1、一维数字滤波 时间域滤波原理,：输出记录,：输入记录,褶积滤波的物理意义,1、单位脉冲响应,图129 单位脉冲通过滤波器所产生的单位脉冲响应,褶积滤波的物理意义,2、任意序列（离散信号）的单位脉冲表示形式,序列： x(n)=x(-1),x(0),x(1),x(2)=1/2,1,1/2,-1/3单位脉冲序列的组合：x(n)=(1/2)(n+1)+(n)+ (1/2)(n-1)+(-1/3)(n-2),褶积滤波的物理意义,3、 褶积的物理意义 任何一个信号都可以分解为起始时间、极性、幅度各不相同的脉冲序列，令这些脉冲按时间顺序,依次通过滤波器，这样在滤波器的输出端就得到对输入脉冲序列的脉冲响应，这
2、些脉冲响应有不同的起始时间，不同的极性和不同的幅度(这个幅度是与引起它的输入脉冲幅度成正比的)，把它们迭加起来就得到滤波后的输出。 上述迭加过程如图1-29所示。输出是与输入地震信息x(t)和滤波器的时间特性h(t)的褶积运算结果完全相同的。设对x(t)离散抽样得x(1), x(2)，x(3)，x(N)，对h(t)离散抽样得h(1)，h(2)，h(3)，h(4)，h(5)(即滤波因子的抽样点数为s=5)，并且两者的抽样间隔是相等的，这时上述迭加的物理过程可表示于表1-5，每个脉冲响应可用5个离散值表示，输出x(n)的值就是在相应的时刻各个脉冲相应的离散值之和，得到,表1-5脉冲叠加的物理过程,
3、褶积滤波的物理意义,理想低通滤波器时间特性的计算,设理想低通滤波器的频率特性：,时间特性,图1-30 低通滤波器的时间特性,理想低通滤波器时间特性的计算,设理想带通滤波器的频率特性：,图1-31 理想滤波器的频率特性(a)、(b)低通滤波器，(c)带通滤波器,理想低通滤波器时间特性的计算,理想低通滤波器 I 的时间特性为,理想低通滤波器的时间特性为,理想带通滤波器的时间特性,理想高通滤波器时间特性的计算,设理想高通滤波器的频率特性：,理想高通滤波器时间特性的计算,褶积滤波的具体计算步骤,对地震记录进行频谱分析，确定通频带中心频率f0和带宽2f 确定滤波因子长度N。理论上，滤波因子是无限长的。实
4、际上，要在计算机上计算，不可能取无限长，而是取某一长度N。求滤波因子，如采用带通滤波器，则将(1-3-6)式写成离散形式,n=,将公式,写成离散形式,关于褶积滤波结果长度的讨论,设输入x(t)为M个点，滤波因子h(t)为N个点，则滤波结果为N+M-1个点，只需原来长度，所以各舍去结果两端(N-1)/2个点（因为h(t)为偶函数，N取奇数），即零相位子波。若为最小相位的，则取前M个。若为最大相位的，则取后M个。信号分析课程中，付氏变换只取前M个点，只对输入信号为最小相位的是成立的。,时变滤波和空变滤波,时变滤波:随时间变化设计不同的滤波因子的滤波,分段时变滤波,(1)分段设计滤波因子,根据地震记
5、录道频谱分析，把地震记录道分成若干段，如四段、五段或六段等(图1-34)按照每一段的地震波频谱设计相应的滤波因子ht(1), ht(2), ht(3), ht(4), 等。,图134 将地震记录按时分段,时变滤波和空变滤波,时变滤波:随时间变化设计不同的滤波因子的滤波,分段时变滤波,(2)相邻两段之间进行线性加权插值,为了不使滤波因子在分段处产生突变，可采用线性加权插值的办法(图1-35)，在t1t1段用ht(1)滤波因子进行滤波，在 段用ht(2)进行滤波，而在 过渡段中的任一点t2则采用以下公式计算的因子ht(12)进行滤波。,(1-3-55),图135 线性加权插值示意图,时变滤波和空变
6、滤波,时变滤波:随时间变化设计不同的滤波因子的滤波,空间插值滤波,一条测线，由于地下地层结构变化，不同地面位置的地震记录道频谱成分不同，这时在空间可分成若干段，各段设计不同的滤波因子，两段之间同样用线性加权插值(图1-36)。图136 空间线性加权插值示意图设AA1段滤波因子为htA, B1C段滤波因子为htB而在A1B1之间的任一点B采用以下公式计算滤波因子htAB,(1-3-56),图136 空间线性加权插值示意图,数字滤波的特殊矛盾 离散性、有限性,数字滤波的两个特殊性质离散性与有限性 离散性：数字滤波是对离散的信号进行运算 有限性：在数字电子计算机上进行计算时，滤波因子不可能取无穷项，
7、而是取有限项,伪门及其对数字频率滤波的影响,伪门 ：对连续的滤波因子h(t)离散抽样后，得到h(mt)。如果，再按h(mt)计算出与它相应的滤波器的频率特性，这时在频率特性的图形上，除了有同原来的H()对应的门”外，还会周期性地重复出现很多 “门”。,图1-37 伪门,伪门及其对数字频率滤波的影响,“伪门”出现的周期为 (图1-37),h(mt)的谱为：,(1-4-1),因为m是整数，故,所以,不同时，伪门出现的周期是不同的，取的大，伪门出现的周期小，取的小，伪门出现的周期大，因此为了避免干扰波通过伪门，故要使选的尽可能小些。,吉普斯效应（Gibbs）,吉普斯效应（Gibbs）,吉普斯现象的影
8、响 由于H(f)曲线在通频带内是波动的，即是说通频带以内| H(f) |值不是常数，地震信号滤波后，有效波有的频率成分增强了，而有的相对削弱了，这就使有效波原来的各频率成分的振幅比发生了变化，使波形产生畸变。 H(f)曲线”门边“发生倾斜，即陡度减小，使滤波后的选择性变差，也影响滤波效果,吉普斯效应（Gibbs）,吉普斯效应（Gibbs）,克服吉普斯效应,吉普斯效应（Gibbs）,克服吉普斯效应,吉普斯效应（Gibbs）,克服吉普斯效应,（3）镶边法 A 直接镶边法,则H(f)在|f|=f1处间断。这时可作另一函数H*(f)代替H(f)，也即在H(f)两边不连续处镶上一条连续的边(图1-41)
9、，H*(f)的公式为,与H(f)对应的滤波因子为,吉普斯效应（Gibbs）,克服吉普斯效应,与,对应的滤波因子为,这种做法克服了频率特性曲线的波动问题，但是，这时频率特性曲线的陡度也减小了，这对地震勘探资料滤波处理来说使滤波器的频率选择性变差。从另一方面来看，地震波是脉冲波，是由无数多个不同频率成分的简谐波所组成，为了保留地震波的频谱成分，往往不宜用门式滤波，而适合用镶边后的滤波器。,吉普斯效应（Gibbs）,克服吉普斯效应,（3）镶边法 B 褶积镶边法,方波褶积镶边低通滤波器,方波二次褶积镶边低通滤波器：,吉普斯效应（Gibbs）,克服吉普斯效应,（4）时窗法,矩形窗的频谱：,吉普斯效应（G
10、ibbs）,克服吉普斯效应,（4）时窗法,相 关 滤 波,相关分析是地震资料数字处理中的一种基本的分析、运算方法，同时，它本身也是一种线性滤波。,相关分析的用途,相关分析在速度分析、自动拾取、滤波、反滤波、剩余静校正等中应用广泛1.定量分析两个波形之间的相似性,2.在波形有时移的情况下定量研究两个波形的相似性,相关分析的公式,离散形式：互相关:,自相关：,连续形式:互相关：,自相关：,相关函数的性质,自相关函数的性质,(1),在x=0处有最大值，即,(2),是,的偶函数，,=,自相关得到的是零相位的子波。,(3) 当,时，自相关函数,，因为波形长度总是有限的，当,时，两个波形完全分开无重叠。,
11、(4) 自相关函数,与x(t)本身波形无关，仅与x(t)所包含的频率成分有关，,即与其振幅谱有关。振幅谱相同，而相位谱不同的波形具有相同的自相关 函数。,相关函数的性质,互相关函数的性质,(1),=,(2)当,时，互相关函数,，与自相关函数类似。,(3),只包含两个波形x(t),y(t)的共有的频率成分,图144 互相关函数包含它们共有的频率成分,X(f)：w1w2 Y(f)：w3w4 Rxy(f)：w3w2,相关函数的性质,相关与褶积,褶积公式是,相关公式是,离散形式，对于褶积有,对于相关有,相关函数的性质,相关与褶积,图145 褶积运算和相关运算 (a)裙积运算交叉相乘相加， (b)相关运
12、算对应相乘相加,相关与褶积振幅谱相同，但相位谱差一负号。,常用的数学变换,二 维 滤 波,波数滤波的概念,在地震勘探中，有时有效波和干扰波的频谱成分相近，无法用频率滤波来压制干扰，但是既然是不同类型波，一定在其他方面存在差异，例如视速度不同（图1-46），这时就可以利用视速度的不同来压制干扰而不采用频率滤波的办法。例如“组合”就是根据视速度不同来压制干扰波的。这种滤波不只是对一个地震记录道，而是对若干个空间的地震记录道发生作用，因此是一种空间域的滤波。,图146 地震波的视速度谱,波数滤波的概念,地震波动是时间和空间的函数，既可用振动图来描述图1-47(a)，也可用波剖面来表示图1-47(b)
13、。当用波剖面表示时，可用波长表示波剖面上两个相邻极大值之间的距离，波数K表示单位长度上的波长数目。,图1-47 地震波的图示 (a)振动图，(b)波剖面,=vt,(1-6-1),(1-6-2),(1-6-3),波数滤波的概念,当地震波频率变化时，波数也要改变，一个地震波振动图形是由不同频率的简谐频率成分组成的，对应的波剖面也是由许多不同波数的简谐波剖面所组成，用X(x)表示波剖面，用X(K)表示它的波数谱，利用傅里叶变换有,这一对变换公式表示，任何一个波剖面可以用无数个波数不同的简谐波剖面之和来表示。波数与波剖面的关系和频率与振动图形的关系一样，不同的是前者的变量为空间x，后者的变量为时间t。
14、,(1-6-4),(1-6-5),波数滤波的概念,在实际地震勘探中，通常是沿测线进行观测的，因此，用视速度V*，视波长*和视波数K*等表示所观测的地震波。因此(1-6-2)和(1-6-3)式可写成,*=V*T (1-6-6),(1-6-7),由(1-6-7)式可以看出，当两个简谐波频率f相同时，它们的视速度V*不同，那么波数K*也不同，当两个简谐波频率不相同但它们的视速度相同时，那么波数K*也不同。因此波数的变化既包含了频率又包含了视速度的变化。,一维滤波存在的问题和二维滤波的提出,一维(频率或波数)滤波不足：在进行频率滤波时改变了波剖面的形状面波数滤波时改变了振动图的形状 。,频率滤波改变了
15、波剖面的形状：由(1-6-3)式已知,对一定类型的波，对一种特定的介质，V是常数，这样，对频率f不同的简谐波，它的相应的简谐波剖面的波数K也是不同的，因此，对一个由许多不同频率成分的简谐波组成的地震脉冲波，经过频率滤波后，组成这个脉冲的简谐成分发生了变化，譬如某些频率成分被滤掉了，于是，组成原来的波剖面的不同波数的简谐波的成分也必然发生变化，譬如某些简谐波剖面被滤掉了，因而整个波剖面的形状也要发生变化。,一维滤波存在的问题和二维滤波的提出,一维(频率或波数)滤波不足：在进行频率滤波时改变了波剖面的形状面波数滤波时改变了振动图的形状 。,波数滤波时改变了振动图的形状：组合对频率有畸变作用。,从方
16、向效应上说组合可以突出有效波、压制干扰波，但由于有频率畸变作用，对有效波的有用频谱也压制了，改变了振动图形的形状。因此，单独的频率域滤波和单独的波数域滤波都存在不足之处，只有根据二者内在的联系组成频率波数域滤波，才能做到在所希望的频率间隔内、视速度为某一范围的有效波得到加强，同时，可对这个频带内的视速度为另一范围的干扰波进行压制。,二维的频波谱分析,二维滤波的原理是建立在二维傅里叶变换的基础之上，对于二维的动函数X(x，t)，可用二维傅里叶变换，求出其对应的频率波数谱函数X(f，k),(1-6-8),此式表明，波动函数X(t，x)是由频率为f波数为K的频波成分,的频波谱，|X(f，K)|为X(
17、t，x)的振幅谱。,迭加而成的，X(f，K)称为波动函数X(t，x),二维的频波谱分析,图1-48 二维频波图,有效波和干扰波的频波成分是不同的，这可以在f-K平面上表示出来，通过原点的几条直线的斜率就是视速度(图1-48)，图中I区是高速干扰区,区是有效信号区,区是低速干扰区，f1f2表示有效信号的频率范围，在此以外是干扰频率范围。可以看出，在F-K平面上，有效信号和干扰信号在频率上和视速度上可以清楚地区分开来，因此，利用频波域滤波可以压制各种频率、波数的干扰。,二维离散信号及某频率波数谱,空间抽样定理空间抽样定理形式上与时间抽样定理完全相同，不过其涉及的变量不是时间t，而是距离x。设有连续
18、信号u(x),如果u(x)是一空间带限信号，即满足：,（1-22）,且空间抽样间隔,满足：,二维离散信号及某频率波数谱,空间抽样定理空间抽样定理包括两个条件： （1）波数有限（俗称“空间带限”）； （2）空间抽样间隔不得超过信号最小波长的一半。 和时间域一样，如果在空间域的抽样信号不满足上述条件，同样会产生所谓的假频现象，叫做空间假频（Spatial aliasing）现象。空间假频对于f-k滤波和偏移处理有严重的影响。,二维离散信号及某频率波数谱,空间假频现象空间假频，借用：时域假频的称谓对由于空间抽样间隔选取不当而造成的一种虚假现象的命名。,野外采集中的道间距,过大，频率f过高，地层倾角
19、过大或速度过小都会产生假频,二维离散信号及某频率波数谱,二维抽样定理,二维离散信号及某频率波数谱,二维离散信号的频率波数谱,设一维离散信号的频率波数谱：,二维离散信号及某频率波数谱,二维离散信号的频率波数谱,通过,由离散信号恢复成连续信号,二维离散信号及某频率波数谱,二维离散信号的频率波数谱,如果不满足抽样定理的条件，连续信号的谱和离散信号的谱之间存在如下关系：,这时若由离散信号或其频谱恢复连续信号，即产生频率波数域的混叠现象,二维离散信号及某频率波数谱,二维离散信号的频率波数谱,二维离散信号的频率波数谱的两个重要性质： （1）共轭对称性,二维离散信号及某频率波数谱,二维离散信号的频率波数谱,
20、二维离散信号的频率波数谱的两个重要性质： （2）周期性,二维离散信号及某频率波数谱,二维离散信号的频率波数谱,二维离散信号及某频率波数谱,二维离散信号的频率波数谱,二维离散信号及某频率波数谱,二维离散信号的频率波数谱,二维离散信号及某频率波数谱,二维离散信号的频率波数谱,二维离散信号及某频率波数谱,二维离散信号的频率波数谱,二维离散信号及某频率波数谱,二维离散信号的频率波数谱,滤波方程,二维滤波的两个实现途径：（1）频率波数域滤波（2）时间空间域滤波,二维滤波的实现,滤波方程,（1）频率波数域滤波,滤波方程,（2）时间空间域滤波,二维滤波器的设计,（1）设计原则,基本原则：有效波和干扰波在f-k平面上的差异,二维滤波器的设计,（2）常见的二维滤波器 扇形滤波器的频率响应：,二维滤波器的设计,（3）二维滤波的实施,二维滤波器的设计,（3）二维滤波的实施,二维滤波器的设计,（3）二维滤波的实施,其他二维滤波方法简介,
