1、,材料力学,第五章 平面图形的几何性质,51 静矩和形心 52 极惯性矩、惯性矩、惯性积、惯性半径 53 平行移轴公式,54 转轴公式* 主惯性轴 主惯性矩,第五章 平面图形的几何性质,5-1 静矩和形心,一、面积（对轴）矩：(与力矩类似)是面积与它到轴的距离之积（用S表示）。,几何性质,微面积dA对X轴的静矩,微面积dA对Y轴的静矩,C,or,量钢：L3,如S=0 轴过形心,二、组合截面的静矩与形心：,整个图形对某轴的静矩， 等于图形各部分对同轴静矩的代数和（由静矩定义可知）,则,几何性质,例1 试确定下图的形心坐标。,解 ： 1.用正面积法求解，图形分割 及坐标如图(a),几何性质,2.用
2、负面积法求解，图形分割及坐标如图(b),图(b),C1（0,0） C2（5,5）,验证：34.7 + 20.3 + 5 = 60,几何性质,5-2 极惯性矩、惯性矩、惯性积、惯性半径,二、惯性矩： 是面积与它到轴的距离的平方之积。,一、极惯性矩：是面积对极点的二次矩。,图形对x轴的惯性矩: 图形对y轴的惯性矩:,图形对O点的极惯性矩:,量钢：L4,量钢：L4,几何性质,三、惯性积：面积与其到两轴距离之积。,如果 x 或 y 是对称轴，则Ixy =0,图形对xy轴的惯性积:,量钢：L4,图形对x轴的惯性半径: 图形对y轴的惯性半径:,四、惯性半径,几何性质,5-3 平行移轴公式,一、平行移轴定理
3、：,以形心为原点，建立与原坐标轴平行的坐标轴如图,几何性质,注意: C点必须为形心,同理:,图形对某坐标轴的惯性矩, 等于它对过形心且平行于该轴的坐标轴之惯性矩加上图形面积与两轴距离平方和的乘积.,几何性质,例2 求图示圆对其切线AB的惯性矩。,解 ：求解此题有两种方法：一是按定义直接积分；二是用平行移轴定理等知识求。,B,建立形心坐标如图,求图形对形心轴的惯性矩。,A,d,圆,几何性质,二、组合截面的惯性矩：,组合截面对某坐标轴的惯性矩(积), 等于其中各部分对同一坐标轴惯性矩 (积)之和.,几何性质,5-4 转轴公式 主惯性轴 主惯性矩,一、 惯性矩和惯性积的转轴定理,几何性质,几何性质,
4、二、截面的形心主惯性轴和形心主惯性矩,1.主惯性轴和主惯性矩：如坐标旋转到= 0 时；恰好有,则与 0 对应的旋转轴x0 ,y0 称为主惯性轴。即平面图形对其惯性积为零的一对坐标轴.,平面图形对主轴之惯性矩为主惯性矩。,几何性质,2.形心主轴和形心主惯性矩：,形心主惯性矩：,若平面图形有两个对称轴,此二轴均为形心主轴;,若平面图形有一个对称轴,则该轴为一形心主轴, 另一形心主轴过形心, 且与该轴垂直.,主惯性轴过形心时，称其为形心主轴。,平面图形对形心主轴之惯性矩，称为形心主惯性矩.,几何性质,3.求截面形心主惯性矩的方法,建立坐标系,计算面积和面积矩,求形心位置,建立形心坐标系；求：IyC ， IxC ， IxCyC,求形心主轴方向 0,求形心主惯性矩,几何性质,例3 在矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形的形心主轴。(b=1.5d),解： 建立坐标系如图。,求形心位置。, 建立形心坐标系；求：IyC ， IxC ， I xCy,d,b,2d,几何性质,d,b,2d,几何性质,结 束,
