1、2009 年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数 学（理科） 注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上2每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号不能答在试题卷上参考公式：如果事件 ,AB互斥，那么 棱柱的体积公式()()PPVSh如果事件 ,相互独立，那么 其中 表示棱柱的底面积，h表 ()() 示棱柱的高棱锥的体积公式如果事件 A在一次试验中发生的概率是 p，那么 13VShn次独立重复试验中事件 恰好发生 k次的概率 其中 表示棱锥的底面积， h表()(1),(0,12
2、,)knknPCpn示棱锥的高球的表面积公式 棱台的体积公式24SR)(3121ShV球的体积公式 其中 S1、S 2 分别表示棱台的上、下底面积， 34Vh 表示棱台的高其中 R表示球的半径一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设 U， |0Ax， |1Bx，则 UAB( )A |01x B | C |0x D |1x2已知 ,ab是实数，则“ a且 b”是“ a且 b”的( )A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件3设 1zi（ 是虚数单位） ，则 2z( )A 1i B i
3、 C 1i D 1i4在二项式 25()x的展开式中，含 4x的项的系数是( )A 0 B 0 C D5在三棱柱 1AC中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点 D是侧面 1BC的中心，则 与平面 所成角的大小是( )A30 B45 C60 D906某程序框图如图所示，该程序运行后输出的 k的值是( )A 4 B 5 C 6 D 77设向量 a， b满足： |3a， |4b， 0a以 ， b， a的模为边长构成三角形，则它的边与半径为 1的圆的公共点个数最多为( )A 3 B 4 C 5 D 68已知 a是实数，则函数 ()sinfxax的图象不可能是( )9过双曲线21(0,)xyab的右顶点 A
4、作斜率为 1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为 ,BC若 12B，则双曲线的离心率是( )A 2 B 3 C 5 D 1010对于正实数 ，记 M为满足下述条件的函数 ()fx构成的集合： 12,xR且 2x，有 212121()()(xfxfx下列结论中正确的是( )A若 f， g，则 12)fgMB若 1()x， 2()x，且 (0x，则 12()fxC若 fM， g，则 )fgD若 1()x， 2()x，且 12，则 12()fx二、填空题11设等比数列 na的公比 q，前 n项和为 nS，则 4a 12若某几何体的三视图（单位： cm）如图所示，则此几何体的体积是 3cm1
5、3若实数 ,xy满足不等式组2,40,xy则 3xy的最小值是 14某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价该地区的电网销售电价表如下：高峰时间段用电价格表 低谷时间段用电价格表高峰月用电量（单位：千瓦时）高峰电价（单位：元/千瓦低谷月用电量（单位：千瓦时）低谷电价（单位：元/千瓦时） 时）50 及以下的部分 0568 50 及以下的部分 0288超过 50 至 200 的部分0598 超过 50 至 200 的部分 0318超过 200 的部分 0668 超过 200 的部分 0388若某家庭 5 月份的高峰时间段用电量为 2千瓦时，低谷时间段用电量为 1千瓦时，则按这种计费方
6、式该家庭本月应付的电费为 元（用数字作答） 15观察下列等式：1532C，9739，1515332，971777C，由以上等式推测到一个一般的结论：对于 *nN， 15941414nnnC 16甲、乙、丙 3人站到共有 7级的台阶上，若每级台阶最多站 2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是 （用数字作答） 17如图，在长方形 ABCD中， 2， 1B， E为 D的中点， F为线段 EC（端点除外）上一动点现将 F沿 A折起，使平面 A平面 B在平面内过点 作 K， 为垂足设 Kt，则 的取值范围是 三、解答题：本大题共 5 小题，共 72 分解答应写出文字说明、证明过程或演算
7、步骤18在 ABC中，角 ,所对的边分别为 ,abc，且满足 25osA， 3（I）求 的面积；（II）若 6bc，求 a的值2009042319在 1,23,9 这 个自然数中，任取 3个数（I）求这 个数中恰有 1个是偶数的概率；（II）设 为这 个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为 1,23，则有两组相邻的数1,2和 3，此时 的值是 2） 求随机变量 的分布列及其数学期望 E20如图，平面 PAC平面 B， AC是以 为斜边的等腰直角三角形， ,EFO分别为 、 、 的中点， 16， 10P（I）设 G是 O的中点，证明： /FG平面 BOE；（II）证明：在 内存在一点 M，使
8、平面 ，并求点 M到 A， B的距离200904232009042321 （本题满分 15 分）已知椭圆 1C：21(0)yxab的右顶点为 (1,0)A，过 1C的焦点且垂直长轴的弦长为 （I）求椭圆 1的方程；（II）设点 P在抛物线 2： 2()yxhR上， 2C在点 P处的切线与 1交于点,MN当线段 A的中点与 MN的中点的横坐标相等时，求 h的最小值22 （本题满分 14 分）已知函数 322()(1)5fxkx，2()1gxkx，其中 R（I）设函数 ()()pfgx若 ()p在区间 (0,3)上不单调，求 k的取值范围；（II）设函数 ,0.qxf 是否存在 k，对任意给定的非
9、零实数 1x，存在惟一的非零实数 2（ 1） ，使得 21()qx成立？若存在，求 k的值；若不存在，请说明理由20090423200904232009 年浙江卷数学（理）答案一、选择题1B 2C 3 D 4B 5C 6A 7C 8D 9C 10C 二、填空题1115 1218 134 14 18. 15 41212nn 16336 17 1,2 三、解答题18 （I）因为 25cosA， 234cos1,sin5A.又由 3BC，得 3,bb， i2ABCSbc.（II）对于 5c，又 6c， 1c或 ,，由余弦定理得 22os20a， 5a.19 （I）记“这 3 个数恰有一个是偶数”为事
10、件 A，则124390()PC；（II）随机变量 的取值为 0,12的分布列为0 1 2P 5所以 的数学期望为 5120123E20 （I）如图，连结 OP，以 O 为坐标原点，分别以 OB、 OC、 OP 所在直线为 x轴、 y轴、z轴，建立空间直角坐标系 O xyz，则 0,(,80)(,)(0,8)OABC(,6)(0,43)PE,0F，200904232009042320090423由题意得， 0,4G因为 (8)(,3)OBE，所以平面 BOE 的法向量为 0,4n.由 (4,3F）得 F，又直线 G不在平面 内，因此有 /G平面 BOE.（II）设点 M 的坐标为 0,xy，则
11、0(4,3)Mxy.因为 F平面 BOE，所以有 /Fn，因此有 09,，即点 M 的坐标为 94,0，在平面直角坐标系 xoy中， AOB的内部区域满足不等式组08xy，经检验，点 M 的坐标满足上述不等式组，所以在 AB内存在一点 ，使 FM平面 E，由点 M 的坐标得点 到 OA， B的距离为 94,21 （I）由题意得 21,ba所求的椭圆方程为21yx，（II）不妨设 212(,)(,)(,),xyNPth则抛物线 2C在点 P 处的切线斜率为2xty，直线 MN 的方程为 yx，将上式代入椭圆 1的方程中，得24()40h，即 22214()()40tthxt.因为直线 MN 与椭
12、圆 1C有两个不同的交点，所以有 4216()0tth，设线段 MN 的中点的横坐标是 3x，则21()xth，设线段 PA 的中点的横坐标是 4，则 412tx，由题意得 3x，即有 ()0tht，其中的 22(1)40,1h或 3h；20090423当 3h时有 20,4h，因此不等式 216()40tt不成立；因此 ，当 时代入方程 1t得 1t，将 ,ht代入不等式 4216()40h成立，因此 的最小值为 122 （I）因为 32()()()(5)1Pxfgxkx，所以 235pk.又 ()在区间 (0,)上不单调，所以 0p在 ,3上有实数解，且无重根.由 x得 21(3),xx2
13、(35)9143k，令 1,tx有 ,7t，记 (),htt则 h在 3上单调递减，在 3,上单调递增.所以有 6,10t，于是 9216,10x，得 5,2k.而当 2k时有 p在 ,3上有两个相等的实根 x，故舍去.所以 5,；（II）当 0x时有 2(1)5qxfxk；当 时有 g，因为当 0时不合题意，因此 0k.下面讨论 k的情形，记 A (,)，B= ,.（）当 10x时， qx在 0上单调递增，所以要使 21成立，只能 2x且 A，因此有 5k.（）当 1时， 在 ,上单调递减，所以要使 21qx成立，只能 20且 B，因此 .综合（） （） 5k.当 5k时 A=B，则 110,qxA，即 2,x使得 21qx成立，因为 qx在 ,上单调递增，所以 2的值是唯一的；20090423同理， 10x，即存在唯一的非零实数 21()x，要使 2q成立，所以 5k满足题意
