1、156A4 平面幾何的基本性質高中一年級的數學課程中，雖然沒有幾何的章節，但是，在許多課程內容中，需要具備一些幾何基本概念；又如：在某些三角函數的推導過程中，也涉及幾何知識。因此，在本節中，我們將平面幾何中有關平行、三角形、四邊形和圓的基本概念和性質，分別條列如下，以做為同學們複習的參考。1. 平行【定義】在平面上垂直於同一條直線的兩條直線稱為平行線。如右圖，L 1 與 L2 互相平行(或稱 L1 與 L2 是平行線 )，並記作：L 1/L2，且 的長度就是 L1 與 L2 的距離。AB【基本性質】（1）一線段若垂直於平行線中的一條直線，必垂直於平行線中的另一條直線。（2）兩平行線間的距離處處
2、相等。如右圖： 1AB23（3）平行線永遠不相交。（4）L 1/L2 L1 與 L2 被一直線所截，且同位角相等。如右圖：1 5、2 6、3 7、4 8。（5）L 1/L2 L1 與 L2 被一直線所截，且同側內角互補。如右圖：3 5 180、4 6 180。+（6）L 1/L2 L1 與 L2 被一直線所截，且內錯角相等。如右圖：3 6、4 5。L2L1BAL1L21 23 45 67 8L1L2B1 B3A3B2A2A1157【想想看】(1) 1 是否等於8？(2) 4 與 6 的角平分線是否垂直？2. 三角形【基本性質】1. 內角和性質：任意一個三角形的三個內角和等於 180。2. 外角
3、和性質：任意一個三角形的三個外角和等於 360。3. 外 角 性 質：三角形的任一外角等於其兩個內對角的和。如右圖：3 1 2。+4. 等腰三角形的兩底角相等，正三角形的三個內角相等。【想想看】 （1）如右圖，已知 / 。你能否DEAB推導出 的內角和為 180？C（2）三角形若不是正三角形，是否一定有一個內角大於 60？（3）鈍角三角形的三內角都是鈍角嗎？5. 商高定理（又稱為畢氏定理）：直角三角形的兩股的平方和等於斜邊的平方。如右圖： 。22abc6060 60ABcbaCA BCD E12 3158【想想看】 （1）如果三角形的三邊長 a、b、c 滿足，則C 90。 （填, , ,）（3
4、）欲判斷三角形為銳角三角形必須檢查哪些條件？6. 三角形的任意兩邊和大於第三邊。7. 三角形的兩邊及其對應的角有下列關係：大邊對大角；大角對大邊。如右圖：若 ，則 C A ；AB反之,若C A，則 。B3. 三角形的全等【定義】如果兩個三角形的對應邊相等，對應角相等，則稱這兩個三角形全等。【基本性質】1. 全等性質：SSS、SAS、AAS 、ASA、RHS（1）SSS 全等性質：如果兩個三角形的三個邊分別對應相等，則這兩個三角形全等。（2）SAS 全等性質：如果兩個三角形的兩邊和它們的夾角分別對應相等，則這兩個三角形全等。ABC159（3）AAS 全等性質：如果兩個三角形有兩角和其中一角的對邊
5、分別對應相等，則這兩個三角形全等。（4）ASA 全等性質：如果兩個三角形有兩角和這兩個角的夾邊分別對應相等，則這兩個三角形全等。（5）RHS 全等性質：如果兩個直角三角形的斜邊和一股分別對應相等，則這兩個直角三角形全等。【想想看】為什麼沒有三角形 AAA、SSA 的全等性質？4. 相似三角形【定義】 兩個三角形不論其大小是否相等，只要形狀相同就稱為相似三角形。【基本性質】1. SSS、AAA 、AA 、SAS 相似性質：（1）S SS 相 似 性 質 ：如果兩個三角形三組對應邊成比例，則這兩個三角形相 似 。（2）AAA 相似性質：如果兩個三角形的三組對應角相等，則這兩個三角形相 似 。A B
6、AB160（3）A A 相 似 性 質 ：如果兩個三角形的二組對應角相等，則這兩個三角形相 似 。（4）S AS 相 似 性 質 ：如果兩個三角形有一組角對應相等，且夾此角的兩組對應邊長成比例，則這兩個三角形相 似 。2. （1）三 內 角 分 別 為 30、 60、 90的 三 角 形 ，其 對 應 邊 邊 長 比 為 1： ： 2。（2）三內角分 別 為 45、45、90 的三角形，其對應邊邊長比為 1：1： 。25. 四邊形【圖形與定義】長方形 正方形 菱形 平行四邊形 梯形60301322145145161長 方 形 （ 矩 形 ） ：四個角都是直角的四邊形稱為長方形；如果一個長方形的
7、四邊都等長就稱為正方形。菱 形：四邊都等長的四邊形稱為菱形。平 行 四 邊 形 ：有兩雙平行邊的四邊形稱為平行四邊形。梯 形：一 組 對 邊 平 行 ， 另 一 組 對 邊 不 平 行 的 四 邊 形 稱 為 梯形。等 腰 梯 形 ：不 平 行 的 對 邊等長的梯形稱為等腰梯形。【想想看】(1) 菱形一定是平行四邊形嗎？(2) 正方形一定是菱形嗎？【基本性質】 平行四邊形：（1）平行四邊形的任一對角線將此平行四邊形分成兩個全等的三角形。如右圖： 與 全等， 與 全等ABCDABCD（2）平行四邊形的兩組對角分別相等。如右圖：ABC ADC、BAD BCD。（3）平行四邊形的兩組對邊分別相等。如
8、右圖： 、 。ABCDB（4）平行四邊形的對角線互相平分。如右圖： 、 。EE 長方形：長方形的對角線長相等。如右圖： 。ACBDAB CDEDAB C162 菱形：（1）菱形的對角線互相垂直平分。如右圖： 、 互相垂直平分。ACBD（2）菱形的對角線平分頂角。 如右圖： 平分 BAD 與BCD；平分ABC 與ADC 。 正方形：正方形既是長方形也是菱形中的一種。 梯形：（1）梯形 ABCD，E、F 分別為 與ABCD的中點， 稱為梯形 ABCD 的中線。如右圖： 則 / / ； ( )。ADC12+（2）等腰梯形的底角相等，對角線等長。如右圖：ABC BCD、BAD ADC、。ACBD6.
9、線的性質【基本性質】1. 中垂線性質：一線段的中垂線上任意一點到此線段的兩端點等距離；與一線段的兩端點等距離的任何點必在此線段的中垂線上。2. 兩邊中點連線性質：連接三角形的兩邊中點的線段必平行於第三邊，且長度為第三邊的一半。AB CD EA BCDABCDEAB CDB CA DFE163如圖：若 D、E 分別為 和 的中點，則ABC/ 且 。C123. 平行線截比例線段性質：如圖：若二直線 L1、 L2 被三條平行線 L3、L 4、L 5 所截，則 。ABDECF4. 角平分線性質：角平分線上的任何一點到角的兩邊等距離；到角的兩邊等距離的任何一點必在角平分線上。7. 圓【定義與基本性質】1
10、. 圓心角：以圓心為頂點，兩個半徑為邊的角稱為圓心角。（取較小的角）2. 弧度：弧度等於該弧所對應的圓心角度數。3. 弦：連接圓周上兩點所成的線段。弧弧度oA B弦A E EFFDD圓心角半徑半徑oABCDEFL1 L2L3L4L51644. 圓周角：以圓周上的點為頂點，兩個弦為邊的角稱為圓周角。 圓周角等於該角所對弧度數的一半。如圖： BAC12D 半圓所對應的圓周角是直角。如圖： 905. 弦切角：圓的一條弦和一條切線相交於切點所形成的角。如圖：1、2 均為弦切角。弦切角的度數等於角的兩邊所夾弧度數的一半。6. 圓心與弦的關係： 過圓心且與弦垂直的直線，必平分此弦，如圖： 。ACB 垂直且
11、平分此弦的直線必過圓心。7. 弦心距：弦與圓心的距離叫做此弦的弦心距，如圖：弦心距 。O【想想看】 (1) 已知四邊形 ABCD 有一外接圓，是否能由圓周角推導出四邊形 ABCD 內角和為 360？(2) 弦切角與對應此弧的圓周角是否相等？如右圖：1 是否等於2？12o直徑ACBoA弦BCABoCD121658. 點與圓【基本性質】平面上的點與圓之間有下列三種關係：1. 點在圓外：點到圓心的距離 半徑。2. 點在圓上：點到圓心的距離 半徑。3. 點在圓內：點到圓心的距離 半徑。9. 圓與直線【基本性質】平面上的直線與圓有下列三種關係：1. 直線與圓不相交：直線與圓心的距離 半徑。(如圖1)2. 直線與圓只有一交點：直線與圓心的距離=半徑。(如圖2) 我們稱這條直線為這個圓的切線，它們的交點稱為切點。 過一圓直徑端點的垂線為此圓的切線。 圓心到切線的距離等於圓的半徑。 圓心與切點的連線必垂直過切點的切線。3. 線與圓有兩交點：直線與圓心的距離 半徑。(如圖 3) 我們稱這條直線為這個圓的割線。【想想看】 （1）過圓上一點能做幾條切線？（2）過圓外一點能做幾條切線？10. 圓與圓【基本性質】OA【圖1】O切點 A切線【圖2】oA 割線BC【圖3】
