1、考验人类的智力悖论考验人类的智力悖论（人的通病都是自视过高）1克里特人伊壁孟德伊：所有的克里特人都是撒谎者。M：他说的是真的吗？如果他说的是实话，那么克里特人都是撒谎者，而伊壁孟德是克里特人，他必然说了假话。他撒谎了吗？如果他确实撒了谎，那么克里特人就都不是说谎的人，因而伊壁孟德也必然说了真话。他怎么会既撒谎，同时又说真话呢？伊壁孟德是个半传奇式的希腊人，他在公元前6世纪住在希腊。有一个神话说他曾经一下子睡了57年。关于他的上面那段文字，如果我们假定撒谎者总是说假话，不撒谎的人总是说真话，那么就会出现逻辑的矛盾。按此假定，“所有的克里特人都是撒谎者”这句话不可能是真话，因为这说明伊壁孟德既是撒
2、谎的人，因此他说的就不是真话。可是这又意味着克里特人是说真话的，那么伊壁孟德说的话也必定是真话，因此上面引的那句话也不可能是假话。古希腊人曾为此大伤脑筋，怎么会一句话看上去完 ，自 有矛盾， 既是真话又是假话呢 一个，克 了 关于“说谎者悖论”的论文， 有一 。有一 希腊 人 特，他的 ， 说他的着他currency1大“，他自fi会因fl 这悖论而过 。在，”?在他 的 也引过这段悖论（1:12 13）。2说谎者悖论M：我们了的说谎者悖论。下面是的 的 式。：这句话是的。M：上面这个句子吗?如果是的，这句话就是的 如果这句话是的，那这个句子就了 这 矛盾的说 所能的 。们是 能 ，为么这类悖
3、论 上 式 （ 一句话 的是 ）就 ？这是因为 了说谎者是 总是说谎，不说谎者总是说真话。这一悖论这类 是 的。 如，曾经说，他 ? 有一 撒谎，就是 人问他：是 他总是说真话时， 了一会儿，就说：“不是。”再 一下：这小 所有的说明都是可靠的， 有这一节关于说谎者悖论的评部 的第三自然段（ 现在的这一段） 外。3徽章和涂 M：颁发一枚勋章，勋章上 着：禁止授勋 M：或者涂 一个告示：不准涂 们知道为么这叙是矛盾的吗？们郡违背了们自fi所提出的 求。 们一定愿意编出其他的 子， 如在缓冲器的连结杆上 “ 去缓冲器连结杆”，一个招牌上 ：“不许读这个招牌”，等等。个 汉宣称， 有漂亮 不愿嫁他的
4、姑娘，他才 。一个人拒绝加一切愿吸收他为 员的俱乐部。个小女孩说，她很高兴她讨厌吃菜花，因为 是她喜欢的话，就会吃 太 ，结果她就不能老吃 菜花了。更为接近说谎者悖论的是下面这种自 矛盾的话“一切规则都有 外”和“所有知识都值 怀疑。”4一句话和他的反话M：这句话有几个字？七个字。显然原话了 那么的反话就应该是的吧，是不是？M：不，这句语的反话好是八个字。所，原 的话一 是的。我们怎么才能 决这 奇怪的尴尬局面呢？这种悖论的创造者是谁，人们都不知道。这里 有另一个了点花 的货真价实的悖论， 们一定会觉很有趣的，在黑板上 ：在黑板上标出三个有误的句子；1 2+2=42 3*6=173 8/4=2
5、4 13-6=55 5+4=9回答： 有第2句和第4句是的。所说“有三个句子了”的断言了，而这个断言就 了第三个句 5发狂的计算 M：很 年前，一 计于 验语句误的计算 了说谎者 论。语句：“这句话是的”。M：这 可 的计算 发 狂 ，不断 出 的结果，了 止的反 。世 上第一 于 决真的逻辑问 的计算 ，是在1947年 ? 克 特和 ? 出 的，那时他们 在 大 。 他们 这 器评价说谎者悖论时，计算 反 ，了回 的（?加德的逻辑 和逻辑currency1）。“?克的小说“子fi伤”，发 在1951年8fl的 小说上，说的是 计算 不 节 器的 。他们的 是告计算 ：“ 必拒绝我现在 编的语
6、句，因为我编的所有语句都是的。”（： 计算 因此而不断 ” 的 ）6 的 M： 器 的 就人 答一个古老的？。问 ：和， 有个？M：有吗？不，必里出 ，那 有？不，必 下。好 了 的 。和这个古老的问 是逻辑 称为“ ”的 通的 子。老人牌 在一个，上面的是一个老人着一，这个上也有一 有一个老人着一的小。自然，那个小上又有同 的，如此 就一个 一个的 子的 连 一 。 人1965年4fl 有一个 面，着个人 反 着这 。 可看 在反 出的 上，也有一个小一点的 ，反 出一更小的 ，自然这 一”小下去。在 发 里，面的 上有很 的 子，人们在这 子可看 反出的 。在 有类的 。 ? 是 道 ?
7、克 的小说点计器点的人：他是一个 ，在 一小说，是关于一个 在 一个 在 小说的小说。在德 ? 德的小说 造 ，在 明的 他，在 ? 的 这类 小说，都有类的 。? 特在一 了一段关于的 ， 古 ?德 为：大有小在们的背上 ，小又有小，如此下去完 了。大 了个儿小上面 有大，一个上面有一个，总也 不 谁的 老。7柏拉currency1苏格拉悖论M： 我 一 。一个克里特人说的是（全部）克里特人。一句话说的是这句话 。一个徽章 的是关于（全部）徽章的论断。所有这句子看 都是 论关于句子 的事。是不是自关联引 了麻烦？M：不是。就连古希腊人也已知道 避了自关联也不足 矛盾。这里有一段话可证明这一点
8、：柏拉currency1：下面苏格拉说的话是假的。苏格拉：柏拉currency1说了真话 M：逻辑 了柏拉currency1苏格拉悖论。不管 一句话是真的，另一句总与矛盾。两句话 的都不是 ，但放 一 ，仍会出现说谎者悖论。说谎者悖论的这一翻版古时候的逻辑 已讨论 很 了，所 就在于证明；在真实性悖论产 混乱的源远不是自关联所能 决的。假若句子A是真的，那么句子B必然是真的。但是，如果句子B是真的，那句子A就必是假的。好吧，我们认为句子A是假的，那就意味着句子B是假的。这 ， 是句子B是假的，句子A就是真的，结果我们又头开始。这个过程就会这 一面 下去，就建筑一拱顶石的顶上彼此嵌 一 。两个句
9、子都有 自 ，但放 一 ，们就不断 着们的真实性，结果我们就 说出任何一个句子是真 是假。们一定愿意个花 ，这个悖论 在一 上出示他的朋友。这是英 戴因 出的。在一 白 的一面 ：这 背面的句子是真的。该 的背面 的是：这 背面的句子是假的。8爱丽 和红色 王M：柏拉currency1苏格拉悖论有两个 。这在透过 子的爱丽 和红色 王一 。爱丽 ：我在做梦，梦了红色 王。可是他睡着了，梦我做着关于他的梦，在这儿他也在梦我。啊，我的天 这 梦下去有个完。在透过 子的第4章，有一段是爱丽 了红色 王。 王睡着了，特 德 弟告爱丽 ， 王梦她，她 是 王睡梦的人，实际是不存在的。“ 是 王醒 了”，
10、特 德 弟补充道：“ 就完了啪就蜡烛一 熄灭了 ”我们应该 住，所有这都是爱丽 自fi梦的事。 是 王是她梦的事， 是她是 王梦的事？一个是真实的，一个是梦？和随时间回溯，就出现 完 了的和，而这里的 是团团转的。这有点莫里 ?埃谢的一幅，其有两 手，手在拉乙手，乙手在拉手。双梦引出了 上关于真实性的深刻问 。“假如不是幽默的 调 的”，柏特兰德曾说：“我们就全发现太痛苦了。”请看下面9鳄鱼和小孩M；希腊 喜欢讲一个鳄鱼的故事。一条鳄鱼母亲手抢走了一个小孩。鳄鱼：我会不会吃掉 的孩子？答了，我就孩子不加伤害 。母亲：呵 呵 是 吃掉我的孩子的。鳄鱼：呣。我怎么 呢？如果我孩子交 ， 就说了。我
11、应该吃掉他。M：鳄鱼 了 。孩子既 吃掉，同时又 交 孩子的母亲。鳄鱼：好了，这我就不他交 了。母亲：可是 必交我。如果 吃了我的孩子，我就说了， 就 他交回我。M：拙劣的鳄鱼懵了，结果孩子交回了母亲，母亲一拽住孩子，掉了。鳄鱼；他妈的 是她说我回她孩子，我就可 餐一顿了。如果 们细细琢磨这段的悖论， 们一定会明白那 母亲是 么 智。她鱷鱼说的是“ 将会吃掉我的孩子”。论鱷鱼怎么做，都必定与的允 矛盾。如果交回小孩，母亲就说了，就可吃掉小孩。可如果吃掉小孩，母亲就说了，这就 孩子 伤害交出 。鱷鱼了逻辑悖论， 摆脱出 而不违背自fi。如果不是这 ，假定母亲说：“ 将 孩子交回我。”那么，鱷鱼就
12、随 了，既可交回孩子，也可吃掉他。如果交回小孩，母亲就说了，鱷鱼遵循了自fi的 言。反过 ，如果聪明一的话，可吃掉孩子，这使 母亲的话了，鱷鱼 可交回小孩的义务 脱出 。10唐?吉 德悖论M：小说唐?吉 德里 过一个 有一条奇怪的 ： 一个 者都 回答一个问 。问，这里做么？M：如果 者回答了。一切都好 。如果回答了，他就 currency1 。M：一天，有个 者回答 者：我 这里是 currency1 。M：这时， 也和鳄鱼一 了神，如果他们不这人 ，他就说了，就 。可是，如果他们 他，他就说了，就不应该 他。M：为了做出决断， 者currency1 王那里。苦苦 了好 ， 王才说 王：不管
13、我做出么决定，都 定 这条 。我们 是 大为怀算了， 这个人自 吧。这段 人的悖论出在唐?吉 德第 的第51章。吉 德的 人 ? 了一个小 的 者，在那里他 在这个 这条奇怪的关于 者的 。 那个 者currency1 他面前时，他 和识做出了这个人的 决。这条悖论实 上和鳄鱼悖论是同 的。 者的回答使小 的王 这条 而不自 矛盾。11 发悖论M：的 发悖论是 特德?提出的。一个 发的招牌上 着：告示：里所有不自fi的人都 我他们，我也 这人。M：谁这 发呢？M：如果他自fi，那他就currency1于自fi的那类人。但是，他的招牌说明他不这类人，因此他不能自fi 。M：如果另外一个人 他，那
14、他就是不自fi的人。但是，他的招牌说他 所有这类人。因此其他任何人也不能他。看 ， 有任何人能这 发了 特德?提出这个悖论，为的是他发现的关于“的一个悖论故事通 出 。 “看 是自fi的元。 如，所有不是果的 的“ 就不是果，所必然是此“自的元。现在 考fi一个 一切不是 的元fl的“ 的“。这个“是 的元吗？ 论 何回答， 都自 矛盾*。在逻辑 上 性的 一就与这条 论有关。德 的逻辑 特 ?里 完了他 的算 ”第 ，他认为他在这 确了一 的“论，可为个 的”。1902年， 该 时，他收 了 的，他 知上面那条悖论。里的“论许 一切不是自 的元的“ 的“。如在的，这个 面上结完 的“ 是自
15、矛盾的。里在收 的， 一个的言：“一个 所 的 不“意的事，莫过于是在他的 将结时使其” 了，我的 发 如下”说，里使的“不“意”（undesirable）是 上 不 意的说 了。* 于一类“，A1=a11, a12, a1i ，A2=a21, a22, a2i ，Ai=ai1, ai2, aij 都足条aij Ai (i=1, 2, j=1, 2, )但Ai Ai一切这类“ “A=A1, A2, Ai, ) Ai A，问A A？如果认为A A，则A应该不是自 “的元， A A，如果A A，A就应是“的元， A A， 矛盾 12 器人和 M： 这个 ，他一切不 自fi的 告，他也 这 告。谁这
16、 告？M：或者 这个 器人， 一切不 自 的 器人。谁 这个 器人？M：再 这个 ，将一切不 的 编 ，这个 编个 ？这都是悖论的实。在的 发悖论的所有这翻版，都是在“S确定了一个关 R，是其一个元 “S不R自关联的所有元的关 。 不同性 的“和不同的关 ，就可 这种悖论出的花 。13 与有趣M：有人很有意fl，有人很 。：我是全 足 明 。乙：我可 吉他。：我么也不会做。M：这里有一 了所有 人的 ，一 了所有有趣人的 ，在 人的 上自然总有一个 着世 上 的人。M：可是这一点使 他 有意fl。这 ，我们就 他 另一个 。： 谢。M：现在又有另一个人 了 的人，他也 使人 兴趣 。结果 个人
17、都 有意fl ，是不是？不 过 格 ，这个人的悖论就第一 出了“ 有一个是 有意fl的”这一 的证明。fl者埃德? 在1945年的 fl 4fl 上醒 的标 “有趣的”将发 出 。看， 们于下 问 有何反应？1这个证明可 ， 是有 误？2第 的人 有趣人的 是 会引 第一个 有趣人 的人又 味 ， 是仍然 是有趣的呢？3是 存在一种 ，按此 个人都是有意fl的，因为他可是 个特“ 味的人，如个在特定的“都可是 小的一 ？4如果所有的人（或）都是有意fl的，那么这是 使 “有意fl”这一 意义了呢？14语义 和“论M：关于真实性的悖论称为语义 悖论，关于事的“的悖论则是“论悖论。两种类 是 切
18、关的。语义 （真实性）悖论和“论（或经 ）悖论间的应关 可 下面事实 现出 ， 一段关于真实性的 ，都可 为关于“的 ，反过 也一 。 如，“所有果都是红的”，这句话等价于下 ，“如果x是果这句话是真话，则x是红的这句 也是真的。”我们看看， 说谎者悖论语义 的 ，如何 为实 上是与 发悖论同 的“论的 。假定黑板上 着一句话：“这句话是假的。”果上讲，这句话是说“这句话宣称这个黑板上宣称自fi是假话的句子，也 是这类句子的“才是真的。”类 ，可 一个语义 悖论转为“论悖论， 一个“论悖论转为语义 悖论。15语言M：语义 悖论 靠引 语言 决。关于世 的种种论，如“果是红的”或“果是 的”等，
19、都是实际语言 的。而关于真实性的论则必语言 。M：在这个 子，不存在悖论，因为句子A是语言 出的， 论的是句子B的真实性，而句子 是实际语言 出的。M：我们怎 才能 论一种语言的真实性呢？我们必 更高 的语言。在这个 的 ，一 下一 都是语言，上一 又是实际语言。语言的概 是 波兰 雷德? ”提出的。在 的层是实际语言或 语言，如“火 有两个 ”。真和假这种不在这种语言出现。为了 论这种语言 的句子真和假，我们必使语言， 所说明的语言更高一 的语言。语言包括了所有的 语言，但 语言“更丰”，因为可 论 语言的真实性。我们引一个 ”喜爱的 子：“雪是白的，”这是 语言说明的。而“雪是白的这句话是
20、真的”就是语言说的。我们能 论一句语言的真假性呢？能，不过仅 更高一 的语言，并更高 和更丰的，包括了所有下的 语言的语言说话时才能做 。这个 的 一 紧上面那一 而言都是 语言。而 ， 开 下那 外，紧下面那 而言，又是语言。这个 ，我们愿意 上延伸 少就可有 少。这个 的头四 是：A任意一个三角 的内角和是180B句子A是真的。C句子B是真的。D句子C是真的。意，语句A叙了几何客 的定 。关于定 的证明在几何教 则是语言B 的。关于证明 论的 又是语言C 的。幸好， 很少需 C更高 的语言。刘 ? 在一 文章饶有趣味讨论了这个 在 论上的 限性。 为“乌龟 ”里 说了么”， 时 为“刘 ?
21、 的魔术。”16类 的 论M：“悖论可一个类的 限等 排 掉。一个“不能是该“ 的元，或不能是低一 的任何“的元。上面出的那个 发， 器人和 ”就不存在了。在“论，与 ”的语言 等价的， 特德? 初称为“类 论”。且不管技术上的术语，这个 论“按类 的 别加排 ，此时说一个“是 的一个元，或说不是此“ 的元就 毫 意义了。而 了自 矛盾的“。这种矛盾的“就不“存在”。如果遵循类论的 则，就不存在有意义的 定义这种“。这就 于一个语义 的规定，说谎者悖论这 的句子”就不是句子，因为违反了“格句子的 则。特德?花费了很 年时间研究他的类 论（现在称为“类 论”，因为 逻辑 大大 了）。在 的演 一
22、 ， 道：“在 完 原 时，我断然决定尝 决上悖论的 。我 这就差不 是我个人的挑战，并且如有必 ，我将我的余 努力实现。可是 于两个原因我发觉这是 的事。第一，个问 时时其琐细烦恼着我第 ，我这 尝 ，可能会毫 展。个1903年和1904年，我的精力几乎全部投这个问 ，可是 有丝毫 的迹。”17梵 者（度预言 ）的预言M：梵 者能他的水晶 看 未 吗？ currency1预言未 就会导致一种的奇异的逻辑悖论。M：一天梵 者与他的 岁的女儿苏椰发 了争论。苏椰： 是一个大骗子，爸爸。 不能预言未。 者；我 定能。苏椰：不， 不能。我就可证明 M：苏椰在一 纸上 了一字，折 ，再将压在水晶 下。
23、苏椰：我 了一事，在3点钟前可能发 ，也可能不发 。如果 能预言是发 ， 是不发 ，在我毕业时 就不我买 答应过 我买的汽车了。苏椰：这是一 白 。如果 认为这事会发 ，就在上面 “是”；如果 认为不发 ， 就 “不”。 是 了， 答应现在就买辆汽车我，不 拖 好吗？ 者：好吧，苏椰，这可是一项定啊。M：梵 者在 了一个字。 3点钟时，苏椰水晶 下面的纸拿出 ，高声读道：苏椰：在下午3点前 将 一个“不”字在 上。者： 捉弄了我。我 的是“是”，所我了。可是，我 是 “不”在 上，我也了。我不可能 的。苏椰：我 一辆红色的赛车，爸爸， 斗 座的。这条悖论 的 式是关于一 计算 ，这 计算 开红
24、灯 示“是”，开绿灯 示“不”。这 计算currency1 求回答“是”或“不” 预言下一 灯亮是不是的绿灯。很明显， 预言确，在逻辑上是不可能的。这里 为与梵 者 赌，是?加德 创造的，发 在他的 自 人的的 第11章。这个悖论可 的 式， 问一个人：“ 下句话 讲的是不，不？?请回答是或不。”这条悖论是 和说谎者悖论 同？这个问 将引 一场有趣的班 讨论。 这个人回答时，“不”的意fl是么？显然，在说谎者悖论 于“我现在说的这是的这句话是的。”这自然和“这句话是的”一 。因此，梵 者悖论 不过是说谎者悖论经过 的翻版而已。意，恰如“这句话是的”不会导致悖论一 ，问 下句话 说“是”，不？”
25、也不会导致悖论。者回答“是”或“不”都不会引 矛盾。这也就我们说谎者悖论的翻版鱷鱼故事的情况，上结果于，妈妈 是说：“ 孩子 我。”鱷鱼既可吃掉小孩，也可交回小孩，均不会引 矛盾。18意 不 的老虎公主：父亲， 是 王。我可和 克结婚吗？ 王：我亲爱的，如果 克 这五个门藏着的一 老虎， 就可和他结婚。 克必顺 序开门，1 门开始。他事不知道个房间里有老虎， 有开了那扇门才知道。这 老将是料 不 的。M； 克看着这门，自fi说道 克：如果我 开了四个空房间的门，我就会知道老虎在第五个房间。可是， 王说我不能事知道在里。所老虎不可能在第五个房间里。克：五currency1排 了，所老虎必然在其余
26、四个房间一。那么在我开了三个空房间，又怎么 了？老虎必然在第四个房间。可是，这 就不是预料不 的了。所四也currency1排 了。M：按同 的 ， 克证明老虎不能在第三 第 和第一个房间。 克 快乐。 克：个门的背也不会有老虎。如果有，就不是料 不 的。这不符“ 王的允 。 王总是遵守 言的。M： 克证明了不会有老虎，就冒冒失失去开门了。使他惊骇的是，老虎第 个房间了出 。这是完全出乎意料的。这一切 明 王遵守了他的 言。迄今为止，逻辑 于 克究竟在里 未 一意。意 不 的老虎这则悖论有很 其他 式的故事。不知么原因，第一 是发 在四 年代初，说的是一个教授的故事。这 教授宣布下一周的其一天
27、 一 “意料外的考 ”。他 他的 证， 有一个 能在考 那天前 测出考 的日 。一个 “证明”了这不会在下一周的 一天，接着是不会在第 天， 第三天，等等，结果是不会在下周的 一天考 。然而，教授能 遵守他的 言 考 ，如说在第三天考。大 W.V. 因在1953年 的一 关于这个悖论的论文， 了一个 排定一个意 不 的日 人的故事。关于这条悖论的讨论，有一个 了23 考 的 ，可 ?加德 的料 不 的 和其他 一 第一章。大 人 认 克 的第一 是确的， 那 老虎不可能在 一个房间。可是，一 认这是格的 ， 克其余的 就 着 。因为，假若老虎不可能在 一个房间，那么同 的 将排 在 第 间，第
28、三间，一” 其余 房间。然而，很 证明 克 的第一 也是的。假定他 开了所有房门， 余下 一个门。这时，他能准确 断说 一个房间里 有老虎吗？不能 因为，如果他这 断，他也许会 开这个房门，发现有一个料 不 的老虎在其 其实， 使问 有一个房间，个悖论也仍存在。逻辑 的一致意是，管 王知道他能 遵守他的 言，而 克 知道。因此，他 充 的证 论在任何一个房间 有老虎，包括 一个房间在内。19 悖论M：一天，一个 外层空间 的 加在 着 。M： 加 出一个 研究人的大脑。他可 准确预言 一个人在 者 一时会 一个。M： 加两个大 子 验了很 人。 子A是透明的，总是着1 元。 子B不透明， 么着
29、1 元， 么空着。M： 加告 一个 者。 加： 有两种 ，一种是 拿走两个 子，可 其的 。可是， 我预计 这 做时，我就 子B空着。 就 能 1 元。加：另一种 是 拿一个 子B。如果我预计 这 做时，我就放 子B1 元。 能全部 子。M：这个人决定 拿 子B。他的 是：我已看 加尝 了几 ， 他都预计了。是拿两个 子的人， 能 l 元。所我 拿 子B，就可 一个 。M：这个女孩决定 拿两个 子，她的 是女： 加已经做完了他的预言，并已 开。 子不会再了。如果是空的， 是空的。如果是有 的， 是有 。所我 拿两个 子，就可 里面所有的 。M： 认为谁的决定 好？两种看 不可能都。一种了？为何
30、了？这是一个的悖论，而 们 不知道如何 决。这个悖论是 经争论的很 预言悖论 的，也是 手的。是 ? 发明的，称为 悖论。 大 的 特? 吉克 发 并 了这个悖论。他 的 主 是 称为“论”或“论”的 则。孩决定 拿B 是很 的。为了使女孩的论 明显 ， 住 加已经走了。 子里也许有，也许空着，这是不会再 的。如果有 ，仍然有 ；如果空着，仍然空着。 我们fl考一下这两种情况。如果B有 ，女孩 拿 子B，她 1 元。如果她两个 子都 ，就会 1 加1 元。如果B 空着，她 拿B ，就么也 不 。但如果她拿两个 子，她就少 1 元。因此， 一种情况下，女孩拿两个 子都 1 元。这条悖论，是 验一
31、个人是 自 意 论的“石 纸”类 的悖论。这个悖论的反应公 出，愿意拿两个 子的是自 意 论currency1，愿意拿B 者是决定论（ 论）currency1。而另一人则争“道：不管未 是完全决定的， 是不是完全决定的，这个悖论所 求的条 是矛盾的。这争论 点的讨论可 ?加德 在1973年 人7fl 的 ， 吉克教授发 在同一 1974年3fl 同一 的文章。 于这一悖论 未 决，故是 讨论的好 。将发现fi里这个悖论的反应是fl 的， 有的。1赌currency1的 误M： 和 太大有五个孩子，都是女儿。 太大：我希我们下一个孩子不是女孩。 ：我亲爱的，在 了五个女儿，下一个 定是儿子。M：
32、 吗？M：很 赌的赌currency1为，他们在子转过很 红色字，就会在黑的上，他们就可了。事情将是这 的吗？M：埃德加? 兰?” 认为，如果 在一 子已出五 两点， 下 再出两点的 会就 小于1/6了。他说 不呢？M：如果 任何这类问 回答说“”， 就了所“赌currency1的 误”。在子时， 一 都与前出的点完全 关。M： 和 太太第 个孩子是女孩的概 仍然是1/2。 赌的下一 赌是红色的概 仍然是1/2。子时，下一 出2的概 仍然是1/6。M：为了 问 更明，假定一个孩 ， 了五 徽 上。这时再 一 ， 徽 上的概 是完全与前一 ：一半一半， 于过去的结果是 有 的。如果事A的结果 事
33、B，那么就说B是“”于A的。 如， 在明天 的概 于明天是 下的概 。在日 fl说的“彼此 有关 ”的事称为“”事。 明天 的概 是和总 明天餐吃的概 关的。大 人很 一个事的概 于 种原因会不 近的同类事的。 如，第一 世大战 间，前 的战 的 藏 。他们确老的 ，因为他们 老 的可能性大。因为，看 不可能两个 一个接一个都在同一点，这 他们就“ 认为 在一段时间内将会全一。有一个故事讲的是很 年前有一个人 。他可能一天会有一个 客着 藏的 。于是他就总是在他的公文包一枚他自fi 了火 的 。他知道一 上不太可能有 个 客着 ，他又 一 论，一 上同时有两个 客 是更加不可能的事。事实，他自
34、fi的 不会其他客 的概 ，这种 是为一个 出的反面会另一个的反面的另一种 式而已。所有 赌 欢 的 是戴 特 ，是赌currency1未能认识 事的性这一“赌currency1 误”为”的。 与者赌红色或黑色（或其他任何一个等赌 的赌）， 赌失 一 就加大赌， 赌一就 少赌。他们 ，如果小小的 他了，那么就会有 种原因“ 住”，不太可能 他在下一 再；如果小 使他 了，这将 ，很可能 他在下一 。事实是 一 转， 都与前 的结果 关，这就 证明了，任何一个赌 赌currency1的好都不会 赌场主的 。? 在他的“赌大全”一 道：“ 一 好的赌赛有的情况， 因赌场主 赌而他一定 的 ，故 的
35、 会就如 所说的是的 。 使一种赌 时， 总 赌好 ，而 一 都是“的 ”。绝 这种 加 的“埃德加? ? 的子的 话出在他的 故事的 ， 为“ 丽?特”。一 子，一枚，一个赌，或者任何一种随 ，都会产 一 事，这事 论如何也不会 这种 过去 的。如果 们总愿意 种赌currency1 误，那么一个有意义的fifl 就是假一 实际的赌currency1 误为”的赌 。 如，一个 可反 ， 是在同一面出现三 ，才与另一 克牌 赌。他总是赌 反的那一面。句话说，就是在三 出现 徽，他赌字；在三 出现字，他赌 徽。 了， 如说赌了50 ，这时他手的牌绝不会好与开始时一 ，但应该是差不的。也就是说他赌
36、赌 的概 是 等的。2四 的性别M：很 出误的概 计算。这儿有两 已住在一 。V1：亲爱的，我们的房有几 ？V2： 不会 ？四 ， 这个 。V1：几 ？V2：很说，我也不知道呢。V1：四 都是 的不太可能。 V2：也不可能四 都是 。V1：也许 有一 是 。V2：或许 有一 是 。V1：这也不是很 出 的，亲爱的。 是 是 的 会是一半一半，所很明显， 有可能的结果是两个 的，两个 的。 不能们算出 吗？M： 的 不？ 我们 验的 论。B 示 ，G 示 ，这就很 出 种同等可能的情况。M：在 种 有两种是所有都具有同 性别，所，这种情况发 的概 是2/16，或1/8。认为这种情况具有 低概 是
37、的。M：现在， 我们 验一下22 配， 认为这是可能性 大的一种。这种情况有 ，所其概是6/16，或3/8。这显然 1/8高。 也许是的。M：可是，我们 有一个更大可能的情况 考fi：31 配， 于这种情况有8 ，其概 是8/16，或1/2。这就 22 配高。我们大概是 了吧？M：如果我们算出的概 是的，们 加应等于l。加一加果然为1。这就 我们说明，三种情况都会发 ， 了， 可能的情况是31，而不是22。一 四个孩子 可能的情况是三个孩子是一种性别，另一孩子是另一种性别，而不是两个孩，两个女孩，这一点使大 惊讶。在班 里，4个反 很 出 验。将 结果 下 。在了100 ，差不 有50 是31
38、 “，而22 “大是33 。在做了这个练 ， 也许希 的 一项任务，决定在一个有五个孩子或 个孩子的 庭不同性别 “的概 。 于这是令人味的， 他在 出所有 “时， 再 他介绍节时间的公式就是 好的时 。个类的问 是关于一手桥牌四种花色的 可能 布，其答fl也同 违反”觉。 不可能的情 自然是拿 同一花色的13 牌（ 拿 这手牌的可能性是158753389899 一）。可是 可能出现的情况是么呢？使是很有经验的桥牌手也 答fl是4，3，3，3。这就了。 可能的一手牌是4，4，3，2。可 这类牌大 五圈拿 一 ；而4，3，3，3这种 布则大 九圈或 圈才能拿一 。就是5，3，3，2这种 布也可能
39、是 圈拿一 。 瓦德?雅可 的怎 预测手气出了 种可能的花色 布概 。有才能的 袖珍计算器可证实雅可此的预测 一项有趣的。在报纸上， 是不是会看 人 一手完的桥牌的故事。 这种牌的可能性小 天文字 示，因此故事几乎 定是假的， 不，在牌人 就有人着实在 鬼，他偷偷牌排好了。 不然就可能是刚拿出一副牌， 人 意了两 完的洗牌。完的洗牌就是这副牌格半 ，然两边的牌一 一 交叠。洗两 ，这副牌就是四种花色顺 交。这时 论怎 发牌，都 四手完的牌。3三 的骗局M：在很 赌 ，若 概 认识的”觉将会是不幸的。这里有一个三 和一顶帽子的赌 子，可证明这一点。M： 子反可 看出 的 。第一 两面都是圆圈。间
40、那 ，一面是黑点，一面是小圈。 一 则两面都是黑点。M：庄 放在帽子里摇晃， 一 。放 桌子上。然，他与 等的赌 ， 赌下面两圈点是和上面的一 。我们假定 出的 上是小圈。M：庄 为了哄 ， 为这个赌是公的，就说 的 不可能是黑点黑点 。因此， 么是小圈小圈 ， 么是黑点小圈 。下面的不是黑点， 是小圈，所 和他的 会 等。M： 是这个 是公的，庄 怎么会这 快就赚了 的 呢？这是因为他的话是骗人的。实际情况是2 1他有 。M：关键是同 可能的情况有三种，而不是两种。出的 可能是小圈黑点，或者是A面 上的小圈小圈，也可能是B面 上的小圈小圈。面与上面一致的情况有两种。因此，在了 ，庄 就会是大
41、三回里两回。这个 是沃德? 计的，沃德是的 ，息论的建者一。他曾在1950年10fl 人关于“概 ”一文介绍过这个内。下面是这个赌的真实情况的种说明。三 有两 是两面圈点一 的。如果 帽子随 ，那么 这种两面圈点一致的 的概 是2/3。因此，出的 与上面圈点 同的概 就是2/3。 是称为 特德 的悖论的翻版。在 特德，一 德 将 一 ，于1889年发 。 特德 有三个 子。一个着两枚 ，一个着两枚银，一个一枚银一枚 。三个 子混 ，然随意 一个 子，显然这个 子里着两个一 的 的概 是2/3。然而，假定我们 出的 子拿出一枚 ，看 是 的。这就是说， 子里的不可能是两枚银。因此，必然是两枚 ；
42、或一枚 ，一枚银。 于这两个 子任何一个currency1 的 会 等，看 乎我们 两枚同 的概 降 了1/2。如果我们 出的是银，也会 出同 的结论。出 的一枚 看一看，怎么就 了 两枚同 的概 呢？显然这是不可能的，这 就说明了上面在里。这里有一个 关的悖论 们是会觉 很有意fl的。如果 三枚，们掉下 完全一致的概 是么？三个 少有两个是 的，另外那个 么与这两个一 ， 么就是不同的。 于出现这两种情况的 会均等，故与另两个是 一致的 会就是 等的。这 ，看 所有三个都一 的概 就是1/2。我们 将八种可能的情况 如下，就可 明这种 论是的：H H H T H HH H T T H TH
43、T H T T HH T T T T T看 出 ， 有两种情况是三个都 同 花纹。因此确的概 应是2/8=1/4。另一个出人意料的小悖论也是 于在考fi所有可能的情况时发现误而引 的。说的是一个孩有一个玻璃 ，一个女孩有两个玻璃 。他们 竖在上的一柱 ，玻璃 接近柱者胜。假定孩和女孩技巧完全 同，测量也足 精确而不会引 纠纷。女孩的概 是么？点一：女孩 两个玻璃 ，孩 一个，因此女孩的概 是2/3。点 ：女孩的玻璃 做A和B，孩的 做C，就有四种可能的情况：（1）A和B都 C更接近柱。（2）仅A C 接近柱。（3）仅B C 接近柱。（4）C A和B都接近柱。这四种情况三种都是女孩，所女孩的概 是3/4。为了 决这个问 ，我们 出全部可能的情况，是 种而不是四种。按三个 接近柱的 序，使 近者在前， 如下：A B CA C BB A CB C AC A BC B A在 种情况有四 是女孩。这就证明了第一种 点，女孩的 会是4/
