1、2019 年高中毕业年级第一次质量预测 理 科数学 参考答案 一 、 选择题（每小题 5 分，共 60 分） 1.C 2.D 3.B 4.C 5.A 6.C 7.B 8.B 9.A 10.C 11.B 12.D 二 、 填空题（每小题 5 分，共 20 分） 13. 20； 14.-13,-4； 15.144； 16. . 三 、 解答题（共 70 分） 17.解（）由 nn ab 2log 和 12321 bbb 得 12log 3212 aaa ， .212321 aaa -2分 设等比数列 na 的公比为 q， 41 a 12362321 22444 qqqaaa ， 计算得出 4q -
2、4 分 nnna 4441 -6 分 （） 由（ 1）得 nb nn 24log2 ， -7 分 设数列 11nn 的前 n项和为 nA ，则 11113121211 nnnnA n -9 分 设数列 n4 的前 n项和为 nB ，则 143441 444 nnnB ， -11 分 14341 nn nnS-12 分18. （）证明：连接 AC 底面 ABCD为菱形， 60ABC ， ABC 是正三角形， E是 BC 中点， BCAE 又 BCAD / ， ADAE PA 平面 ABCD， AE 平面 ABCD，PA AE,又 PA AE A AE 平面 PAD ， 又 AE 平面 AEF n
3、nnn nnnnnnc 411141141224 平面 AEF 平面 .PAD 4分 （）由（）得， APADAE , 两两垂直，以 APADAE , 所在直线分别为 x轴， y 轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 5分 AE 平面 PAD ， AME 就是 EM 与平面 PAD 所成的角， 在 Rt AMED 中， 15sin 5AME，即 26AMAE ， 设 aAB 2 ，则 aAE 3 ，得 aAM 2 ， 又 aABAD 2 ，设 2PA b= ，则 (0, , )M a b ， 所以 22 2AM a b a= + = ， 从而 ba= ， aADPA 2 ， 7分 则 (0,
4、0,0), ( 3 , ,0)A B a a- ， ( 3 , ,0), (0,2 ,0)C a a D a ， (0,0,2 )Pa， ),2,23(F),0,0,3( aaaaE 所以 ),2,23(),0,0,3( aaaAFaAE ， )0,3,3( aaBD ， 8分 设 ),( zyxn 是平面 AEF 的一个法向量，则 02230300azayaxaxAFnAEn取 za ，得 ),2,0( aan 9分 又 BD 平面 ACF ， )0,3,3( aaBD 是平面 ACF 的一个法向量， 10分 515325 6,cos2aaaBDnBDnBDn 11分 二面角 EAFC 的余
5、弦值为 .515 12分 19.（） 设重度污染区 AQI 的平均值为 x,则 742+1145+2x=1189,解得 x=172. 即重度污染区 AQI 平均值为 172.-2 分 （） 由题意知 ,AQI 在 170,180)内的天数为 1, 由图可知 ,AQI 在 50,170)内的天数 为 17 天 ,故 11 月份 AQI 小于 180 的天数为 1+17=18, 又 533018 ,则 该学校去进行社会实践活动 的概率为 53 .-5 分 由题意知 ,X的所有可能取值为 0,1,2,3,且 P(X=0)= 1015204330012318 CCC ,P(X=1)=101545933
6、0112218 CCC , P(X=2)= 1015297330212118 CCC ,P(X=3)=20311330312018 CCC , 则 X的分布列为 -10分 X 0 1 2 3 P 1015204 1015459 1015297 20311 数学期望 EX= 10152040 + 10154591 + 10152972 + 56203113 .-12 分 20.解： （） 设点 M 00 , yx ， yxP , ，由题意可知 0,0xN MNPN 32 ， 00 ,03,2 yyxx ， -2 分 即 xx 0 ， y32y0 又点 M 在为圆 4: 22 yxC 上 4202
7、0 yx 代入得 13422 yx 即轨迹 E的方程为 13422 yx-4 分（ 2）由（ 1）可知 0,2D ， 设 11, yxA ， 22 , yxB 联立13422 yxmkxy得 034843 222 mmkxxk 09312161244348 22222 mkmkmk 即 043 22 mk ， 2222,1 4329312168kmkmkx 221 438kmkxx 2221 4334kmxx-7 分又 2222212122121 43123kkmmxxmkxxkmkxmkxyy-8 分DBDADBDA DBDA 即 0DBDA 即 042,2,2 2121212211 yyx
8、xxxyxyx 043 123443 8243 124 222222 k kmkmkkm 04167 22 kmkm -10 分 解得 km 21 ， km 722 ，且均满足即 043 22 mk 当 km 21 时， l的方程为 22 xkkkxy ，直线恒过 0,2 ，与已知矛盾； 当 km 722 ， l的方程为 7272 xkkkxy ，直线恒过 0,72 所以，直线 l过定点，定点坐标为 0,72 .-12 分 21.解析： （）228( ) ( 0) (1)=0 6x x af x x f ax ， ， 则2 1 3( ) ( 0) ( ) 0, ( )xxf x x x f x
9、 f xx （ ） （ ）从 而 ， 所 以 （ 0,1） 时 ， 为 增 函 数 ；( ) 0, ( ) =1x f x f x x（ 1,3） 时 ， 为 减 函 数 ， 所 以 为 极 大 值 点 .-4分（） 函数 fx的定义域为 0+， ， 有两个极值点 21 2 1 2, ( ) 2 8 0x x x x t x x x a ， 则 在 0+， 上有两不等的正实根，所以 08a，由121121112402 (4 )2xxxaxxa x xxx 可 得从而问题转化为在 1101xx ， 且 时 21 111ln 431axt x xx 成立 .-6分 即证 21 1 1 1112 (
10、4 )ln 431x x x t x xx 成立 . 即证 11 112 ln 11xxtxx 即证 11112 ln 101xxtxx 亦即证 21111112ln 01txx xxx. 2 1( ) 2ln (0 2)txh x x xx 令则222( ) (0 2)tx x th x xx 0 ( ) 0, ( ) (0,2) (1) 0t h x h x h 1).当 时 ， 则 在 上 为 增 函 数 且 , 式在 (1,2)上不成立 . 20 4 4tt 2).当 时 ， = 1 ( ) 0, ( ) (0,2) (1) 0t h x h x h 若 0， 即 时 ， 所 以 在
11、上 为 减 函 数 且 ， 21111112ln 01 11txx xxx 、 在 区 间 ， 及 ， 2 上 同 号 ， 故 式成立 . 1min ,2 , ( ) 0,a x a h xt 令 则 1 时 ， 不 合 题 意 . 综上可知： 1t 满足题意 . 22.（） 曲线 1C ： 93 22 yx ,把公式sincosyx 代入可得： 曲线 1C 的极坐标方程为 sin6 设 ,B ，则 2,A ，则有 cos62sin6 所以，曲线 2C 的极坐标方程为 cos6 -5分 （） M 到射线 65 的距离为 265sin4 d ， 射线 65 与 曲线 1C 交点 65,3 P ,
12、 射线 65 与 曲线 2C 交点 65,33 Q 333 PQ 故 33321 dPQS-10分23（）当 21a 时，不等式 6xf 可化为 62213 xx ， 当 31x 时，不等式即 62231 xx , 53x 当 131 x 时，不等式即 62213 xx , x 2 10 2 1,t tx x t xt 若 0， 即 -1 时 ， y= 的 对 称 轴当 1x 时，不等式即 62213 xx ， 59x 综上所述不等式的解集为 5953 xxx 或 ； -5分 （）不等式 2243 000 xxxf 可化为 4323 00 xax 令 32,232,26323 axaaxaxxaxxg , 所以函数 xg 最小值为 a2 ， 根据题意可得 42 a ，即 2a ，所以 a的取值范围为 ,2 . - 10分
