes zddcoscos(,)xy DQRyzxydSfzdxyzxyzPRPR公 式 ：4、封闭曲线围城的面
19、积： 12DA三、第一类曲面积分： 2:(,) (,)(,)1xy xyDzxyfzdSfzyZd ：四、第二类曲面积分：1、计算公式：第 15 页共 20 页 (,)(,)(,)(,)coscosnFxyzdSPxyzdQxyzdRxyzde S(,)d,()d(,)d,()d, , , ,xy xyD Dz zRxyzRyxyzyxPpzQxpz 上 侧 下 侧 ； 2、投影转化法： coscos:(,) ,:,0,zxydzxdyzdxdyzxFFFyzz3、高斯公式： +dd(coscos)d =() ;.)PyzQxRyPQRSVz AA。 （ 为 外 侧 时 取 为 内 侧 时 取
20、4 ,),(,)(,), xyzixyzjxyzkuxyz， （ ） ; ,();rot xyz xyzxyzdivAPQRgadijigrauuAzPQR散 度 ： 梯 度 ： 旋 度 ：第十一章 无穷级数一、常数项级数 1nu01 11-/1 1()0 0nnp pn qqP PP 收、 常 用 级 数 ： 等 比 级 数 几 何 级 数 ： 发收 绝 对 收 敛级 数 ： ； 交 错 级 数 ： 收 敛发 条 件 收 敛第 16 页共 20 页 1201/lim(li)nnnnuSuu、 正 项 级 数 ：基 本 定 理 ： 收 敛 部 分 和 有 上 届比 较 审 敛 法 ： 大 收
21、小 收 ， 小 发 大 发比 较 审 敛 法 的 极 限 形 式 ： 同 阶 ： 同 收 同 发 ； 低 阶 ： 同 收 ； 高 阶 ： 同 发， 收 敛比 值 根 值 审 敛 法 ： ， 发 散 ， 失 效-1 1111 113(0),lim:n nnn nnnuSuruuu 、 交 错 级 数 ： （ ）莱 布 尼 茨 审 敛 法 ： 级 数 收 敛 ，绝 对 收 敛 ： 收 敛 收 敛 ， 条 件 收 敛 收 敛 而 发 散 ， 发 散14 lim0 /1lim(li)nnnnSuu、 任 意 项 级 数 ： ， 收 敛利 用 定 义 ： 部 分 和 有 极 限 ； ， 发 散利 用 收
22、 敛 的 必 要 条 件 ： 发 散 ；利 用 正 项 级 数 （ 比 值 根 植 ） 审 敛 法 ：， 绝 对 收 敛 收 敛， 绝 对 值 发 散 发 散， 失 效二、幂级数： 00()nnax1、收敛半径： 11/ 0lim(li)nnuR， ， 2、常用等式：， ，0(1)nx(1)nx01()()nx，1l() )nx1()l() )nn ，120() ()nnn x第 17 页共 20 页 21210 ln (1)nn xxx210arct=()()nn201351212240e (,)!sin() (,)()!co ),(!ln()nxn nn nxxxxxx ； ；31 112
23、) (1, () ()1!)1 1 (1, )!n nxxnxx ；3、泰勒展开： (1)() 100 000()(), ),(,)!limnnn nn nn ffxafxRxR 三、 01(cosi)2nnaxb傅 里 叶 级 数 ： 011()i( (-,)1()cos(,2(sin(1,2)( nnn nTfxSxxafdbfdxxS -、 ： ， （ 且 间 断 点 ）其 中 ， ； ， 。间 断 点 处 ， 0 ) ,()sid;2( ,conffxabfxn若 为 奇 函 数 正 弦 级 数 （ ）若 为 偶 函 数 余 弦 级 数 （ =）第 18 页共 20 页 012()(c
24、osin)(,)21 1s0,2sin(1,2)nl ln naxxTfxbxladfdl l 、 ： ， （ 且 间 断 点 ）其 中 ， ； ， 。 01-/13(),(),()(cosin)(,)2-)(2)0, ()()sin,(0,nfxxlFxaxfSblllflfxlxFxxfbll 周 期 延 拓奇 延 拓 偶 延 拓 周 期 延 拓、 非 周 期 函 数： 展 开 限 制 ，时 ， ： 展 开 限 制奇 延 拓 ：0010 ;i ,2 )()0;()cos0, 2cs (, 2 )ln nlnbxdxlSxlaflxadl； 或 时 ，偶 延 拓 ： （ ） ， 端 点 处
25、不 间 断 。 第十二章 微分方程 : 一 、 基 本 类 型 的 一 阶 微 分 方 程 ()()1:() , () ()2 ()0 :PxdPxddy dyfxgfxgyQQxeeC 、 可 分 离 变 量 方 程 分 离 变 量 ， 两 边 积 分、 一 阶 线 性 微 分 方 程齐 次 通 解 ： ，非 齐 次 通 解 ：003(,)(,), .1(2)(,)(,)d(,)d. 3uPxy(x,y)=P(,)x +c(yu(xQcQ-,d )yxxyyuxCQ 、 全 微 分 方 程 : 其 中通 解 ： （ ） 、 分 项 组 合 法 ；、 特 殊 路 径 法 ：、 偏 积 分 法
26、；(,) ,)=P(,y)dx +()y 第 19 页共 20 页 : 二 、 可 化 为 基 本 类 型 的 一 阶 微 分 方 程 121()(),axbydydyffux x（ ） 齐 次 方 程 ： 或 令 11222()cfxy（ ） 准 齐 次 方 程 ： 1112 2212111112 200, ()d0().axbycabXhkYaYfuXabkxbycyfaxbyaxby 若 令 ， (由 解 得 )， 再 令 。若 ， 令 。(3)() dyfxcu令 。 14 ()(0,) ()(1)dy dzPxQyzyPxzQx伯 努 利 方 程 ： ， 令 (,)5 (,)(,)0
27、 ()yxdPxPx Q（ ） 其 中 （ ）16/()(),ddxyxQPyQxz（ ） 关 于 的 线 性 方 程 伯 努 利 方 程 ：； 令()()7,(,)0 )1;21()()()()1(3)(,)yx xdyx yyxPuxPQuceyyux （ ） 其 中求 积 分 因 子 方 法 ：、 分 项 组 合 法 ： 常 用 全 微 分 公 式、 公 式 法 ：方 程 有 形 如 的 积 分 因 子方 程 有 形 如 的 积 分 因 子齐 次 方 程 的 积 分 因 子 : 三 、 可 降 阶 的 高 阶 微 分 方 程第 20 页共 20 页 d1() n2, (,) d3() ,
28、 nyfxyppfxyf ypy（ ） 连 续 积 分 次 ;（ ） 令 ， 则（ ） 令 ， 则四 、 二 阶 常 系 数 齐 次 线 性 微 分 方 程200ypqrpq特 征 方 程 ：12121221,2 24, () 0(cosin)rxrxxryCepqi Cx通 解 ：通 解 ： 通 解 ：四 、 二 阶 常 系 数 非 齐 次 线 性 微 分 方 程 () ()()() yyfxyYxyx通 解 齐 次 通 解 非 齐 次 特 解 01() () ()12x kxmmkfePQe 不 是 特 征 根（ ） 特 解 形 式 是 特 征 单 根 是 特 征 重 根 (1)(2)2() cos sin 0 1xlmmff xPiwkyeRRx （ ） 不 是 特 征 根特 解 形 式 是 特 征 根
