1、k 第一部分 函数图象中点的存在性问题1.1 因动点产生的相似三角形问题 1.如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，顶点为 M 的抛物线 yax 2bx（a0）经过点 A 和x 轴正半轴上的点 B，AOBO2，AOB 120（1）求这条抛物线的表达式；（2）连结 OM，求AOM 的大小；（3）如果点 C 在 x 轴上，且 ABC 与AOM 相似，求点 C 的坐标图 1 2.如图 1，已知抛物线 （b 是实数且 b2）与 x 轴的正半轴分别交于21()44yx点 A、B（点 A 位于点 B 是左侧） ，与 y 轴的正半轴交于点 C（1）点 B 的坐标为_，点 C 的坐标为_（用含 b 的代数式
2、表示） ；（2）请你探索在第一象限内是否存在点 P，使得四边形 PCOB 的面积等于 2b，且PBC是以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点 P 的坐标；如果不存在，请说 明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点 Q，使得QCO、QOA 和QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点 Q 的坐标；如果不存在，请说明理由图 13.如图 1，已知抛物线的方程 C1： (m0)与 x 轴交于点 B、C，与 y1(2)yxm轴交于点 E，且点 B 在点 C 的左侧（1）若抛物线 C1 过点 M(2, 2)，求实数 m 的值；（2）在（1）的条
3、件下，求BCE 的面积；（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点 H，使得 BHEH 最小，求出点 H 的坐标；（4）在第四象限内，抛物线 C1 上是否存在点 F，使得以点 B、C、F 为顶点的三角形与BCE 相似？若存在，求 m 的值；若不存在，请说明理由图 14.如图 1，已知梯形 OABC，抛物线分别过点 O（0，0） 、A（2，0） 、B（6，3） （1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点 M 的坐标；（2）将图 1 中梯形 OABC 的上下底边所在的直线 OA、CB 以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点 O1、A 1、C 1、B 1，得到如图 2 的梯形 O1A1B1
4、C1设梯形 O1A1B1C1 的面积为 S，A 1、 B1 的坐标分别为 (x1，y 1)、(x 2，y 2)用含 S 的代数式表示 x2x 1，并求出当 S=36 时点 A1 的坐标；（3）在图 1 中，设点 D 的坐标为 (1，3)，动点 P 从点 B 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿着线段 BC 运动，动点 Q 从点 D 出发，以与点 P 相同的速度沿着线段 DM 运动P、Q 两点同时出发，当点 Q 到达点 M 时，P 、Q 两点同时停止运动设 P、Q 两点的运动时间为 t，是否存在某一时刻 t，使得直线 PQ、直线 AB、x 轴围成的三角形与直线PQ、直线 AB、抛物线的对称轴围成
5、的三角形相似？若存在，请求出 t 的值；若不存在，请说明理由图 1 图 25.如图 1，抛物线经过点 A(4，0) 、B （1，0) 、C （0，2 ）三点（1）求此抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上的一个动点，过 P 作 PMx 轴，垂足为 M，是否存在点 P，使得以A、P、M 为顶点的三角形与OAC 相似？若存在，请求出符合条件的 点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线 AC 上方的抛物线是有一点 D，使得DCA 的面积最大，求出点 D 的坐标,图 11.2 因动点产生的等腰三角形问题6.如图 1，在 RtABC 中，A90，AB6，AC 8，点 D 为边 BC 的中点，DE
6、BC交边 AC 于点 E，点 P 为射线 AB 上的一动点，点 Q 为边 AC 上的一动点，且PDQ90（1）求 ED、EC 的长；（2）若 BP2，求 CQ 的长；（3）记线段 PQ 与线段 DE 的交点为 F，若PDF 为等腰三角形，求 BP 的长图 1 备用图7.如图 1，抛物线 yax 2bxc 经过 A(1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线 l 是抛物线的对称轴（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点 P 是直线 l 上的一个动点，当PAC 的周长最小时，求点 P 的坐标；（3）在直线 l 上是否存在点 M，使MAC 为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点 M 的
7、坐标；若不存在，请说明理由图 1 8.如图 1，点 A 在 x 轴上，OA4，将线段 OA 绕点 O 顺时针旋转 120至 OB 的位置（1）求点 B 的坐标；（2）求经过 A、O、B 的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点 P，使得以点 P、O、B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由图 19.如图 1，已知一次函数 yx7 与正比例函数 的图象交于点 A，且与 x 轴交于43yx点 B（ 1） 求点 A 和点 B 的 坐标；（2）过点 A 作 ACy 轴于点 C，过点 B 作直线 l/y 轴动点 P 从点 O 出发，以每秒 1 个单位
8、长的速度，沿 OCA 的 路 线 向 点 A 运 动 ； 同时直线 l 从点 B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线 l 交 x 轴于点 R，交线段 BA 或 线 段 AO 于 点 Q当 点 P 到达 点 A 时 ， 点 P 和 直 线 l 都 停 止 运 动 在 运 动 过 程 中 ， 设 动 点 P 运 动 的 时 间 为 t 秒 当 t 为何值时，以 A、 P、 R 为顶点的三角形的面积为 8？是否存在以 A、 P、 Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求 t 的值；若不存在，请说明理由10.如图 1，在矩形 ABCD 中，ABm （m 是大于 0 的常数） ，BC8，E
9、为线段 BC 上的动点（不与 B、C 重合） 连结 DE，作 EFDE ，EF 与射线 BA 交于点 F，设CEx，BF y （1）求 y 关于 x 的函数关系式； （2）若 m8，求 x 为何值时， y 的值最大，最大值是多少？（3）若 ，要使DEF 为等腰三角形，m 的值应为多少？2图 111.如图 1，在等腰梯形 ABCD 中，AD/BC，E 是 AB 的中点，过点 E 作 EF/BC 交 CD 于点 F，AB 4， BC6，B60（1）求点 E 到 BC 的距离；（2）点 P 为线段 EF 上的一个动点，过点 P 作 PMEF 交 BC 于 M，过 M 作 MN/AB交折线 ADC 于
10、 N，连结 PN，设 EPx当点 N 在线段 AD 上时（如图 2） ，PMN 的形状是否发生改变？若不变，求出PMN 的周长；若改变，请说明理由；当点 N 在线段 DC 上时（如图 3） ，是否存在点 P，使PMN 为等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的 x 的值；若不存在，请说明理由图 1 图 2 图 31.3 因动点产生的直角三角形问题12.如图 1，抛物线 与 x 轴交于 A、B 两点（点 B 在点 A 的右侧） ，与 y 轴2134yx交于点 C，连结 BC，以 BC 为一边，点 O 为对称中心作菱形 BDEC，点 P 是 x 轴上的一个动点，设点 P 的坐标为(m, 0) ，过
11、点 P 作 x 轴的垂线 l 交抛物线于点 Q（1）求点 A、B、C 的坐标；（2）当点 P 在线段 OB 上运动时，直线 l 分别交 BD、BC 于点 M、N试探究 m 为何值时，四边形 CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形 CQBM 的形状，并说明理由；（3）当点 P 在线段 EB 上运动时，是否存在点 Q，使BDQ 为直角三角形，若存在，请直接写出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由图 1 13.如图 1，抛物线 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y2384yx轴交于点 C（1）求点 A、B 的坐标；（2）设 D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当
12、ACD 的面积等于ACB 的面积时，求点 D 的坐标；（3）若直线 l 过点 E(4, 0)，M 为直线 l 上的动点，当以 A、B、M 为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线 l 的解析式图 1 14.平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数 yk(x 2x1) 的图象交于点 A(1,k)和点B(1,k)（1）当 k2 时，求反比例函数的解析式；（2）要使反比例函数与二次函数都是 y 随 x 增大而增大，求 k 应满足的条件以及 x 的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为 Q，当ABQ 是以 AB 为斜边的直角三角形时，求k 的值16.直角坐标系 xOy 中，抛物线 与 x 轴的交点
13、分别为原221534myxm点 O 和点 A，点 B(2,n)在这条抛物线上（1）求点 B 的坐标；（2）点 P 在线段 OA 上，从点 O 出发向点 A 运动，过点 P 作 x 轴的垂线，与直线 OB 交于点 E，延长 PE 到点 D，使得 EDPE，以 PD 为斜边，在 PD 右侧作等腰直角三角形PCD（当点 P 运动时，点 C、D 也随之运动） 当等腰直角三角形 PCD 的顶点 C 落在此抛物线上时，求 OP 的长；若点 P 从点 O 出发向点 A 作匀速运动，速度为每秒 1 个单位，同时线段 OA 上另一个点Q 从点 A 出发向点 O 作匀速运动，速度为每秒 2 个单位（当点 Q 到达
14、点 O 时停止运动，点 P 也停止运动） 过 Q 作 x 轴的垂线，与直线 AB 交于点 F，延长 QF 到点 M，使得FM QF，以 QM 为斜边，在 QM 的左侧作等腰直角三角形 QMN（当点 Q 运动时，点M、N 也随之运动） 若点 P 运动到 t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻 t 的值图 117.已知 A、B 是线段 MN 上的两点， 4MN， 1A， B以 A 为中心顺时针旋转点 M，以 B 为中心逆时针旋转点 N，使 M、N 两点重合成一点 C，构成ABC，设xA（1）求 x 的取值范围；（2）若ABC 为直角三角形，求 x 的值；（3）探究：A
15、BC 的最大面积？图 118.直线 和 x 轴、 y 轴的交点分别为 B、C，点 A 的坐标是（-2，0）43y（1）试说明ABC 是等腰三角形；（2）动点 M 从 A 出发沿 x 轴向点 B 运动，同时动点 N 从点 B 出发沿线段 BC 向点 C 运动，运动的速度均为每秒 1 个单位长度当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动设 M 运动 t 秒时，MON 的面积为 S 求 S 与 t 的函数关系式； 设点 M 在线段 OB 上运动时，是否存在 S4 的情形？若存在，求出对应的 t 值；若不存在请说明理由；在运动过程中，当MON 为直角三角形时，求 t 的值图 119.直线 和 x 轴、
16、y 轴的交点分别为 B、C，点 A 的坐标是（-2，0）43y（1）试说明ABC 是等腰三角形；（2）动点 M 从 A 出发沿 x 轴向点 B 运动，同时动点 N 从点 B 出发沿线段 BC 向点 C 运动，运动的速度均为每秒 1 个单位长度当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动设 M 运动 t 秒时，MON 的面积为 S 求 S 与 t 的函数关系式； 设点 M 在线段 OB 上运动时，是否存在 S4 的情形？若存在，求出对应的 t 值；若不存在请说明理由；在运动过程中，当MON 为直角三角形时，求 t 的值图 120.知抛物线 yx 2bxc 经过 A(0, 1)、B(4, 3) 两点
17、（1）求抛物线的解析式；（2）求 tanABO 的值；（3）过点 B 作 BCx 轴，垂足为 C，在对称轴的左侧且平行于 y 轴的直线交线段 AB 于点 N，交抛物线于点 M，若四边形 MNCB 为平行四边形，求点 M 的坐标图 1 21.Rt ABC 中，C90，AC6，BC 8，动点 P 从点 A 开始沿边 AC 向点 C 以每秒1 个单位长度的速度运动，动点 Q 从点 C 开始沿边 CB 向点 B 以每秒 2 个单位长度的速度运动，过点 P 作 PD/BC，交 AB 于点 D，联结 PQ点 P、Q 分别从点 A、C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为 t
18、 秒（t 0） （1）直接用含 t 的代数式分别表示： QB_，PD _；（2）是否存在 t 的值，使四边形 PDBQ 为菱形？若存在，求出 t 的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点 Q 的速度（匀速运动） ，使四边形 PDBQ 在某一时刻为菱形，求点Q 的速度；（3）如图 2，在整个运动过程中，求出线段 PQ 的中点 M 所经过的路径长图 1 图 222.平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD 的三个顶点 B(1, 0)、C(3, 0)、D(3, 4)以 A 为顶点的抛物线 yax 2bxc 过点 C动点 P 从点 A 出发，沿线段 AB 向点 B 运动，同时动点Q 从点 C 出发，沿线
19、段 CD 向点 D 运动点 P、Q 的运动速度均为每秒 1 个单位，运动时间为 t 秒过点 P 作 PEAB 交 AC 于点 E（1）直接写出点 A 的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）过点 E 作 EFAD 于 F，交抛物线于点 G，当 t 为何值时，ACG 的面积最大？最大值为多少？（3）在动点 P、Q 运动的过程中，当 t 为何值时，在矩形 ABCD 内（包括边界）存在点H，使以 C、Q、E、H 为顶点的四边形为菱形？请直接写出 t 的值图 123.物线 c1： 沿 x 轴翻折，得到抛物线 c2，如图 1 所示23y（1）请直接写出抛物线 c2 的表达式；（2）现将抛物线 c1 向左平移
20、 m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为 M，与 x 轴的交点从左到右依次为 A、B；将抛物线 c2 向右也平移 m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为 N，与 x 轴的交点从左到右依次为 D、E当 B、D 是线段 AE 的三等分点时，求 m 的值；在平移过程中，是否存在以点 A、N 、E、M 为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时 m 的值；若不存在，请说明理由图 124 角梯形 OABC 中，CB/OA，COA90，CB 3， OA6，BA 分别以35OA、OC 边所在直线为 x 轴、y 轴建立如图 1 所示的平面直角坐标系（1）求点 B 的坐标；（2）已知 D、E 分别为
21、线段 OC、OB 上的点，OD5， OE2EB，直线 DE 交 x 轴于点F求直线 DE 的解析式；（3）点 M 是（2）中直线 DE 上的一个动点，在 x 轴上方的平面内是否存在另一点 N，使以 O、D、M、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由图 1 图 225.物线 与 x 轴相交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴相交于32xy点 C，顶点为 D（1）直接写出 A、B、C 三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）连结 BC，与抛物线的对称轴交于点 E，点 P 为线段 BC 上的一个动点，过点 P 作PF/DE 交抛物线于点 F，设点
22、 P 的横坐标为 m用含 m 的代数式表示线段 PF 的长，并求出当 m 为何值时，四边形 PEDF 为平行四边形？设BCF 的面积为 S，求 S 与 m 的函数关系图 126 直线 y3x3 分别与 x 轴、y 轴交于点 A，B，抛物线 yax 22xc 经过点 A，B（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）记该抛物线的对称轴为直线 l，点 B 关于直线 l 的对称点为 C，若点 D 在 y 轴的正半轴上，且四边形 ABCD 为梯形求点 D 的坐标；将此抛物线向右平移，平移后抛物线的顶点为 P，其对称轴与直线 y3x3 交于点 E，若 ，求四边形73tanDBDEP
23、 的面积图 1 27.，把两个全等的 RtAOB 和 RtCOD 方别置于平面直角坐标系中，使直角边 OB、OD在 x 轴上已知点 A(1，2) ，过 A、C 两点的直线分别交 x 轴、y 轴于点 E、F抛物线yax 2bxc 经过 O、A、C 三点（1）求该抛物线的函数解析式；（2）点 P 为线段 OC 上的一个动点，过点 P 作 y 轴的平行线交抛物线于点 M，交 x 轴于点 N，问是否存在这样的点 P，使得四边形 ABPM 为等腰梯形？若存在，求出此时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若AOB 沿 AC 方向平移（点 A 始终在线段 AC 上，且不与点 C 重合） ，AOB 在
24、平移的过程中与COD 重叠部分的面积记为 S试探究 S 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由图 1 28.次函数的图象经过 A（2， 0） 、C(0，12) 两点，且对称轴为直线 x4，设顶点为点 P，与 x 轴的另一交点为点 B（1）求二次函数的解析式及顶点 P 的坐标；（2）如图 1，在直线 y2x 上是否存在点 D，使四边形 OPBD 为等腰梯形？若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图 2，点 M 是线段 OP 上的一个动点（O、P 两点除外） ，以每秒 个单位长2度的速度由点 P 向点 O 运动，过点 M 作直线 MN/x 轴，交 PB 于
25、点 N 将PMN 沿直线 MN 对折，得到P 1MN 在动点 M 的运动过程中，设 P 1MN 与梯形 OMNB 的重叠部分的面积为 S，运动时间为 t 秒，求 S 关于 t 的函数关系式 图 1 图 229.在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线的解析式是 y ，点 C 的坐标为(4，0) ，214x平行四边形 OABC 的顶点 A，B 在抛物线上，AB 与 y 轴交于点 M，已知点 Q(x，y)在抛物线上，点 P(t，0)在 x 轴上 (1) 写出点 M 的坐标； (2) 当四边形 CMQP 是以 MQ，PC 为腰的梯形时 求 t 关于 x 的函数解析式和自变量 x 的取值范围； 当梯形 C
26、MQP 的两底的长度之比为 12 时，求 t 的值30 图 1，二次函数 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点)0(2pqxyC（0，1） ，ABC 的面积为 45（1）求该二次函数的关系式；（2）过 y 轴上的一点 M（0，m ）作 y 轴的垂线，若该垂线与ABC 的外接圆有公共点，求 m 的取值范围；（3）在该二次函数的图象上是否存在点 D，使以 A、B、C、D 为顶点的四边形为直角梯形？若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由图 11.6 因动点产生的面积问题31.知抛物线 （b、c 是常数，且 c0）与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点21yxB 的左侧）
27、 ，与 y 轴的负半轴交于点 C，点 A 的坐标为(1,0)（1）b_，点 B 的横坐标为 _（上述结果均用含 c 的代数式表示） ；（2）连结 BC，过点 A 作直线 AE/BC，与抛物线交于点 E点 D 是 x 轴上一点，坐标为(2,0)，当 C、D 、E 三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点 P 是 x 轴下方的抛物线上的一动点，连结 PB、PC设PBC的面积为 S求 S 的取值范围；若PBC 的面积 S 为正整数，则这样的PBC 共有_ 个图 1 32.平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为 A(0, 1)、B(2, 0)、O(0, 0)，将此三角板绕原
28、点 O 逆时针旋转 90，得到三角形 ABO（1）一抛物线经过点 A、B、B，求该抛物线的解析式；（2）设点 P 是第一象限内抛物线上的一个动点，是否存在点 P，使四边形 PBAB 的面积是ABO 面积的 4 倍？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，试指出四边形 PBAB 是哪种形状的四边形？并写出它的两条性质图 133面直角坐标系中，直线 与抛物线 yax 2bx3 交于 A、B 两点，点 A 在 x12yx轴上，点 B 的纵坐标为 3点 P 是直线 AB 下方的抛物线上的一动点（不与点 A、B 重合） ，过点 P 作 x 轴的垂线交直线 AB 于点
29、C，作 PDAB 于点 D（1）求 a、b 及 sinACP 的值；（2）设点 P 的横坐标为 m用含 m 的代数式表示线段 PD 的长，并求出线段 PD 长的最大值；连结 PB，线段 PC 把PDB 分成两个三角形，是否存在适合的 m 的值，使这两个三角形的面积比为 910？若存在，直接写出 m 的值；若不存在，请说明理由图 134.直线 l 经过点 A(1，0) ，且与双曲线 (x0)交于点 B(2，1)过点 (p1)myx(,1)Pp作 x 轴的平行线分别交曲线 (x0) 和 (x0)于 M、N 两点（1）求 m 的值及直线 l 的解析式；（2）若点 P 在直线 y2 上，求证：PMBP
30、NA；（3）是否存在实数 p，使得 SAMN 4S AMP ？若存在，请求出所有满足条件的 p 的值；若不存在，请说明理由图 135.边形 OABC 是矩形，点 A、C 的坐标分别为(3,0) ，(0,1) 点 D 是线段 BC 上的动点（与端点 B、C 不重合） ，过点 D 作直线 交折线 OAB 于点 E12yxb（1）记ODE 的面积为 S，求 S 与 b 的函数关系式；（2）当点 E 在线段 OA 上时，若矩形 OABC 关于直线 DE 的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究四边形 O1A1B1C1 与矩形 OABC 的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变
31、，请说明理由图 136.ABC 中，C 90，AC3，BC4，CD 是斜边 AB 上的高，点 E 在斜边 AB 上，过点 E 作直线与ABC 的直角边相交于点 F，设 AEx，AEF 的面积为 y（1）求线段 AD 的长；（2）若 EFAB，当点 E 在斜边 AB 上移动时，求 y 与 x 的函数关系式（写出自变量 x 的取值范围） ；当 x 取何值时，y 有最大值？并求出最大值（3）若点 F 在直角边 AC 上（点 F 与 A、C 不重合） ，点 E 在斜边 AB 上移动，试问，是否存在直线 EF 将ABC 的周长和面积同时平分？若存在直线 EF，求出 x 的值；若不存在直线 EF，请说明理
32、由图 1 备用图1.7 因动点产生的相切问题 37.知O 的半径长为 3，点 A 是O 上一定点，点 P 为O 上不同于点 A 的动点（1）当 时，求 AP 的长；1tan2A（2）如果Q 过点 P、O，且点 Q 在直线 AP 上（如图 2） ，设 APx，QPy，求 y 关于x 的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）在（2）的条件下，当 时（如图 3） ，存在M 与O 相内切，同时与Q 相4tanA外切，且 OMOQ，试求 M 的半径的长图 1 图 2 图 3 38. A(5,0)，B(3,0) ，点 C 在 y 轴的正半轴上，CBO45，CD/AB，CDA90点 P 从点 Q(4,0)出
33、发，沿 x 轴向左以每秒 1 个单位长的速度运动，运动时间为 t 秒（1）求点 C 的坐标；（2）当BCP15时，求 t 的值；（3）以点 P 为圆心，PC 为半径的P 随点 P 的运动而变化，当P 与四边形 ABCD 的边（或边所在的直线）相切时，求 t 的值图 139.形 ABCD 的边长为 2 厘米，DAB60点 P 从 A 出发，以每秒 厘米的速度沿3AC 向 C 作匀速运动；与此同时，点 Q 也从点 A 出发，以每秒 1厘米的速度沿射线作匀速运动当点 P 到达点 C 时，P、 Q 都停止运动设点 P 运动的时间为 t 秒（1）当 P 异于 A、C 时，请说明 PQ/BC；（2）以 P
34、 为圆心、PQ 长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t 为怎样的值时，P 与边 BC 分别有 1 个公共点和 2 个公共点？ 1.8 因动点产生的线段和差问题 40 面直角坐标系中，已知点 A(2,0) ，B(0,4)，点 E 在 OB 上，且OAEOBA（1）如图 1，求点 E 的坐标；（2）如图 2，将AEO 沿 x 轴向右平移得到AEO，连结 AB、BE设 AAm，其中 0m 2，使用含 m 的式子表示 AB2BE 2，并求出使 AB2BE 2 取得最小值时点 E的坐标；当 ABBE取得最小值时，求点 E的坐标（直接写出结果即可） 图 1 图 241.平面直角坐标系中，抛物线 yax
35、2bxc 经过 A(2, 4 )、O(0, 0) 、B(2, 0)三点（1）求抛物线 yax 2bxc 的解析式；（2）若点 M 是该抛物线对称轴上的一点，求 AMOM 的最小值图 1第二部分 函数图象中点的存在性问题2.1 由比例线段产生的函数关系问题 42.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点 A 的坐标为 (0,4)，点 B 的坐标为(4,0)，点 C的坐标为(4,0)，点 P 在射线 AB 上运动，连结 CP 与 y 轴交于点 D，连结 BD过P、D、B 三点作 Q，与 y 轴的另一个交点为 E，延长 DQ 交Q 于 F，连结 EF、BF（1）求直线 AB 的函数解析式；（2）当点
36、P 在线段 AB（不包括 A、B 两点）上时求证：BDEADP；设 DEx，DFy，请求出 y 关于 x 的函数解析式；（3）请你探究：点 P 在运动过程中，是否存在以 B、D、F 为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为 21？如果存在，求出此时点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由 43.在 RtABC 中，C90，AC6， ， B 的半径长为 1，B 交边 CB 于53sin点 P，点 O 是边 AB 上的动点（1）如图 1，将B 绕点 P 旋转 180得到M，请判断 M 与直线 AB 的位置关系；（2）如图 2，在（1）的条件下，当OMP 是等腰三角形时，求 OA 的长； （3）如图
37、3，点 N 是边 BC 上的动点，如果以 NB 为半径的N 和以 OA 为半径的O 外切，设 NBy，OAx，求 y 关于 x 的函数关系式及定义域图 1 图 2 图 344.如图 1，甲、乙两人分别从 A、B 两点同时出发，点 O 为坐标原点甲沿 AO 方向、乙沿 BO 方向均以每小时 4 千米的速度行走，t 小时后，甲到达 M 点，乙到达 N 点（1）请说明甲、乙两人到达点 O 前，MN 与 AB 不可能平行；（2）当 t 为何值时，OMNOBA ？（3）甲、乙两人之间的距离为 MN 的长设sMN 2，求 s 与 t 之间的函数关系式，并求甲、乙两人之间距离的最小值 2.2 由面积产生的函
38、数关系问题 45.如图 1， ABC 是以 BC 为底边的等腰三角形，点 A、C 分别是一次函数的图像与 y 轴、x 轴的交点，点 B 在二次函数 的图像上，且34yx 218yxbc该二次函数图像上存在一点 D 使四边形 ABCD 能构成平行四边形（1）试求 b、c 的值，并写出该二次函数的解析式；（2）动点 P 从 A 到 D，同时动点 Q 从 C 到 A 都以每秒 1 个单位的速度运动，问：当 P 运动到何处时，由 PQAC ？当 P 运动到何处时，四边形 PDCQ 的面积最小？此时四边形 PDCQ 的面积是多少？图 1 46.如图 1，抛物线 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交
39、于点 C，联结2139yxBC、AC （1）求 AB 和 OC 的长；（2）点 E 从点 A 出发，沿 x 轴向点 B 运动（点 E 与点 A、B 不重合） ，过点 E 作 BC的平行线交 AC 于点 D设 AE 的长为 m，ADE 的面积为 s，求 s 关于 m 的函数关系式，并写出自变量 m 的取值范围；（3）在（2）的条件下，联结 CE，求CDE 面积的最大值；此时，求出以点 E 为圆心，与 BC 相切的圆的面积（结果保留 ） 图 147.如图 1，在 RtABC 中，C90，AC8，BC 6，点 P 在 AB 上，AP2点E、F 同时从点 P 出发，分别沿 PA、PB 以每秒 1 个单
40、位长度的速度向点 A、B 匀速运动，点 E 到达点 A 后立刻以原速度沿 AB 向点 B 运动，点 F 运动到点 B 时停止，点 E 也随之停止在点 E、F 运动过程中，以 EF 为边作正方形 EFGH，使它与ABC 在线段 AB 的同侧设 E、F 运动的时间为 t 秒(t0)，正方形 EFGH 与ABC 重叠部分的面积为 S （1）当 t1 时，正方形 EFGH 的边长是_；当 t3 时，正方形 EFGH 的边长是_；（2）当 1t2 时，求 S 与 t 的函数关系式；（3）直接答出：在整个运动过程中，当 t 为何值时，S 最大？最大面积是多少？图 148.如图 1，在平面直角坐标系中，四边
41、形 OABC 是平行四边形直线 l 经过 O、C 两点，点 A 的坐标为(8，0)，点 B 的坐标为(11，4) ，动点 P 在线段 OA 上从 O 出发以每秒 1 个单位的速度向点 A 运动，同时动点 Q 从点 A 出发以每秒 2 个单位的速度沿 ABC 的方向向点 C 运动，过点 P 作 PM 垂直于 x 轴，与折线 OCB 相交于点 M当 P、Q 两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点 P、Q 运动的时间为 t 秒（t0） ，MPQ 的面积为 S（1）点 C 的坐标为_ ，直线 l 的解析式为_ ；（2）试求点 Q 与点 M 相遇前 S 与 t 的函数关系式，并写出相应的 t
42、 的取值范围（3）试求题（2）中当 t 为何值时， S 的值最大？最大值是多少？图 149.如图 1，矩形 ABCD 中，AB6，BC ，点 O 是 AB 的中点，点 P 在 AB 的延长23线上，且 BP3一动点 E 从 O 点出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿 OA 匀速运动，到达 A 点后，立即以原速度沿 AO 返回；另一动点 F 从 P 点出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿射线 PA 匀速运动，点 E、F 同时出发，当两点相遇时停止运动，在点 E、F 的运动过程中，以 EF 为边作等边EFG，使EFG 和矩形 ABCD 在射线 PA 的同侧设运动的时间为 t 秒（t0） （1）当等
43、边EFG 的边 FG 恰好经过点 C 时，求运动时间 t 的值；（2）在整个运动过程中，设等边EFG 和矩形ABCD 重叠部分的面积为 S，请直接写出 S 与 t 之间的函数关系式和相应的自变量 t 的取值范围；（3）设 EG 与矩形 ABCD 的对角线 AC 的交点为H，是否存在这样的 t，使AOH 是等腰三角形？若存在，求出对应的 t 的值；若不存在，请说明理由 图 13.2 几何证明及通过几何计算进行说理问题51.已知二次函数 yx 2bxc 的图像经过点 P(0, 1)与 Q(2, 3)（1）求此二次函数的解析式；（2）若点 A 是第一象限内该二次函数图像上一点，过点 A 作 x 轴的
44、平行线交二次函数图像于点 B，分别过点 B、A 作 x 轴的垂线，垂足分别为 C、D ，且所得四边形 ABCD 恰为正方形求正方形的 ABCD 的面积；联结 PA、PD，PD 交 AB 于点 E，求证：PAD PEA52.某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：（1）操作发现：在等腰ABC 中，AB AC，分别以 AB、AC 为斜边，向 ABC 的外侧作等腰直角三角形，如图 1 所示，其中 DFAB 于点 F，EGAC 于点 G，M 是 BC 的中点，连结MD 和 ME，则下列结论正确的是_（填序号即可） AFAG ；MD ME；整个图形是轴对称图形；MDME2AB（2）数学思考：在任意ABC 中，分别以 AB、AC 为斜边，向ABC 的外侧作等腰直角三角形，如图 2 所示，M 是 BC 的中点，连结 MD 和 ME，则 MD 与 ME 有怎样的数量关系？请给出证明过程；（3）类比探究：在任意ABC 中，仍分别以 AB、AC 为斜边，向ABC 的内侧作等腰直角三角形，如图 3 所示，M 是 BC 的中点，连结 MD 和 ME，试判断MDE 的形状答：_图 1
