1、 空间几何体的表面积与体积一、选择题1棱长为 2的正四面体的表面积是( )A. B4 C4 D163 3解析 每个面的面积为： 22 .正四面体的表面积为：4 .12 32 3 3答案 C2把球的表面积扩大到原来的 2倍，那么体积扩大到原来的 ( )A2 倍 B2 倍 C. 倍 D. 倍2 2 32解析 由题意知球的半径扩大到原来的 倍，则体积 V R3，知体积扩大到243原来的 2 倍2答案 B3如图是一个长方体截去一个角后所得多面体的三视图，则该多面体的体积为( )A. B. C. D.1423 2843 2803 1403解析 根据三视图的知识及特点，可画出多面体的形状，如图所示这个多面
2、体是由长方体截去一个正三棱锥而得到的，所以所求多面体的体积V V 长方体 V 正三棱锥 446 2 .13 (1222) 2843答案 B4某几何体的三视图如下，则它的体积是( )A8 B823 3C82 D.23解析 由三视图可知该几何体是一个边长为 2的正方体内部挖去一个底面半径为1，高为 2的圆锥，所以 V2 3 28 .13 23答案 A5已知某几何体的三视图如图，其中正视图中半圆的半径为 1，则该几何体的体积为( )A24 B2432 3C24 D242解析 据三视图可得几何体为一长方体内挖去一个半圆柱，其中长方体的棱长分别为：2,3,4，半圆柱的底面半径为 1，母线长为 3，故其体
3、积 V2341 2324 .12 32答案 A6某品牌香水瓶的三视图如图 (单位：cm)，则该几何体的表面积为( )A. cm2 B. cm2(952) (94 2)C. cm2 D. cm2(942) (95 2)解析 这个空间几何体上面是一个四棱柱、中间部分是一个圆柱、下面是一个四棱柱上面四棱柱的表面积为 233121 30 ；中间部分的表4 4面积为 2 1，下面部分的表面积为 244162 64 .故12 4 4其表面积是 94 .2答案 C 7已知球的直径 SC4， A， B是该球球面上的两点，AB ， ASC BSC30，则棱锥 S-ABC的体积为( )3A3 B2 C. D13
4、3 3解析 由题可知 AB一定在与直径 SC垂直的小圆面上，作过 AB的小圆交直径SC于 D，设 SD x，则 DC4 x，此时所求棱锥即分割成两个棱锥 S-ABD和 C-ABD，在 SAD和 SBD中，由已知条件可得 AD BD x，又因为 SC为直径，33所以 SBC SAC90，所以 DCB DCA60，在 BDC中 ， BD (4 x)，所以 x (4 x)，所以 x3， AD BD ，所以三角形333 3 3ABD为正三角形，所以 V S ABD4 .13 3答案 C二、填空题8三棱锥 PABC中， PA底面 ABC， PA3，底面 ABC是边长为 2的正三角形，则三棱锥 PABC的
5、体积等于_解析 依题意有，三棱锥 PABC的体积 V S ABC|PA| 223 .13 13 34 3答案 39一个圆柱的轴截面是正方形，其侧面积与一个球的表面积相等，那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为_解析 设圆柱的底面半径是 r，则该圆柱的母线长是 2r，圆柱的侧面积是2 r2r4 r2，设球的半径是 R，则球的表面积是 4 R2，根据已知4 R24 r2，所以 R r.所以圆柱的体积是 r22r2 r3，球的体积是 r3，所以圆柱的体积和球的体积的比是 32.43 2 r343 r3答案 3210如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为 1的正方形和 4个边长为 1的正三角
6、形组成，则该多面体的体积是_解析 由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为 1，侧棱长为 1，斜高为 ，连32接顶点和底面中心即为高，可求得高为 ，所以体积 V 11 .22 13 22 26答案 2611如图，半径为 R的球 O中有一内接圆柱当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是_解析 由球的半径为 R，可知球的表面积为 4 R2.设内接圆柱底面半径为 r，高为 2h，则 h2 r2 R2.而圆柱的侧面积为2 r2h4 rh4 2 R2(当且仅当 r h时等号成立)，即内接圆r2 h22柱的侧面积最大值为 2 R2，此时球的表面积与内接圆柱的侧面积之差为 2 R2.答案 2 R2
7、12如图，已知正三棱柱 ABCA1B1C1的底面边长为 2 cm，高为 5 cm，则一质点自点 A出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点 A1的最短路线的长为_cm.解析 根据题意，利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱，然后将其展开为如图所示的实线部分，则可知所求最短路线的长为 13 (cm)52 122答案 13三、解答题13某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图 1所示，墩的上半部分是正四棱锥 PEFGH，下半部分是长方体 ABCDEFGH.图 2、图 3分别是该标识墩的正视图和俯视图(1)请画出该安全标识墩的侧视图；(2)求该安全标识墩的体积解析 (1)侧视图同正视图，如图所示：(2
8、)该安全标识墩的体积为V VPEFGH VABCDEFGH 4026040 2201364 000(cm 3)14 .一个几何体的三视图如图所示已知正视图是底边长为 1的平行四边形，侧视图是一个长为 ，宽为 1的矩形，俯视图为两个边3长为 1的正方形拼成的矩形(1)求该几何体的体积 V；(2)求该几何体的表面积 S.解析 (1)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图)，其底面是边长为1的正方形，高为 ，3所以 V11 .3 3(2)由三视图可知，该平行六面体中，A1D平面 ABCD，CD平面 BCC1B1，所以 AA12，侧面 ABB1A1，CDD1C1 均为矩形，S2(111 12)6
9、2 .3 315已知某几何体的俯视图是如右图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为 8、高为 4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为 6、高为 4的等腰三角形(1)求该几何体的体积 V；(2)求该几何体的侧面积 S.解析 由题设可知，几何体是一个高为 4的四棱锥，其底面是长、宽分别为 8和 6的矩形，正侧面及其相对侧面均为底边长为 8，高为 h1的等腰三角形，左、右侧面均为底边长为 6，高为 h2的等腰三角形，如右图所示(1)几何体的体积为： V S 矩形 h 68464.13 13(2)正侧面及相对侧面底边上的高为： h1 5.左、右侧面的底边上的42 32高为： h2
10、4 .42 42 2故几何体的侧面面积为：S2 4024 .(1285 12642) 216四面体的六条棱中，有五条棱长都等于 a.(1)求该四面体的体积的最大值；(2)当四面体的体积最大时，求其表面积解析 (1)如图，在四面体 ABCD中，设 AB BCCD AC BD a， AD x，取 AD的中点为 P，BC的中点为 E，连接 BP、 EP、 CP.得到 AD平面 BPC， VA-BCD VA-BPC VD-BPC S BPCAP S BPCPD13 13 S BPCAD13 a x13 12 a2 x24 a24a12 3a2 x2 x2 a3(当且仅当 x a时取等号)a12 3a22 18 62该四面体的体积的最大值为 a3.18(2)由(1)知， ABC和 BCD都是边长为 a的正三角形， ABD和 ACD是全等的等腰三角形，其腰长为 a，底边长为 a，62 S 表 2 a22 a 34 12 62 a2 (64a)2 a2 a a232 62 10a4 32 15a24 a2.2 3 154
