1、1第一章 事件与概率1.1 写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。(1)10 件产品中有 1 件是不合格品，从中任取 2 件得 1 件不合格品。(2)一个口袋中有 2 个白球、3 个黑球、4 个红球，从中任取一球，()得白球，()得红球。解 (1)记 9 个合格品分别为 ，记不合格为次，则921,正正正 ，)()(913121 次正正正正正正正 ，)()()() 292423 次正正正正正正正 343 次正正正正正 988次正次正正正A)次正 次正 次正(2)记 2 个白球分别为 ， ，3 个黑球分别为 ， ， ，4 个红球分别121b23为 ， ， ， 。则 ， ， ， ，
2、， ， ， ， 1r34r1b23rr() ， () ， ， ， A12Br41.2 在数学系的学生中任选一名学生，令事件 A 表示被选学生是男生，事件 B 表示被选学生是三年级学生，事件 C 表示该生是运动员。(1) 叙述 的意义。C(2)在什么条件下 成立？AB(3)什么时候关系式 是正确的？(4) 什么时候 成立？解 (1)事件 表示该是三年级男生，但不是运动员。C(2) 等价于 ，表示全系运动员都有是三年级的男生。ABAB(3)当全系运动员都是三年级学生时。(4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时。1.3 一个工人生产了 个零件，以事件 表示他生产的第 个零件是合格品ni i
3、（ ） 。用 表示下列事件：ni1iA(1)没有一个零件是不合格品；(2)至少有一个零件是不合格品；(3)仅仅只有一个零件是不合格品；(4)至少有两个零件是不合格品。解 (1) ; (2) ; (3) ;niA1niiA1niijA1)(2(4)原事件即“至少有两个零件是合格品” ，可表示为 ；njijiA1,1.4 证明下列各式：(1) ;AB(2) (3) ;C)()(4) BA(5) )()()(CB(6) nii1证明 （1）（4）显然， （5）和（6）的证法分别类似于课文第 1012 页（1.5）式和(1.6)式的证法。1.5 在分别写有 2、4、6、7、8、11、12、13 的八张
4、卡片中任取两张，把卡片上的两个数字组成一个分数，求所得分数为既约分数的概率。解 样本点总数为 。所得分数为既约分数必须分子分母或为8A7、11、13 中的两个，或为 2、4、6、8、12 中的一个和 7、11、13 中的一个组合，所以事件 “所得分数为既约分数”包含 个样本点。6321532A于是。1497832)(AP1.6 有五条线段，长度分别为 1、3、5、7、9。从这五条线段中任取三条，求所取三条线段能构成一个三角形的概率。解 样本点总数为 。所取三条线段能构成一个三角形，这三条线段05必须是 3、5、7 或 3、7、9 或多或 5、7、9。所以事件 “所取三条线段能构A成一个三角形”
5、包含 3 个样本点，于是 。103)(P1.7 一个小孩用 13 个字母 作组字游戏。如TNMIHECA,果字母的各种排列是随机的（等可能的） ，问“恰好组成“MATHEMATICIAN”一词的概率为多大？解 显然样本点总数为 ，事件 “恰好组成“MATHEMATICIAN”包含!13个样本点。所以!23 !482)(AP31.8 在中国象棋的棋盘上任意地放上一只红“车”及一只黑“车” ，求它们正好可以相互吃掉的概率。解 任意固定红“车”的位置，黑“车”可处于 个不同位置，8910当它处于和红“车”同行或同列的 个位置之一时正好相互“吃掉” 。1789故所求概率为 8917)(AP1.9 一幢
6、 10 层楼的楼房中的一架电梯，在底层登上 7 位乘客。电梯在每一层都停，乘客从第二层起离开电梯，假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的，求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率。解 每位乘客可在除底层外的 9 层中任意一层离开电梯，现有 7 位乘客，所以样本点总数为 。事件 “没有两位及两位以上乘客在同一层离开”相当于79A“从 9 层中任取 7 层，各有一位乘客离开电梯” 。所以包含 个样本点，于是79A。7)(AP1.10 某城市共有 10000 辆自行车，其牌照编号从 00001 到 10000。问事件“偶然遇到一辆自行车，其牌照号码中有数字 8”的概率为多大？解 用 表示“牌照号码
7、中有数字 8”，显然 ，所以A 44109)(AP-1)(P4410910)(1.11 任取一个正数，求下列事件的概率：(1)该数的平方的末位数字是 1；(2)该数的四次方的末位数字是 1；(3)该数的立方的最后两位数字都是 1；解 (1) 答案为 。51(2)当该数的末位数是 1、3、7、9 之一时，其四次方的末位数是 1，所以答案为 2104(3)一个正整数的立方的最后两位数字决定于该数的最后两位数字，所以样本空间包含 个样本点。用事件 表示“该数的立方的最后两位数字都是 1”，2A则该数的最后一位数字必须是 1，设最后第二位数字为 ，则该数的立方的最后a两位数字为 1 和 3 的个位数，
8、要使 3 的个位数是 1，必须 ，因此 所包aa7A含的样本点只有 71 这一点，于是。1.12 一个人把 6 根草掌握在手中，仅露出它们的头和尾。然后请另一个人把 6 个头两两相接，6 个尾也两两相接。求放开手以后 6 根草恰好连成一个环4的概率。并把上述结果推广到 根草的情形。n2解 (1)6 根草的情形。取定一个头，它可以与其它的 5 个头之一相接，再取另一头，它又可以与其它未接过的 3 个之一相接，最后将剩下的两个头相接，故对头而言有 种接法，同样对尾也有 种接法，所以样本点总数为135 15。用 表示“6 根草恰好连成一个环” ，这种连接，对头而言仍有2)135(A种连接法，而对尾而
9、言，任取一尾，它只能和未与它的头连接的另 4 根草的尾连接。再取另一尾，它只能和未与它的头连接的另 2 根草的尾连接，最后再将其余的尾连接成环，故尾的连接法为 。所以 包含的样本点数为4A，于是)24(135 158)35(2)AP(2) 根草的情形和(1)类似得n1.13 把 个完全相同的球随机地放入 个盒子中（即球放入盒子后，只能N区别盒子中球的个数，不能区别是哪个球进入某个盒子，这时也称球是不可辨的） 。如果每一种放法都是等可能的，证明(1)某一个指定的盒子中恰好有 个k球的概率为 ，nNk12nk0(2)恰好有 个盒的概率为 ，mnNm11Nn(3)指定的 个盒中正好有 个球的概率为
10、，j njmj1.0,1Njm解 略。1.14 某公共汽车站每隔 5 分钟有一辆汽车到达，乘客到达汽车站的时刻是任意的，求一个乘客候车时间不超过 3 分钟的概率。解 所求概率为 )(AP1.15 在 中任取一点 ，证明 的面积之比大于 的BCABCP与 n1概率为 。21n解 截取 ，当且仅当点 落入 之内时 的面Dn ABCP与5积之比大于 ，因此所求概率为n1 2)(CDABP的 面 积有 面 积 21n。21.16 两艘轮船都要停靠同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达。设两船停靠泊位的时间分别为 1 小时与两小时，求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率。解 分别用 表示第一、二
11、艘船到达泊位的时间。一艘船到达泊位时必须yx,等待当且仅当 。因此所求概率为0,20xy1.4312)(2AP1.17 在线段 上任取三点 ，求：B32,x(1) 位于 之间的概率。2x31x与(2) 能构成一个三角形的概率。,A解 (1) (2) 3)(P213)(BP1.18 在平面上画有间隔为 的等距平行线，向平面任意地投掷一个三角形，d该三角形的边长为 （均小于 ） ，求三角形与平行线相交的概率。cba,解 分别用 表示三角形的一个顶点与平行线相合，一条边与平行线321A相合，两条边与平行线相交，显然 所求概率为 。分别.0)(21AP)(3AP用 表示边 ，二边 与平行线相交，则bc
12、acbaA, c,bca, 显然 ， ，).(P)(aAP)(cb)(bca。所以)c(bcac 213A)a)(bc)(2cbad)(1cbad（用例 1.12 的结果）1.19 己知不可能事件的概率为零，现在问概率为零的事件是否一定为不可能事件？试举例说明之。解 概率为零的事件不一定是不可能事件。例如向长度为 1 的线段内随机投6点。则事件 “该点命中 的中点”的概率等于零，但 不是不可能事件。ABA1.20 甲、乙两人从装有 个白球与 个黑球的口袋中轮流摸取一球，甲先ab取，乙后取，每次取后都有不放回，直到两人中有一人取到白球时停止。试描述这一随机现象的概率空间，并求甲或乙先取到白球的概
13、率。解 表示白， 表示黑白， 表示黑黑白， ，123白黑黑表 示 个 bb1则样本空间 ， ， ，并且 ，121baP)(， ，)(2baP 2)(3 aP)1()2(1 ibii abaPb)(!)(1甲取胜的概率为 + + +1P(3)(5P乙取胜的概率为 + + +)(2)461.21 设事件 及 的概率分别为 、 及 ，求 ， ，BA,pqr)(ABP)(，)(BAP)(解 由 得)()(ABPrqpBP)()(，AP)( pr)(r11)()(1.22 设 、 为两个随机事件，证明：12(1) ;)()()( 2121APAP(2) .)() 2121 AP证明 (1) =)(21
14、)(21)()(1212APAP(2) 由(1)和 得第一个不等式，由概率的单调性和半可加性分07别得第二、三个不等式。1.23 对于任意的随机事件 、 、 ，证明：ABC)()(APBCAP证明 )()() PACB()()(1.24 在某城市中共发行三种报纸：甲、乙、丙。在这个城市的居民中，订甲报的有 45%，订乙报的有 35%，订丙报的有 30%，同时订甲、乙两报的有10%，同时订甲、丙两报的有 8%，同时订乙、丙两报的有 5%，同时订三种报纸的有 3%，求下述百分比：(1)只订甲报的；(2)只订甲、乙两报的；(3)只订一种报纸的；(4)正好订两种报纸的；(5)至少订一种报纸的；(6)不
15、订任何报纸的。解 事件 表示订甲报，事件 表示订乙报，事件 表示订丙报。ABC(1) = =30%)()(ACPCB)(ABP(2) %7(3) %23)()()()( BA0() ABCPACPBCP+ + = + + =73%()()()(4) A 14(5) %90)(CBP(6) %109)(11.26 某班有 个学生参加口试，考签共 N 张，每人抽到的考签用后即放回，n在考试结束后，问至少有一张考没有被抽到的概率是多少？解 用 表示“第 张考签没有被抽到” ， 。要求 。iAi i,21)(1NiAP， ，niNP1)( njiNP2)( 0)(1nNAPiiA1 n)1(8，nNi
16、ji NAP2)(1 nN2)1(2所以niii i11)()(1.27 从 阶行列式的一般展开式中任取一项，问这项包含主对角线元素的n概率是多少？解 阶行列式的展开式中，任一项略去符号不计都可表示为 ，niia21当且仅当 的排列 中存在 使 时这一项包含主对角线元素。n,21 )(21ni ki用 表示事件“排列中 ”即第 个主对角线元素出现于展开式的某项中。kAk则，ninPi 1!)()( )1(!)2)( njinAPji 所以 !)()(111 iiAniiNi 1.29 已知一个家庭中有三个小孩，且其中一个是女孩，求至少有一个男孩的概率（假设一个小孩是男孩或是女孩是等可能的） 。
17、解 用 分别表示男孩和女孩。则样本空间为：gb, ),(,),(,),(,)( gbgbgb其中样本点依年龄大小的性别排列。 表示“有女孩” ， 表示“有男孩” ，则AB768/)(|(APB1.30 设 件产品中有 件是不合格品，从中任取两件，Mm(1)在所取产品中有一件是不合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概率。(2) 在所取产品中有一件是合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概率。解（1）设 表示“所取产品中至少有一件是不合格品” ， 表示“所取产A B品都是不合格品” ，则 21)(MmP2)(MmP)()(|(ABABP1(2)设 表示“所取产品中至少有一件合格品” ， 表示“所
18、取产品中有一CD9件合格品，一件不合格品” 。则21)(MmCP21)(MmDP)()()|(CD11.31 个人用摸彩的方式决定谁得一张电影票，他们依次摸彩，求：n(1)已知前 个人都没摸到，求第 个人摸到的概率；1k)(nk(2)第 个人摸到的概率。解 设 表示“第 个人摸到” ， 。iAi ni,21(1) )()|(1kknPkk(2) )k(1kA nn1121.32 已知一个母鸡生 个蛋的概率为 ，而每一个蛋能孵化成)0(!ek小鸡的概率为 ，证明：一个母鸡恰有 个下一代（即小鸡）的概率为pr。re!)(解 用 表示“母鸡生 个蛋” ， 表示“母鸡恰有 个下一代” ，则kAkBr)
19、|()(krkkABPBP rkrrkpe)1(!rkkrpep)!(1! )1(!prepr!)(1.33 某射击小组共有 20 名射手，其中一级射手 4 人，二级射手 8 人，三级射手 7 人，四级射手一人，一、二、三、四级射手能通过选拔进入决赛的概率分别是 0.9、0.7、0.5、0.2，求在一组内任选一名射手，该射手能通过选拔进入决赛的概率。解 用 表示“任选一名射手为 级” ， ， 表示“任选一名射kAk4,321B10手能进入决赛” ，则 )|()(41kkkABPBP65.025.027.89.0241.34 在某工厂里有甲、乙、丙三台机器生产螺丝钉，它们的产量各占25%，35%
20、，40%，并在各自的产品里，不合格品各占有 5%，4%，2%。现在从产品中任取一只恰是不合格品，问此不合格品是机器甲、乙、丙生产的概率分别等于多少？解 用 表示“任取一只产品是甲台机器生产”1A表示“任取一只产品是乙台机器生产” 2表示“任取一只产品是丙台机器生产” 3表示“任取一只产品恰是不合格品” 。B则由贝叶斯公式：6925)|()|(3111kkAPAP 6928)|()|(3122kkABP)|()|(313kkB1.35 某工厂的车床、钻床、磨床、刨床的台数之比为 9:3:2:1，它们在一定时间内需要修理的概率之比为 1:2:3:1。当有一台机床需要修理时，问这台机床是车床的概率是
21、多少？解 则 ， ， ，159)(AP153)(2152)(3AP15)(4， ， ，7|B7|B7|B7|AB由贝时叶斯公式得 29)|()|(4111kk1.36 有朋友自远方来访，他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是0.3、0.2、0.1、0.4。如果他乘火车、轮船、汽车来的话，迟到的概率分别是、 、 ，而乘飞机不会迟到。结果他迟到了，试问他是乘火车来的概率是4132多少？解 用 表示“朋友乘火车来” ， 表示“朋友乘轮船来” ， 表示“朋友1A2A3A乘汽车来” ， 表示“朋友乘飞机来” ， 表示“朋友迟到了” 。4 B11则 21)|()|(411kkABPAP1.37 证明：若
22、三个事件 、 、 独立，则 、 及 都与 独CBAC立。证明 （1） )()()()( P= PBA（2） )()()(CAPC（3） =( B )(CPA1.38 试举例说明由 不能推出 一)()(PB )(B定成立。解 设 ， ， ，,54321641)(6418)(5， ， ，)(2P)(3P,21A,31则 ，,41A(CBA)641)()( PBC但是 (1P1.39 设 为 个相互独立的事件，且 ，求nA,2 )1()(nkpAk下列事件的概率：(1) 个事件全不发生；n(2) 个事件中至少发生一件；(3) 个事件中恰好发生一件。解 (1) nkkknk pAPn111 )()()
23、(2) nkknknkP111 )()()(3) .)1(111 nkjjnkjkjknkkjj pAA 121.40 已知事件 相互独立且互不相容，求 （注：BA, )(,minBPA表示 中小的一个数） 。),min(yx,解 一方面 ，另一方面 ，即0)(,P0)()(中至少有一个等于 0，所以)(,BPA .0),(inBPA1.41 一个人的血型为 型的概率分别为O,0.46、0.40、0.11、0.03，现在任意挑选五个人，求下列事件的概率(1)两个人为 型，其它三个人分别为其它三种血型；O(2)三个人为 型，两个人为 型；A(3)没有一人为 。B解 (1)从 5 个人任选 2 人
24、为 型，共有 种可能，在其余 3 人中任选一人25为 型，共有三种可能，在余下的 2 人中任选一人为 型，共有 2 种可能，另A B一人为 型，顺此所求概率为： B 0168104.6.032(2) 157.04.6.0352(3) 8.).1(51.42 设有两门高射炮，每一门击中目标的概率都是 0.6，求同时发射一发炮弹而击中飞机的概率是多少？又若有一架敌机入侵领空，欲以 99%以上的概率击中它，问至少需要多少门高射炮。解 用 表示“第 门高射炮发射一发炮弹而击中飞机” ， ， 表kA ,21kB示“击中飞机” 。则 ， 。6.0)(kP,21(1) 84.0.1(221 A(2) , 9
25、1)()1 nnknA 026.54lg1.取 。至少需要 6 门高射炮，同时发射一发炮弹，可保证 99%的概率击6n中飞机。1.43 做一系列独立的试验，每次试验中成功的概率为 ，求在成功 次之pn前已失败了 次的概率。m解 用 表示“在成功 次之前已失败了 次” ， 表示“在前 次AnmB1m试验中失败了 次” ， 表示“第 次试验成功”C13则 ppmnCPBAP mn )1()()()mnp)1(1.45 某数学家有两盒火柴，每盒都有 根火柴，每次用火柴时他在两盒中n任取一盒并从中抽出一根。求他用完一盒时另一盒中还有 根火柴（ ）rnr1的概率。解 用 表示“甲盒中尚余 根火柴” ，
26、用 表示“乙盒中尚余 根火柴” ， iAijBj分别表示“第 次在甲盒取” ， “第 次在乙盒取 ”， 表示DC, rn2rn2CBAr0取了 次火柴，且第 次是从甲盒中取的，即在前 在甲盒中取rn2 12n了 ，其余在乙盒中取。所以 1 21)(0 rnrCBAP由对称性知 ，所求概率为：)()(00DCBAPrr(00rr 12022rnrrn第二章 离散型随机变量2.1 下列给出的是不是某个随机变量的分布列？(1) (2) 2.035.1 1.07.32(3) (4) n31 221n解 （1）是（2） ，所以它不是随机变量的分布列。.07.（3） ,所以它不是随机变量的分布列。4312
27、31 n（4） 为自然数，且 ，所以它是随机变量的分布列。,2n 1n2.2 设随机变量 的分布列为： ，求(1) 5,4321,5)(kP;)1(或P14(2 ) ； (3) 。251(P)21(P解 (1) ;5)(或(2) ;1)(3) .)21(P2)1P2.3 解 设随机变量 的分布列为 。求 的值。3,21)(iCi C解 ，所以 。132C38272.4 随机变量 只取正整数 ，且 与 成反比，求 的分布列。N)(P2N解 根据题意知 ，其中常数 待定。由于 ，所2)(CP 16212C以 ，即 的分布列为 ， 取正整数。26C262.5 一个口袋中装有 个白球、 个黑球，不返回
28、地连续从袋中取球，mn直到取出黑球时停止。设此时取出了 个白球，求 的分布列。解 设“ ”表示前 次取出白球，第 次取出黑球，则 的分布列为：kk1k.,0,)(1)()( mnP 2.6 设某批电子管的合格品率为 ，不合格品率为 ，现在对该批电子管4341进行测试，设第 次为首次测到合格品，求 的分布列。解 .,21,43)(1kkPk2.7 一个口袋中有 5 个同样大小的球，编号为 1、2、3、4、5，从中同时取出3 只球，以 表示取出球的取大号码，求 的分布列。解 .5,43,521)(kkP152.8 抛掷一枚不均匀的硬币，出现正面的概率为 ，设 为一直p)10(掷到正、反面都出现时所
29、需要的次数，求 的分布列。解 ，其中 。,32,)(11kqpkPk q2.9 两名篮球队员轮流投篮，直到某人投中时为止，如果第一名队员投中的概率为 0.4,第二名队员投中的概率为 0.6，求每名队员投篮次数的分布列。解 设 ， 表示第二名队员的投篮次数，则+ ；4.06.)(1kkP6.01k ,21,4.7k。02.10 设随机变量 服从普哇松分布，且 ，求 。)(P)()4(P解 。由于 得,210)(!)(kekP ,2e,21（不合要求） 。所以 。02 2243!)(eP2.11 设某商店中每月销售某种商品的数量服从参数为 7 的普哇松分布，问在月初进货时应进多少件此种商品，才能保
30、证当月不脱销的概率为 0.999。解 设 为该种商品当月销售数， 为该种商品每月进货数，则x。查普哇松分布的数值表，得 。9.0)(xP 162.12 如果在时间 （分钟）内，通过某交叉路口的汽车数量服从参数与t成正比的普哇松分布。已知在一分钟内没有汽车通过的概率为 0.2，求在 2 分t钟内有多于一辆汽车通过的概率。解 设 为时间 内通过交叉路口的汽车数，则t,210),(!)( kekPt时， ，所以 ； 时， ，因而1t .)05lnt5ln2t。)()1(P83.02/)4(2.13 一本 500 页的书共有 500 个错误，每个错误等可能地出现在每一页上（每一页的印刷符号超过 500
31、 个） 。试求指定的一页上至少有三个错误的概率。解 在指定的一页上出现某一个错误的概率 ，因而，至少出现三个501p16错误的概率为kkk 50503491 kk502049151利用普哇松定理求近似值，取 ，于是上式右端等于np0831.251!120ek214 某厂产品的不合格品率为 0.03，现在要把产品装箱，若要以不小于 0.9 的概率保证每箱中至少有 100 个合格品，那么每箱至少应装多少个产品？解 设每箱至少装 个产品，其中有 个次品，则要求 ,使 x10kx，kxkx10097.39.利用普哇松分布定理求近似值，取 ，于是上式相当于.)(，查普哇松分布数值表，得 。30!9.ek
32、x 5x2.15 设二维随机变量 的联合分布列为：),()10,(!1),( pemnpnP ,210,0nm求边际分布列。解 mP0),()( mnnmp)()!(!0,21!ne0),()(nP mnmnpep)1()!(!。,21!mep2.17 在一批产品中一等品占 50%，二等品占 30%，三等品占 20%。从中任取 4 件，设一、二、三等品的件数分别为 、 、 ，求 的联合分布列),(与各自的边际分布列。解 ，knmknmP2.035.!4),( .44,3210, knm， ；.054) ,117， ；nnP47.03)(4,321， 。kk48.2)(,02.18 抛掷三次均匀
33、的硬币，以 表示出现正面的次数，以 表示正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值，求 的联合分布列及边际分布列。),(2.21 设随机变量 与 独立，且 ，1P0)(p又 ，定义 ，问 取什么值)0(P01)(p为 奇 数若 为 偶 数若 0时 与 独立？解 =)1()0()1( PP2p1)(0P )(而 ，由 得,(2,p),(122.22 设随机变量 与 独立，且 ，定义 ，1P)(证明 两两独立，但不相互独立。,证明 21)()()(1)( P11PP因为 4),(),( )(1P1),(),1( P )1(P4 所以 相互独立。同理 与 相互独立。, 但是 ，因而 不相互独立。)1()
34、1(),1( PPP ,2.23 设随机变量 与 独立， ，且只取值 1、2、3、4、5、6，证明 不18服从均匀分（即不可能有 。 ）12,3,1)(kP证明 设 。,)(kp6qk若 ，则2,31)2(P )1(1765261qpqp 2)( )3(将（2）式减去（1）式，得： ，于是 。同理 。0)(1616p16q因此 ，与（3）式矛盾。16qp2.24 已知随机变量 的分布列为 ，求 与 的分412023cos布列。解 分布列为 ， ， ；41)2(P)3(41)32(P的分布列为 ， ， 。210P)2.25 已知离散型随机变量 的分布列为 ，求 的301562分布列。解 , ,
35、, 51)0(P307)(P1)4(P)9(P2.26 设离散型随机变量 的分布列为 ： ， ： ，与 83203210且 相互独立，求 的分布列。与 解 12461302.27 设独立随机变量 分别服从二项分布： 与 ，求与 ),;(1pnkb),;(2pk的分布列。解 设 为 重贝努里试验中事件 发生的次数（在每次试验中 ） ，1nAAP)(19为 重贝努里试验中事件 发生的次数（在每次试验中 ） ，而2nApAP)(相互独立，所以 为 重贝努里试验中事件 发生的次数，因而与 21n。,10,)( 2121 kqpknPk 2n2.28 设 为独立同分布的离散型随机变量，其分布列为与,21
36、,)()( nPn求 的分布列。解 nknnknk 21)()( 11 2.29 设随机变量 具有分布： ，求 、 及5,43,5PE2。2)(E解， ，3)541(5 1)21(22 E+4 +4=272)E2.30 设随机变量 具有分布： ，求 及 。,2)(kPED解 ，211kkk 6211kkkE)(2ED2.31 设离散型随机变量 的分布列为： ，问,21,)1(kPk是否有数学期望？解 ，因为级数 发散，所以 没有数学期望。112|)(| kkk 1k2.32 用天平秤某种物品的重量（砝码仅允许放在一个秤盘中） ，物品的重量以相同的概率为 1 克、2 克、10 克，现有三组砝码：
37、（甲组）1，2，2，5，10（克）（乙组）1，2，3，4，10（克）（丙组）1，1，2，5，10（克）20问哪一组砝码秤重时所用的平均砝码数最少？解 设 、 、 分别表示及甲组、乙组、丙组砝码秤重时所用的砝码数，123则有物品重量度 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101 1 2 2 1 2 2 3 3 11 1 1 1 2 2 2 3 3 121 1 2 3 1 2 2 3 4 13于是 8.)(01 E72 2)1432132(13所以，用乙组砝码秤重时所用的平均砝码数最少。2.33 某个边长为 500 米的正方形场地，用航空测量法测得边长的误差为：0 米的概率是 0.49, 米的概率
38、各是 0.16， 米的概率各是 0.08，00米的概率各是 0.05，求场地面积的数学期望。3解 设场地面积为 ，边长的误差为 米，则 且2米S2)5(S0E186)05.38.016.0(22E所以 )()5 22 米ES2.34 对三架仪器进行检验，各仪器发生故障是独立的，且概率分别为 、1p、 。试证发生故障的仪器数的数学 + + 。2p3 1p23证 令 ,01iii架 仪 器 未 发 生 故 障第 架 仪 器 发 生 故 障第为发生故障的仪器数，则 ，3,21,)(ipPEii所以 + + 。321E1p232.37 如果在 15000 件产品中有 1000 件不合格品，从中任意抽取
39、 150 件进行检查，求查得不合格品数的数学期望。解 设，则 的分布列为 ，因而 。设 为查得的不合格品数，i154015iE21则，所以 。150i10150iiE2.38 从数字 0，1，n 中任取两个不同的数字，求这两个数字之差的绝对值的数学期望。解 设 为所选两个数字之差的绝对值，则 ， nknkP,21,)(于是 。32)1()(2121 knnkEkk2.39 把数字 任意在排成一列，如果数字 恰好出现在第 个位置上，,2 kk则称有一个匹配，求匹配数的数学期望。解 设 则 的分布列为：个 位 置 上不 在 第数 字 个 位 置 上出 现 在 第数 字 kk01 kn10于是 ，设
40、匹配数为 ，则 ，因而 。nPEkk)( nk11kE2.40 设 为取非负整数值的随机变量，证明：(1) ;1)(n(2) ).1()(21EPDn证明 (1)由于 存在，所以该级数绝对收敛。从而0)(nE。1)(nP11 )()(iinni PP1)(ii(2) 存在，所以级数 也绝对收敛，从而D022)(nE)1(2E )1()(n EnP22)1()(2)1()(21 EniPEnPi inn ).()(1n2.41 在贝努里试验中，每次试验成功的概率为 ，试验进行到成功与失败p均出现时停止，求平均试验次数。解 设成功与失败均出现时的试验次数为 ，则，1)(P )1(,32,)(1pq
41、nqpnP利用上题的结论， + =1+E2)(n2nn)1(1pqp2.42 从一个装有 个白球、 个黑球的袋中摸球，直至摸到白球时停止。mn如果(1)摸球是为返回的，(2)摸球是返回的，试对这两种不同的摸球方式求：取出黑球数的数学期望。解 略。2.43 对一批产品进行检验，如果检查到第 件仍未发现不合格品就认为这0n批产品合格，如在尚未抽到第 件时已检查到不合格品即停止继续检查，且认0n为这批产品不合格。设产品数量很大，可以认为每次检查到不合格品的概率都是 ，问平均每批要检查多少件？p解 略。2.44 流水作业线上生产出的每个产品为不合格品的概率 ，当生产出 个pk不合格品时即停工检修一次。
42、求在两次检修之间产品总数的数学期望与方差。解 设第 个不合格出现后到第 个不合格品出现时的产品数为 ，1i i i又在两次检修之间产品总数为 ，则.,21ki.1ki因 独立同分布， ，由此得：i )(,2,)(1pqjpqjPji ， ，pjqEi11 21jEi 。22)(Diii23， 。pkEkii121)(pkDkii2.46 设随机变量 与 独立，且方差存在，则有（由此并可得 ）22)()()( ED D)(证明 2)(E222 )()(D 2)(EDE2.47 在整数 0 到 9 中先后按下列两种情况任取两个数，记为 和 ：(1)第一个数取后放回，再取第二个数；(2)第一个数取后
43、不放回就取第二个数，求在的条件下 的分布列。)(k解 (1) .9,10)|( ikiP(2) , ),(91| ki 0)|(kP2.49 在 次贝努里试验中，事件 出现的概率为 ，令nApniii ,210不 出 现次 试 验 中在 第 出 现次 试 验 中在 第求在 的条件下， 的分布列。)(21 nrn )0(ii解 ,0|( 2111 niiii PrP nrqprnr。)|1(2rPni nr12.50 设随机变量 ， 相互独立，分别服从参数为 与 的普哇松分2 12布，试证：knkknkP 212121)|(1 证明 )(,)|( 21211 nP24)()21nPkk由普哇松分
44、布的可加性知 + 服从参数为 + 的普哇松分布，所以1212)(2121 21211 !)()|( enkkPnk knk21212.51 设 ， ， 为 个相互独立随机变量，且 服从同12r )(rii一几何分布，即有 。试证明在pqrikqpPi 1),1(,2,)(1其 中的条件下， 的分布是均匀分布，即nr21 )(1r，其中 . 1|,(21 rnPrr nnr21证明 rrn 211|,( )(,11nPrrr )1Pr 由于 ， ， 相互独立且服从同一几何分布，所以12。rnriknrikr pqrpqi 1)()( ,121121 从而 。)|,(211nPrr rnrpq11第三章 连续型随机变量3.1 设随机变数 的分布函数为 ，试
