1、 正方形 圆锥 三棱台 正四棱锥团风中学 2012 届高三数学测试题（理科）第 I 卷一.选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的.1. 若集合 则满足条件的实数 x 的个数有（ ）21,31,1,3AxBABxA. 1 个 B. 2 个 C.3 个 D. 4 个1.【答案】C【解析】 , , ,选 C.2,则 ,0x或 则 或 舍 去 30可 取 ，【命题意图】本题主要考查集合元素的互异性与集体的运算。2.函数 在 处有极值,则 的值为( ).3()fxab1aabA. B. C. D.3012.【答案】B【解析】由
2、 ,可得 ,故选 B.21()30af 3ab【命题意图】本题主要是理解极值点与导数的根之间的关系。3.已知命题 ：函数 在 内恰有一个零点；命题 ：函数 在p21()fx(0,1q2ayx上是减函数.若 且 为真命题,则实数 的取值范围是 ( ).(0,)pqA. B. C. D. 或1aa2a1a3.【答案】C【解析】命题 ： 得 .命题 ： ,得 ,180()()2)0f1q02 ： .故由 且 为真命题,得 ,选 C.q2apq1a【命题意图】本题既考查函数方程思想、幂函数单调性的应用，同时又考查命题真假的理解。4.下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是( ).A. B.
3、C. D.4.【答案】D【解析】只有的正视图和侧视图是相同的等腰三角形.【命题意图】本题考查对常见几何图形的三视图的观察能力。5.已知 的三顶点坐标为 , , , 点的坐标为 ,向 内部投一ABC(30)A4B(0)CD(20)ABC点 ,那么点 落在 内的概率为( ).PDA. B. C. D.131214165.【答案】A【解析】 , ,概率 ,故选 A.2ABDS6ABC 3ABDSp【命题意图】几何概型是课标的新增内容，对于本知识点的考查主要是以题型为主。6.已知正项数列 的各项均不相等,且 ,则下列各不等式中一定na12(*,2)nnaN成立的是( ).A. B. C. D.2432
4、43243a243a6.【答案】B【解析】数列 为各项均不相等的正项等差数列,n ,故选 B.32424()(aa【命题意图】本题主要考查等差数列的性质及均值不等式的应用，特别是取等号的条件。7.已知钝角 的终边经过点 ,且 ,则 的值为( ).(sin,4)12costanA. B. C. D.112 17.【答案】A【解析】由 为钝角,知 , ,又 , , ,sin0si412cos0sincos20 , , , ,32sin32ico1i234故 .i4sta1【命题意图】本题考查倍角公式与三角函数定义的应用相结合。8.已知 、 分别是双曲线 的左、右焦点, 为双曲线上的一点,若1F22
5、1(0,)xyabP,且 的三边长成等差数列,则双曲线的离心率是( ).90P12PFA. B. C. D.3458.【答案】D【解析】直角 的三边成等差数列,21可设 , , ,且 ,1|PFt|td12|(,0)Ftd22211|PFF代入得 , , , , ,230d31|3P2|4d5 ,故选 D.12| 54de【命题意图】焦点三角形是圆锥曲线的重点，结合定义、三角形的形状来求离心率是值得关注的。9.已知动点 在椭圆 上,若 点坐标为 , ,且 ,则(,)Pxy2516xyA(30)|1AM0PA的最小值是( ).|MA. B. C. D.23239.【答案】B【解析】由 可知点 的
6、轨迹为以点 为圆心, 为半径的圆,过点 作该圆的切线,则|1AMA1P,得 ,要使得 的值最小,则要 的值最小,而222|P2|1P|PM|A1a开始21ai，i 2011i输出 a结束否是的最小值为 ,此时 ,故选 B.|PA2ac3|PM【命题意图】本题考查求最值过程中利用三角形两边之差小于等于第三边来取得最值，又要结合椭圆的定义，很关键。10.定义在 上的函数 ,如果存在函数 为常数 ,使得 对一切实R()fx()(,gxkb)()fxg数 都成立,则称 为函数 的一个“承托函数”.现有如下命题：对给定的函数xg()f,其承托函数可能不存在,也可能有无数个； 为函数 的一个承托()f 2
7、gx2f函数；定义域和值域都是 的函数 不存在承托函数.其中正确的命题是( ).RfA. B. C. D.10.【答案】A【解析】对于,若 ,则 ,就是它的一个承托函数,且有无数个.又2()fx()0)gxc就没有承托函数,正确；对于, 时, , ,()lgfx 32x()g328()f, 不是 的一个承托函数；对于,若定义域和值域都是 的函()()xf R数 ,则 是 的一个承托函数.故选 A.()2f21x【命题意图】本题属于考查学生数学素养的题目，虽说情形不熟练，但还是可以找出问题的突破口，也体现了解选择题的灵活性。第卷二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案
8、填在答题卷中对应题号后的横线上.11.已知数组 , , , 满足线性回归方1()xy2) 10()xy程 ,则“ 满足线性回归方程 ”yba0, bxa是“ , ”1210xx 1210yy的 条件.(填充分不必要、必要不充分、充要)_11 【答案】必要不充分【解析】线性回归方程 必经过点 ,但满足ybxa()xy线性回归方程的点不一定是样本数据的平均数,因此“ 满足线性回归方程 ”是“0(,)xy, ”的必要不充分12100 1210yy条件.【命题意图】本题考查对回归直线上必过的一点 的理解，让学生对概念理解的片面性作),(yx一深刻的认识。12. 已知实数 x，y 满足 且 仅在点210
9、,|yaz（3,2）处取得最大值，则 的取值范围是 。a12.【答案】 ),1(PQyxOO DCBA【解析】作出不等式组 的平面区域,当 从与 平行一直到210|xyzaxy21=0与 y 轴平行都满足题意,故 .(,)a【命题意图】线性规划的难点在此题中有很好的体现。13. 已知 为如图所示的程序框图中输出的结果，则二项式a的展开式中含 项的系数是 61x()2x13.【答案】 92【解析】根据循环语句及程序运行和二项式定理知识可知输出结果为 192.【命题意图】此题考查框图与二项式定理相结合，充分考查了学生对知识的融会贯通。14.某校对文明班的评选设计了 五个方面的多元评价指标,并通过经
10、验公式,abcde来计算各班的综合得分, 的值越高则评价效果越好.若某班在自测过程中各1acbdeSS项指标显示出 ,则下阶段要把其中一个指标的值增加 个单位,而使得0de 1的值增加最多,那么该指标应为 .(填入 中的某个字母)_,abcde14.【答案】 c【解析】根据分数的性质,只有在 或 上增加 才能使 增加最多.ac1S , ,故应填 .111()0aacbdbdebde11ccbdebdec【命题意图】本题重在理解信息，对题意要有很好的把握。15.(请在下列两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分)(坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中， 是曲线 上任意两点，则线 PQ
11、， C:4sin段 长度的最大值为 PQ(2)如图，圆 O是 ABC的外接圆，过点 C的切线交 AB的延长线于点 D， 27,3，则 的长为 15.【答案】 4【解析】最长线段 即圆 的直径.2()4xy【命题意图】此题是选讲中极坐标与直角坐标的一个转化过程。15.【答案】 372 【解析】略【命题意图】本题是选修 41 中的几何证明选讲 ，作出图形，一般此类题比较简单，寻找出题目中特殊边角即可求解。三.解答题：本大题共 75 分。其中(16)(19)每小题 12 分,(20)题 13 分,(21)题 14 分.解答应写出文字说明，正明过程和演算步骤.16.(本题满分 12 分)如图所示,已知
12、 的终边所在直线上的一点 的坐标为 , 的终边在(34)第一象限且与单位圆的交点 的纵坐标为 .Q210求 的值；tan(2)若 , ,求 .2016.解：由三角函数的定义知 , .又由三角函数线知43tan24()317tan,210sin 为第一象限角, , . 6 分17tan241673tan() , , .又 , , . 35cos245si10si2271sin10co8 分 .由 , ,得7235sin()sicosin20, . 12 分32234【命题意图】本题考查三角函数的定义、化简、求值过程中对范围、公式的把握。17.(本小题满分 12 分) 第 26 届世界大学生夏季运
13、动会于 2011 年 8 月 12 日至 23 日在深圳举行，为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了 12 名男志愿者和 18 名女志愿者将这 30 名志愿者的身高编成如下茎叶图（单位：cm）：男 女9 15 7 7 8 9 99 8 16 1 2 4 5 8 98 6 5 0 17 2 3 4 5 67 4 2 1 18 0 11 19 若身高在 175cm 以上（包括 175cm）定义为“高个子” ，身高在 175cm 以下（不包括175cm）定义为“非高个子” ，且只有“女高个子”才能担任 “礼仪小姐” （1）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取 5 人，再从这 5 人中
14、选 2 人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？（2）若从所有“高个子”中选 3 名志愿者，用 表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出 的分布列，并求 的数学期望17.解：解：（1）根据茎叶图，有“高个子”12 人， “非高个子”18 人，1 分用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是 ， 2 分61305所以选中的“高个子”有 人， “非高 个子”有 人3 分26138用事件 表示“至少有一名“高个子”被选中” ，则它的对立事件 表示“没有一名“高个子”A A被选中” ，则 5 分()P1253C107因此，至少有一人是“高个子”的概率是 6 分（ ）依题意， 的取值为 7 分,
15、23， ， 514C)0(328P528C)1(34P， 9 分)(31284)(3124因此， 的分布列如下： 023p514528515110 分 12 分3285140E【命题意图】本题通过茎叶图给出数据，与概率计算相结合，很能考查学生的能力和对概念的把握。18.(本小题满分 12 分)在三棱锥 中, 是边长为 的正三角形,平面 平面SABC4SAC, , 、 分别为 、 的中点.ABC32SMNS证明： ；(理)求二面角 的正切值；求点 到平面 的距离.18.解法 ：取 中点 ,连结 、 . , , , ,1DSBSACBSDACB 平面 ,又 平面 , . 4 分ACSB 平面 ,
16、平面 ,平面 平面 .过 作 于 ,则ACDNE平面 ,过 作 于 ,连结 ,则 , 为二面角NEEFMNFMF的平面角.平面 平面 , , 平面 .MSSS又 平面 , . ,/NB MBNAMBSDCNEF答案图(2-1) ,且 .211242SADNEEDB在正 中,由平几知识可求得 ,BC12FM在 中, ,二面角 的正切值为 . 8 分RtF2tanENNC2在 中, , ,3F132MSF.1322CMBS设点 到平面 的距离为 , , 平面 ,NhBCMNBVECB,1133CMNCShE .即点 到平面 的距离为 . 12 分42BCN 423解法 ：取 中点 ,连结 、 .
17、, ,2AOSBASCB , .平面 平面 ,S平面 平面 , 平面 , .BO如图所示建立空间直角坐标系 ,则 , ,xyz(20)3(0), , , ,(20)C2(,)S(4)AC2,SB , . 4 分34,0,0AB , ,又 , , .设3(1)M2()N(,)3(0)CM2(1,0)N为平面,nxyz的一个法向量,则 ,取 , , , .C320CnxyNz12x6y26(,1)n又 为平面 的一个法向量, ,得2(0,)OSAB13|cos,nOS3sin, .即二面角 的正切值为 . 8 分213ta,SNCMB2由得 ,又 为平面 的一个法向量, ,(0)MB26(,1)n
18、N|3nAMBSDCNx yz答案图(2-2)OxyABFEC点 到平面 的距离 .12 分BCMN|23|42nMBd【命题意图】此题考查空间想象能力和推理运算能力以及应用向量知识解决数学问题的能力，可以简化思维，提高解题效率。19.(本小题满分 12 分)在 中,已知 、 , 、 两边所在的直线分别与AB(0,1)()BAC轴交于 、 两点,且 .xEF4OEF求点 的轨迹方程；C若 ,8B试确定点 的坐标；设 是点 的轨迹上的动点,猜想 的周长最大时点 的位置,并证明你的猜想.PPBFP19.解：如图,设点 , , ,由 、 、 三点共线,得 与 共()0Cxy()Ex(0)ACEACE
19、线.又, , ,得 .同理,由 、 、 三点共线(,1)ACxy(1)EA(1)Ey1ExyBF可得. , ,化简得点 的轨迹方程为 .1Fxy4OF14EFxy C241(0)xy6 分若 ,8BC设 , ,则 , .由 ,得(0)Fx()Cy(,1)CBxy(,)FCxy8BCF(,1Cxy, , .代入 ,得 . ,即 为椭圆8,)FC87Fx17Cy241xy3Fx3(0)的焦点. 9 分猜想：取椭圆的左焦点 ,则当 点位于直线 与椭圆的交点处时, 周长13(0)P1BPBF最大为 .8证明如下： ,211|4|4|PFBFBF 的周长 .12 分B12|8l【命题意图】本题考查椭圆及
20、直线与椭圆及综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力。20.(本小题满分 13 分)已知数列 是首项为 ,公差为 的等差数列,数列 满足na1a2nb.2nnba若 、 、 成等比数列,求数列 的通项公式；134na当 时,不等式 能否对于一切 恒成立？请说明理由.28a5nb*N数列 满足 ,其中 , ,当 时,求 的最nc12()*)ncN1c()nfbc20a()fn小值.20.解：依题意 , 、 、 成等比数列, ,即 ,na1a34 21432(6)(4)a得 ,8a故 . 3 分210n由 , ,nba2n得 221122 4()()()n aann. 的图象的对称轴为
21、, , ,4a4(afxx189124a又 ,当 ,即 时, 取最小值.*xN4520()f故当 时,不等式 对一切 恒成立. 8 分218a5nb*N ,1()nnc 221213211)()()()nnncc .当 时, , ,()n0a20nab 21209()nnfbc则 , .21121)1()9()8()nnf )(f当 时, ,即 ；当 时, 5n0ff5(6)ff 4n,即 .12(1)()9nf13(4)5ff故 的最小值为 . 13 分n546f【命题意图】本题考查数列的递推及数列单调性，应结合函数的知识进行求解。21.(本小题满分 14 分)已知函数 在 处取得极值 .2
22、()(,)mxnfR1x2求 的解析式；()fx设 是曲线 上除原点 外的任意一点,过 的中点且垂直于 轴的直线交曲线于A()yfxOOAx点 ,试问：是否存在这样的点 ,使得曲线在点 处的切线与 平行？若存在,求出点BAB的坐标；若不存在,说明理由；设函数 ,若对于任意 ,总存在 ,使得 ,求实2()gxa1xR21x21()gxf数 的取值范围.a21.解： , .又 在 处取得极值 .2()mxnf2 22()()mxnxmnxf()fx2 ,即 ,解得 , ,经检验满足题意, . 4 分(1)0f2(1)0n14241()xf由知 .假设存在满足条件的点 ,且 ,则 ,24(1)xfA
23、02(,)x20OAxk又 .则由 ,得 , , ,2020 0)62(4)(1)xxf 02()OAxkf022016(4)x42050 ,得 .故存在满足条件的点 ,此时点 的坐标为 或 . 04505 859(,)589(,)8 分解法 ： ,令 ,得 或 .124(1)xf()0fx1x当 变化时, 、 的变化情况如下表：x(,1)1(,)1(1,)()f00x单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 在 处取得极小值 ,在 处取得极大值 .()f1(1)2f1x(1)2f又 时, , 的最小值为 . 10 分0x()fxx()f对于任意的 ,总存在 ,使得 ,当 时, 最小值不大
24、于1R2121()gxf1x()gx.又 .22()()gxaxa当 时 , 的最小值为 ,由 ,得 ；1a()13g12a1当 时, 最小值为 ,由 ,得 ；gx()a3当 时, 的最小值为 .由 ,即 ,解得 或1a()gx2()ga2a20a1a.又 ,此时 不存在. 13 分21综上, 的取值范围是 . 14 分(,3,)解法 ：同解法 得 的最小值为 . 10 分)fx2对于任意的 ,总存在 ,使得 ,当 时, 有解,1xR211()gxf1x()2gx即 在 上有解.设 ,则20xa,2ha得 , 12 分4(2)4()01()30aha 或 ,得 或 . 13 分(1)()30a
25、1a3 或 时, 在 上有解,故 的取值范围是 . a2xa(,13,)14 分解法 ：同解法 得 的最小值为 . 10 分31()f2对于任意的 ,总存在 ,使得 ,当 时,1xR21x1()gxf1x有解,即 在 上有解.令 ,则 ,2()gxa2()a,2t214tx .94,3,1tt当 时, ；当 时,得 ,不成立, 不0)t919424()()1t ta0t94a存在；当 时, .令 , 时, ,(1)t()t(,(0tt(t 2()10tx在0上为减函数, , .13 分()12t1423a综上, 的取值范围是 . 14 分a,)【命题意图】此题综合考查导数与函数的单调性、不等式中的运用，以及求参问题、恒成立问题中的应用。
