1、比较图形的面积潍坊市奎文区幸福街小学 郑 旭（此文由幸福街小学潘丽老师整理）【教学内容】北师大版小学数学五年级上册 P16-17 的内容【教学目标】1通过观察、交流等活动，帮助学生积累研究图形的经验，使学生掌握比较图形面积大小的基本方法。2让学生在操作活动中，经历随机性到条理性的发现过程，体验学习数学的乐趣。【教学重、难点】重点：帮助学生积累图形研究的经验，得出并掌握比较图形面积小的方法。会用不同的方法去比较图形的面积大小难点：如何调动学生已有的经验，如何利用学生已有的知识基础和经验基础引发学生反思，进行经验的迁移，促进智慧生成。【教具准备】课件、方格纸、报告单等【教学过程】一、调动经验，激起
2、兴趣师：同学们，你们喜欢玩俄罗斯方块的游戏吗？生齐答：喜欢。师：谁能说说，为什么喜欢？生：提高我们的思维活跃力，锻炼我们的反应能力。师：谁能说一说游戏具体怎么玩的？生：里面有很多方块拼起来，拼成一层一层的，然后慢慢的削掉。师：哦，每一次出现一个图形都需要我们快想，怎么变怎么放，把它放在哪，锻炼我们的脑力。老师也很喜欢这个游戏，今天带来了一组图形，请同学们看一下。放大屏幕师：这些图形很像俄罗斯方块，今天我们就用数学的眼光来观察一下，这些图形的面积大小有什么关系吗？生：它们的面积都是相同的。师：她一句话就概括了，真棒，请坐。是怎么知道的？生：一格一格数出来的。师：很好，数格子是一个根本大法，我们很
3、多时候要用到数的方法。板书数格子师：老师有一个不明白的，这 7 号怎么数啊？生：两个半格算一个整格。师：你的意思是把这两个半格算一个整格。好，请坐。她说到的这个是我们以后学习几何时经常要用到的方法，你知道是什么方法吗？生：组合？师：我们来看，你是把这边的半格怎么样？生齐答：切掉，然后再移到那边。师：这就是我们以后研究几何图形当中经常要用到的一种方法割 补 法，转化成其它图形。板书：割补转化师？我们来验证一下刚才的回答是否正确。屏幕演示俄罗斯方块图。师：图 1 跟图 4 的面积相等吗？生齐答：相等。师：它们两个怎么样了？生齐答：重合。师：这也是研究图形的一个方法，你给它起个名字。生猜测：重合法？
4、重叠法？板书：重叠法师：不管是数格子、重叠法、割补转化法，我们都可以证明这些图形的面积是？生齐答：相等的。板书：面积相等。师：我们通过把图 1 和图 4 重叠，我们发现这两个图形是完全相同的，既然完全相同，那么面积？生齐答：面积相等。板书：完全相同。师：完全相同指大小、形状完全相同，那么面积一定是相等的。接着看，这叫割补转化，转化以后跟谁一样了？生齐答：跟图 4 一样。屏幕演示图 2 图 5师：看图 2 和图 5 是什么图形？生齐答：对称图形。师：对称图形的面积？生齐答：面积相等。师：我们再来看图 3 和图 6生齐答：完全重叠。师：其实所有的图形我们都可以归结为一个图形，来看图 4 ，跟谁一样
5、？屏幕演示图 4 的变化过程。生齐答：图 9师：看图 6。屏幕演示图 6 的变化过程。生齐答：跟图 8 相同。师：所有的图像都可以归结为这样的形状，所以我们的结论是？生：图 1、2、3、4、5、6、7、8、9 的面积是相等的。屏幕显示：=师：看老师这里的记录方式，过会你也可以采用老师这样的方式记录。师：刚才几个图，我们只是热热身，一会还有更复杂的图呢，我们这节课重点是研究这些图形，有没有信心？生齐答：有！师：好，那我们来看。二、独立思考，初步探究屏幕展示师：这里面都有哪些图形？生：1、2、3、4、5、6、号图形都是三角形。师：他把三角形都找到了。生：7、8 号图形都是平行四边形。师：真棒，他又
6、找到了平行四边形，谁能一次多说点？生：12 号是长方形，14 号是梯形。师：我发现 9、10、11 号图形没有人说。生着急说：是不规则的。师：嗯，可以叫它们不规则图形。根据我们研究俄罗斯方块的体验，你能找出这些图形的面积大小有什么关系吗？请同学们独立思考 5 分钟，完成报告单。你的发现就是你的结论，方法在黑板上有，你的理由就写是面积相等或是完全相同，清楚了吗？生：清楚了。老师巡视指导。表扬简洁的记录方式。5 分钟后师：同学们，老师看到了你们思考的印记，现在大部分同学能完成两到三个结论，接下来我们小组内讨论一下。三、小组合作，整合反思师：首先看一下小组内大多数同学都有的结论，就在这个结论前面打上
7、对号；如果跟别人不一样，首先思考这个结论是否正确，要是正确就补充在报告单的下面，然后除了这些，你还能得出更多的结论吗？再给大家 5 分钟。小组讨论，老师巡视指导。5 分钟后师：请同学们迅速坐好。你们还是在继续思考着，可能还有一些是你们认为两个图形面积相等，但还没有拿出论证的，我们一会再来研究。现在来汇报一下刚才讨论的结果，先汇报大多数同学都能发现的那些结论。小组 1：我们的发现是，图 11 和图 12 的面积相等，方法是割补转化法，理由是面积相同。师：同意的点点头。这个结论是你们 4 个人都发现了的吗？小组 1：是的。小组 2：图 1 和图 3 的面积相等，方法是数格子，理由是完全相同。师：这
8、是你们小组共同发现的，很好。小组 3：我们的发现是 9+10=12，方法是割补转化法，理由是面积相等。师：割了吗？没有割，可以说是拼接，结论是正确的，不错。哪些结论是你们一开始最先发现的？小组 4：我们的发现是图 5、图 6、图 2 的面积相等，方法是数格子，理由是它们的大小相等，面积相同。师：哦，他们发现了图 2、图 5、图 6 的面积都是相等的，可能有的同学只发现了图 2 和图 5 的面积相等，或图 5 和图 6 的面积相等。还有你们小组最初都发现的结论吗？小组 5:5+6=8，用的是重合法，理由是面积相等。板书：11=121=3 5=6=2 9+10=125+6=8师：没有举手的了，看来
9、你最初独立思考完成的就是这些，后来通过你的交流还有更多的结论，我们先来看一下这些结论。老师刚才在下面转的时候发现，最初同学们都能找到图 1 的面积等于图 3的面积，还有很多同学发现了图 5 的面积、图 6 的面积还有图 2的面积是相等的，因为这些图形是单个的比较简单的，同学们能从简单的入手，这样很好。大屏幕展示这些结论。师：图 1 和图 3 通过重叠法发现面积相等，你还有其他方法吗？可以数吗?怎么数？生：数格子，先数整的，两个半格为一格，一个 4 个半格。生：可以用脑力数。师：可以用脑子来数，用脑子怎么数，你来介绍一下。生：把图 3 与它面积相同的三角形组成一个正方形，图 3 面积就是正方形的
10、一半，用正方形的格子数除以 2 就是图 3 占几个格子了。师：方法真好，你太棒了，都会用脑子数了，我们给他掌声。我们一起来看一下。屏幕展示图 3 脑数的过程。师：我们一起来看一下，跟老师的方法是一样的。给图 3 添加辅助线，这叫辅助线，在几何里经常会用到，根据你的需要有时候在图形里面加，有时候在图形外面加，我们要学会加辅助线的方法。加上辅助线后，图 3 变成了正方形，格子好数吧。生：9 个格子。师：三角形呢？生：4 个半。师：你们反应真快。图 2，谁能马上来数出？生：6 个师：你怎么知道是 6 个的？生：图 2 加上辅助线面积是 12 个格子，12 除以 2，三角形是占 6 个格子。师：很好，
11、这就是脑数的方法。刚才我们在同学的提示下还学会了脑数的方法，非常好的方法。四、集体交流，深化思考师：这些结论都是小组内最初发现的，通过小组的讨论、碰撞，还发现了哪些结论？生：1+3=7，用的是割补转化法，理由是面积相同。师：能具体说一下怎么割补转化的吗？生：先把 1 和 3 合起来拼成一个正方形，再把 7 上面的三角形割下来补到下面也拼一个正方形，这样面积就相等了。师：这样可以，还有吗？生：图 4 和图 7 的面积相等，方法是数格法，理由是面积相等。师：我们看一下，同意吗？有的同学很会学习，现在正在往记录卡上加，不过还不着急，一会有时间。还有其他结论吗？生：1+3=4，方法是结合法，理由是面积
12、完全相同。师：图 4 的面积和图 7 的面积相等,图 1 的面积和图 3 的面积合起来跟图 4 的面积相等，可以合起来说 1+3=7=4。（板书）还有结论吗？生：12=13，数格法，面积相同。师：板书，面积相等吗？打上问号，一会研究。还有其他结论吗？生：8=12，我用的方法是割补转化法，理由是面积相等。（板书）师：这个结论是否正确也打问号。生：9+10=11，方法是割补转化，将 9 和 10 从中间切口加起来，面积正好等于 11。师：刚才有个结论是 9+10=12，现在又证明了 9+10=11，谁能说一个完整的结论？生：9+10=12=11师：老师添上等于 11 就可以了。还有吗？生：1+2+
13、3=13（板书）师：发现这个结论的同学举手，看来不多，也是我们的疑惑点，我们打一个问号。五、批判建构师：同学们真棒找到这么多结论，那边结论是我们都认可的没有问题，打着问号的 3 个结论是同学们迷惑的地方，（指有疑惑的结论8=12，12=13，1+2+3=13）老师再给大家 5 分钟的时间，重点研究这 3 个结论，论证一下到底成不成立，你可以在图上画一画、标一标，下面小组讨论。小组讨论，老师巡视指导。师：不同的小组论证了不同的结论，哪个小组来说一下。小组 1（投影展示）：我们论证 12=13 是错的，把左边的角移不到右边角。师：你们认为移不过去，所以图 12 的面积和图 13 的面积不相等，有意
14、见不相同的吗？小组 2：我认为图 12 和图 13 的面积是相等的，通过数格子，图 13 有15 个格子，图 12 也有 15 个格子。师：有不同意见的吗？生（投影展示）：我用数格子的方法，把图 13 做上辅助线，共有 28个格子，图 13 就有 14 个格子。所以 12=13 的结论是不对的。师：同意吗？生：同意。师：同学们考虑一下，加辅助线是为了什么。加辅助线后的图形面积是原图形的两倍才除以 2，可这个加辅助线后图形是原图形的两倍吗？生：不是。师：不是就不能除以 2 了。我们一起来看图 12 和图 13，无论怎么割怎么补，都不能割补成相同的图形。至于数格子，我们一起看一下。图 12 有 1
15、5 格，图 13 呢？我们共同来数一下。（通过投影演示过程）左边三角形是？生齐答：4 个半。师：右边三角形是？生齐答：1 个半。一共是 6 个。师：加上中间的正方形（9 个）。生齐答：一共是 15 个。师：那图 12 和 13 的面积？生：面积是相等的。师：老师知道大家的疑惑了，总是想把两个图形转变成一模一样的才认为面积相等。虽然这两个图形不能割补转化为形状完全相同的图形，但是图 13 和图 12 都含有 15 个格子，说明它们都含有 15个面积单位，它们的面积就是相等的，当其他的方法都不适合时，数格子就是根本大法。那么图 12 和图 13 的面积相等吗？生：相等。师：有论证下面的结论的吗？小
16、组 2：我们论证的图 8 的面积不等于图 12 的面积。（投影演示）把图 8 左边的三角形移到右边，是 4 列 3 行，共 12 个格子。而图 12 有 15 个格子，所以图 8 的面积不等于图 12 的面积。师：同学们都得了这个结论，请回，掌声鼓励。8=12 的结论是错误的，我们也要感谢提出错误结论的同学，科学就是从错误中论证出来的，我们来感激他。还有？找没回答问题的小组。小组 3：我们论证的是 1+2+3=13。我们用数格子的办法，（加辅助线，将图 13 分成 3 个三角形）发现左边两个三角形的格子数与图 1、图 2 相等，都是 4 个半，右边的三角形的格子数与图 2 是相同的，都是 6
17、个格子，所以得出结论 1+2+3=13。师：他们将图 13 已经分割了，可以不用数格子，（投影画出图 13 的三个三角形分别与图 1、2、3 形状相同），这样就可以论证结论正确了。有的同学结论与他们的相同但是论证方法不同，因为时间关系我们先说到这里，回去以后可以再交流一下。六、总结提升师通过板书总结：通过学习我们学会了比较面积的这些方法，同学们也能自如的运用这些方法论证了这些图形的面积是相等的。当然这些结论不是每个同学都发现的，是集大家的智慧发现的。老师还想给大家留个作业，你们回去在思考一下，把报告单补充完整，通过这节课的学习，你会发现更多的结论。还有一张作业纸，你是不是发现（教师指着题）很简单了呢？那就回去完成吧。正准备下课时，一个学生举手，教师叫起她生：既然 1+2+3=13，12=13，那么 1+2+3=13=12。教师激动的补充板书 1+2+3=13=12师：既然这样，结论还可以再写。学生发表观点。师：留给我们后面无尽的思考。带着这种思考，我们下课!【板书设计】比较图形的面积11=12 数格子 面积相等1=3 重叠法 5=6=2 割补转化法 完全相同9+10=12=115+6=8 12=13 1+3=7=4 8=12 1+2+3=13
