1、平面任意力系,第三章 平面任意力系,基本问题：,（1）平面任意力系的简化；,（2）平面任意力系的平衡条件及其应用；,要 点：,物系平衡问题的求解,平面任意力系：,作用线位于同一平面内，既不汇交于一点，也不完全互相平行的力系。,分析方法：,平面任意力系,=平面汇交力系 平面力偶系, 可以把作用于刚体上点A的力F平行移到任一点B，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶的力偶矩矢等于原来的力F对新作用点B的矩矢。,4-1 力的平移,平面内一力和一力偶的合成,结论：平面内的一力和一力偶可合成为作用线偏离距离 d 的一个力。,若M0，则顺 F 的方向右偏距离 d;,若M0，则顺 F 的方向左偏距离 d。,
2、一、力线平移定理,定理的表述：,作用于刚体的力 F 可等效地平移到刚体上的任一点O，但须附加一力偶，此附加力偶矩 M 等于原力对平移点O 的矩。,4-1 力的平移,力的平移定理应用,（1）为什么钉子有时会折弯？,（2）乒乓球为什么会旋转？,（3）船上人划浆,4-1 力的平移,结论：,平面 任意力系,向一点O简化,一个力偶M,一个力,作用于简化中心O,作用于原力系平面内,主矢与主矩及其计算,简化过程：,将力系向已知点 O 简化 O 点称为简化中心。,力线平移,合成汇交力系,合成力偶系,原力系的主矢,原力系对O点的主矩,主矢与简化点O位置无关,主矩与简化点O位置有关,4-2 平面任意力系向一点简化
3、,主矢的投影：,主矢的大小：,主矢的方向：,主矩的计算：,主矢的计算：,2. 平面任意力系简化的最后结果,力系简化为合力偶, 因为力偶对于平面内任意一点的矩都相同，因此当力系合成为一个力偶时，主矩与简化中心的选择无关。,力系简化为合力,合力的作用线通过简化中心,原力系平衡,力系平衡,100N,200 Nm,2 直角构件受力F=150N，力偶M=Fa作用。a=50cm， =30。试求平面力系向A点简化的结果及最后简化结果。并示于图上。,2.,在刚体同一平面内A、B、C三点上分别作用,三个力，并构成封闭三角形， 则此力系_。,A、平衡,B、可能简化为合力,C、可能简化为合力偶,A,B,C,在长方形
4、平板的O，A，B，C点上分别作用着有四个力：F1=1 kN，F2=2 kN，F3=F4=3 kN（如图），试求以上四个力构成的力系对O点的简化结果，以及该力系的最后合成结果。,F1,F2,F3,F4,O,A,B,C,x,y,2m,3m,30,60,求向O点简化结果,解：,建立如图坐标系Oxy。,所以，主矢的大小,1.求主矢 。,2. 求主矩MO,最后合成结果,FR,O,A,B,C,x,y,MO,d,由于主矢和主矩都不为零，所以最后合成结果是一个合力FR。如右图所示。,主矢的方向：,合力FR到O点的距离,平面任意力系平衡的解析条件：所有各力在两个任选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对
5、于任意一点矩的代数和也等于零。, 几点说明：,（1）三个方程只能求解三个未知量；,（2）二个投影坐标轴不一定互相垂直，只要不平行即可；,（3）投影坐标轴尽可能与多个未知力平行或垂直；,（4）力矩方程中，矩心尽可能选多个未知力的交点。,平衡方程,4-3 平面任意力系的平衡条件,1. 平面任意力系平衡方程的基本形式,解： （1）取刚架为研究对象,解上述方程，得,（2）画受力图,（3）建立坐标系，列方程求解,（1）固定端支座,既不能移动，又不能转动的约束 固定端（插入端）约束,（2）分布载荷的合力,dP=q(x)dx,主矢大小：,力系对A点的主矩为：,合力作用线位置：,以A点为简化中心, 两个特例,
6、(a) 均布载荷,(b) 三角形分布载荷,解：取AB梁为研究对象,解上述方程，得,解上述方程，得,解 法 2,解上述方程，得,解 法 3,解上述方程，得,（A、B、C 三点不得共线）,（x 轴不得垂直于A、B 两点的连线）,2. 平面任意力系平衡方程的其它形式,基本形式,二力矩式,三力矩式,二力矩式证明,充分性：,则,若简化为合力，合力 过A 点。,又有,合力 过B 点。,因为：,且,不垂直于 x 轴，,必要性：,所以不可能简化为合力偶,所以不可能简化为合力，于是力系为平衡力系。,解上述方程，得,解：取三角形板ABC为研究对象,小 结：,平面力系的简化与合成,平面 力系简化,向一点O 简化,一
7、个力偶,一个力,作用于简化中心O,作用于原力系平面内,力线平移定理,与简中心O点位置无关,与简中心O点位置有关,平面 力系合成,一个合力偶：,平 衡：,一 个 合 力：,作用于简化中心,偏离简化中心距离d,平面力系的平衡条件（方程）,作用于原力系平面内,基本形式：,二力矩式:,三力矩式:,平衡的充要条件,应用条件：,应用条件：,平面固定端约束及其约束反力,固定端约束简图,平面力系的合力矩定理,应用：,当力臂不易确定时，将力分解成几个力臂易确定的力求解。,求分布力的合力及其作用线位置。,（1）均匀分布力, 合力的大小：,矩形的面积, 合力作用线位置：,由合力矩定理：,即：,过面积形心,（2）三角
8、形分布力, 合力的大小：,三角形的面积, 合力作用线位置：,过三角形面积形心,梁AB上受到一个均布载荷和一个力偶作用，已知载荷集度（即梁的每单位长度上所受的力）q = 100 N/m，力偶矩大小M = 500 Nm。长度AB = 3 m，DB = 1 m。求活动铰支D和固定铰支A的约束力。,B,A,D,1 m,q,2 m,M,例 题,解：,1.取梁AB为研究对象。,2.受力分析如图。,其中F=qAB =300 N；作用在AB 的中点C。,FD,3.选如图坐标系，列平衡方程。,4.联立求解，可得 FD= 475 N， FAx= 0 ， FAy= 175 N,3. 平面平行力系的平衡条件,（A、B
9、两点的连线不得与各力平行）,二个方程只能求解二个未知量,二力矩式,解：取梁ABCD为研究对象,解得：,解：取起重机为研究对象,（1）满载时，其限制条件是：FNA0,（2）空载时，其限制条件是：FNB0,因此，P2必须满足：,4-4 刚体系的平衡,刚体系 若干刚体用约束联结起来的系统。,刚化原理 变形体在某一力系作用下处于平衡，若将此变形体刚化为刚体，其平衡状态保持不变。,刚体系平衡时，系中每一个刚体都处于平衡，根据刚化原理，可将刚体系整体或部分刚化为一个刚体，同样处于平衡状态，其求解过程和求解单一刚体平衡问题的步骤基本相同。,解得:,解：(1)取整体为研究对象,解上述方程，得,(2)取AB为研
10、究对象,代入（3）式得,解：(1) 取整体为研究对象,解得：,(2) 取曲杆CD为研究对象,解得：,(2)取CDE为研究对象,解上述方程，得,解：(1)取整体为研究对象,解得:,(3) 取BEG为研究对象,解得:,代入（3）式得:,解：(1) 取整体为研究对象,(2) 取DEF杆为研究对象,解得：,(3) 取ADB杆为研究对象,解得：,解：(1) 取BC为研究对象,解得:,(2) 取AC为研究对象,解得:,组合梁结构研究对象的选取顺序：,基本部分：单独可承载并能平衡的部分；,附属部分：不可单独承载部分。,选取顺序：先附属部分，后基本部分。,附属部分,基本部分,基本部分,附属部分,基本部分,基本
11、部分,附属部分,附属部分,基本部分,例：,解：,图示组合梁，已知：q，P，a。求：A，C支座的反力及中间铰链B处的压力。,（1） 梁BC,（1）,（2）,（3）,由此求得：,（2） 梁AB,（4）,（5）,（6）,由此求得：,转向如图,方向如图,求 FAx、FAy、MA 也可以整体为研究对象,（3） 整体,（7）,（8）,（9）,由此求得：,转向如图,方向如图,讨论：,（1）列出9个方程，仅有6个方程独立。,（2）对分布力，先拆后用等效集中力代替。,（3）固定端约束反力。,解：(1) 取整体为研究对象,(2) 取DEF杆为研究对象,解得：,(3) 取ADB杆为研究对象,解得：,解：(1)取BC
12、杆为研究对象,解得：,(2)取AB杆为研究对象,解得：,代入（3）式解得：,(3)取CD杆为研究对象,解得：,例：,解：,三铰拱结构。已知：G1 = G2 = G = 40kN，P = 20kN，F = 10kN，图中尺寸单位为m。求固定铰支座A、B 和中间铰链C的反力。,（1）整体,(1),(2),(3),由（1）和（2）求得,方向如图,（2）左半拱,(4),(5),(6),由(4)、(5)、(6) 求得,再由（3）得,(3),Fcy实际方向与图中相反，其余各力方向如图。,讨论：,（1）,属静定结构问题，研究对象的选取步骤是：先整体分析，尽可能先求出部分未知量；然后，再将系统拆开，选择未知量
13、少于3个物体为研究对象分析。,（2）,再可取右半拱为研究对象分析求解。,（3）,拱脚不等高情形的处理。,（3）,拱脚不等高情形的处理。,方法一、,方法二、,例：,解：,破碎机简图。已知：OA = 0.1m，BC = BD = DE = 0.6m，F =1000N，F 垂直于DE，EH = 0.4m，图示位置OA与CD都垂直OB，=30，=60，不计各杆自重。试按平衡条件求出图示位置时电机作用于曲柄 OA 的力偶矩 M 的值。,分析：,本题属机构问题。,研究对象的选取顺序：,从已知力所在构件开始，按运动或力的传递途径，顺序选取研究对象。,（1）杆EHD,(1),（2）铰链B,(2),(3),（3
14、）曲柄OA,(4),注意：机构问题研究对象的选取顺序。,如图所示为曲轴冲床简图，由轮I ，连杆AB和冲头B组成。A，B两处为铰链连接。OA=R，AB=l。如忽略摩擦和物体的自重，当OA在水平位置，冲压力为F时系统处于平衡状态。求：（1）作用在轮I 上的力偶之矩M的大小；（2）轴承O处的约束反力；（3）连杆AB受的力；（4）冲头给导轨的侧压力。,例 题,1. 取冲头为研究对象，受力分析如图所示。,列平衡方程,解方程得,解：,2. 取轮I为研究对象，受力分析如图所示。,列平衡方程,解方程得,平面力系平衡问题求解小结：,（1）选择恰当的研究对象, 组合静定梁问题；, 静定结构问题；, 机构平衡问题。
15、,三类问题：,一般所选研究对象上未知量数不超过3个。,（2）正确取分离体受力分析,（3）适当选取投影坐标轴和矩心，列写平衡方程。,刚体系平衡问题求解步骤和特点：,1、正确选取研究对象,2、受力分析,（1）先从二力杆入手；,（2）严格按照约束性质画出相应的约束力，不能凭主观臆断；,（3）只画外力，不画内力；,（4）物体间的相互作用要统一；,（5）铰链的反力通常用二力表示；,3、适当选取坐标轴,4、列平衡方程，解未知量,（1）尽可能避免方程中出现不需要求出的未知量；,（2）先从未知量少的方程入手，尽可能避免解联立方程；,（3）校核；,一般先考虑整体，对组合梁，可先考虑辅助部分；,4-5 静定与静不
16、定问题的概念,静定体系：未知量数目少于或等于独立平衡方程数目,静不定体系：未知量数目多于独立平衡方程数目,刚体系平衡问题的独立平衡方程数目：,设刚体系统有 n 个刚体 组成，每个所作用的力系均平面任意力系，则系统所具有的独立平衡方程数为：,3n （个）,若刚体系统由n1各受平面任意力系作用的刚体，n2个受平面汇交力系或平面平行力系作用的刚体以及n3个受平面力偶系作用的刚体组成，那么系统可能有的独立平衡方程数目在一般情况为：,m=3n1+2n2+n3,系统的未知量数 系统所具有的独立平衡方程数目 静定问题；,系统的未知量数 系统所具有的独立平衡方程数目 静不定问题。,三、静定与静不定概念,系统中
17、多余未知的个数 称为静不定次数,结论与讨论,1. 力的平移定理：平移一力的同时必须附加一力偶，附加力偶的矩等于原来的力对新作用点的矩。,2. 平面任意力系向平面内任选一点O简化，一般情况下，可得一个力和一个力偶，这个力等于该力系的主矢，即,作用线通过简化中心O。这个力偶的矩等于该力系对于点O的主矩，即,3. 平面任意力系向一点简化，可能出现的四种情况。,4. 平面任意力系平衡的必要与充分条件是：力系的主矢和对任一点的主矩都等于零，即：,（A、B、C 三点不得共线）,（x 轴不得垂直于A、B 两点的连线）,平面任意力系平衡方程的形式,基本形式,二力矩式,三力矩式,5. 其它各种平面力系都是平面任意力系的特殊情形，其平衡方程如下：,6.平面 任意力系平衡问题求解小结：,（1）选择恰当的研究对象, 组合静定梁问题；, 静定结构问题；, 机构平衡问题。,三类问题：,一般所选研究对象上未知量数不超过3个。,（2）正确取分离体受力分析,（3）适当选取投影坐标轴和矩心，列写平衡方程。, 平面桁架问题。,
