1、课时作业( 二十一)1若 3x2(xa)0，则向量 x 等于( )A2a B2aC25a D25a答案 B解析 由题知 3x2x2a0，x2a.2已知向量 a、b 不共线，ckab(kR )，dab，如果 cd，那么( )Ak1 且 c 与 d 同向 Bk1 且 d 与 c 反向Ck1 且 c 与 d 同向 Dk1 且 d 与 c 反向答案 D解析 由 cd，得 cd，kab (ab)即 即 cab 且 cd.k ，1 ，) k 1， 1，)3在四边形 ABCD 中， a2b， 4ab， 5a3b，其中 a，b 不共线，AB BC CD 则四边形 ABCD 为( )A梯形 B平行四边形C菱形
2、D矩形答案 A解析 a2b， 5a3b，因为 a 与 b 不共线，所以 与 不共线，所以 ABAB CD AB CD 与 CD 不平行又 8a2b，显然 2 ，所以 ADBC ，所以AD AB BC CD AD BC 四边形 ABCD 为梯形，故应选 A.4设 e 是与向量 共线的单位向量， 3e，又向量 5e，若 ，则 ( )AB AB BC AB AC A. B.23 32C D32 23答案 C解析 3e 5 e2e，由 得 3e( 2)e， .AC AB BC AB AC 325在ABC 中，已知 D 是 AB 边上一点，若 2 ， ，则 ( )AD DB CD 13CA CB A.
3、B.23 13C D13 23答案 A解析 2 2( )CD CA AD CA DB CA CB CD 2 2 ，CA CB CD 3 2 .CD CA CB .CD 13CA 23CB ，故选 A.236设 a 是任一向量，e 是单位向量，且 ae，则下列表示形式中正确的是( )Ae Ba| a|ea|a|Ca|a|e Da|a|e答案 D解析 对于 A，当 a0 时， 没有意义，错误a|a|对于 B、C 、D 当 a0 时，选项 B、C、D 都对；当 a0 时，由 ae 可知，a 与 e 同向或反向，选 D.7平面上点 P 与不共线三点 A、B 、C 满足关系： ，则下列结论正确的PA P
4、B PC AB 是( )AP 在 CA 上，且 2 BP 在 AB 上，且 2CP PA AB PB CP 在 BC 上，且 2 DP 点为ABC 的重心BP PC 答案 A解析 ， .AB AP PB PA PB PC AP PB ， 2 .P 在 CA 上，且 2 ，故选 A.PA AP PC CP PA CP PA 8已知 O 是ABC 所在平面内一点，D 为 BC 边中点，且 2 0，那么( )OA OB OC A. B. 2AO OD AO OD C. 3 D2 AO OD AO OD 答案 A解析 延长 OD 至 E，使| | |，DE OD 2 ，OB OC OE OD 2 OA
5、 OB OC 2 2 0.OA OD 0.OA OD ，故选 A.OD OA AO 9点 C 在线段 AB 上，且 ，则 _ ， _ .ACCB 32 AC AB BC AB 答案 35 2510在ABCD 中， a， b， 3 ，M 为 BC 的中点，则 _(用AB AD AN NC MN a，b 表示)答案 b a14 1411若ABCD 的中心为 O，P 为该平面上一点， a，则PO _PA PB PC PD 答案 4a解析 PA PB PC PD ( )( )( )( )4 4a.PO OA PO OB PO OC PO OD PO 12在平行四边形 ABCD 中，E 和 F 分别是边
6、 CD 和 BC 的中点，若 ，其AC AE AF 中 ，R，则 _答案 43解析 设 a， b，则 a b， b a， ab，所以AB BC AF 12 AE 12 AC ( b a)( ba)( )b( )aab.又 a，b 不共线，所以AC AE AF 12 12 12 12解得 ，所以 ，故填 . 12 1，12 1，) 23 43 4313设 e1，e 2是两个不共线的向量，已知 2e 1ke 2， e 13e 2， 2e 1e 2，若AB CB CD 三点 A、B、D 共线，求 k 的值解析 (2e 1e 2)( e13e 2)e 14e 2，BD CD CB 因为 A、B、D 共
7、线，所以存在 R ，使 ，AB BD 即 2e1ke 2(e 14e 2)所以 所以 k8.2 ，k 4，)重点班选做题14.如图所示，已知AOB 中，点 C 与点 B 关于点 A 对称，2 ，DC 和 OA 交于点 E，设 a， b.OD DB OA OB (1)用 a 和 b 表示向量 ， ；OC DC (2)若 ，求实数 的值OE OA 解析 (1)由题意，A 是 BC 的中点，且 ，由平行四边形法则， 2 .OD 23OB OB OC OA 2 2ab， (2 ab) b2a b.OC OA OB DC OC OD 23 53(2) .又 (2ab)a(2 )ab， 2a b，EC D
8、C EC OC OE DC 53 ， .2 2 153 4515如图所示，平行四边形 ABCD 中，点 M 是 AB 的中点，点 N 在 BD 上，且 BN BD.13利用向量法证明 M、N、C 三点共线分析 转化为证明 .MC MN 证明 设 a， b，AB BC 则 a ( ab) a b， ab， 3 .MN MB BN 12 13 16 13 MC MB BC 12 MC MN .又它们有公共点 M，M、N、C 三点共线MC MN 1已知向量 ab，且|a|b|0，则向量 ab 的方向( )A与向量 a 方向相同 B与向量 a 方向相反C与向量 b 方向相同 D与向量 b 方向相反答案
9、 A解析 ab 且|a|b|0，所以当 a、b 同向时，ab 的方向与 a 相同，当 a、b 反向时，|a|b|，a b 的方向仍与 a 相同2已知四边形 ABCD 是一菱形，则下列等式中成立的是( )A. B. AB BC CA AB AC BC C. D. AC BA AD AC AD DC 答案 C解析 对于 A， ；对于 B， ；对于AB BC AC CA AB AC BC C， ，又 ， ；对于 D， .AC BA BA AC BC AD BC AC BA AD AC AD DC 3在边长为 1 的正三角形 ABC 中，| |的值为( )AB BC A1 B2C. D.32 3答案
10、D解析 作菱形 ABCD，则| | | | .AB BC AB AD DB 34已知 a0，R，下列叙述正确的是 ( )aa；a 与 a 方向相同； 是单位向量；若 |a|a|，则 1.a|a|A BC D答案 B解析 a0，必有 aa ，而 是与 a 同向的单位向量，故、正确；对于，当 0a|a|时，a 与 a 同向，而 |a| |a|a| |11 或1，故、错误5O 是平面上一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足 ， 0，)，则点 P 的轨迹一定通过ABC 的( )OP OA AB |AB |AC |AC |A外心 B内心C重心 D垂心答案 B解析 表示向量 上以 A
11、为始点的单位向量，记为 e1； 表示向量 上以 A 为始AB |AB | AB AC |AC | AC 点的单位向量，记为 e2，由平行四边形法则可知，当 0 ，)时， (e1e 2)即为BAC 的内角平分线上以 A 为始点的向量，作出图形可知，应选 B.6化简：( )( )_AB CD AC BD 答案 0解析 解析 1：( )( )( )( ) 0.AB CD AC BD AB BD DC CA AD DA 解析 2：( )( ) AB CD AC BD AB CD AC BD ( )( ) 0.AB AC DC DB CB BC 7若菱形 ABCD 的边长为 2，则| |_AB CB C
12、D 答案 2解析 菱形 ABCD 的边长为 2，| | | | |2.AB CB CD AB BC CD AC CD AD 8设 e1、e 2 是两个不共线向量，be 1e 2(R )，a2e 1e 2，若 a、b 共线，则_答案 12解析 由向量共线定理知，存在实数 k，满足 bka，即 e1e 22k e1ke 2， 2k 1， k ，) k 12， 12.)9已知非零向量 e1、e 2 不共线，若 e 1e 2， 2e 18e 2， 3( e1e 2)求证：AB BC CD A、B、D 三点共线分析 证明三点 A、B、D 共线等价于 ，由向量的加减法则以及平行向量基本定理，AB BD 即
13、可寻求出它们的关系解析 2e 1 8e23e 13e 25e 15e 25( e1e 2)5 ，BD BC CD AB 即存在实数 5 使得 ，因此向量 与 共线，又因为它们有公共点 B.BD AB BD AB A、 B、D 三点共线10.如图所示，在正八边形 ABCDEFGH 中，a， b， c ， d， e ：AB BC CD DE EF (1)试用已知向量表示 ；FB (2)试用已知向量表示 .CG 解析 (1)由图可知， (bcde)；FB BF (2)由图可知， cde cde cd eb.CG FG BC 11.如图所示，已知正方形 ABCD 的边长等于 1， a， b， c ，试AB BC AC 作出下列向量，并分别求出其长度：(1)abc；(2)abc.解析 (1)由已知得 ab ，又 c，延长 AC 到 E，AB BC AC AC 使| | | |.则 abc ，且| |2 .CE AC AE AE 2|abc|2 .2(2)作 ，连接 CF，则 ，BF AC DB BF DF 而 a ab，DB AB AD BC a bc 且| |2.DB BF DF DF |abc|2.
