1、解密 11 等差数列、等比数列高考考点命题分析 三年高考探源 考查频率等差数列2018 新课标全国 42018 新课标全国 II 172017 新课标全国 42017 新课标全国 II 152016 新课标全国 32016 新课标全国 17等比数列从近三年高考情况来看，等差数列和等比数列一直是高考的热点，尤其是等差数列和等比数列的通项公式及其性质，等差数列和等比数列的前n 项和等为考查重点，有时会将等差数列和等比的通项、前 n 项和及性质综合考查，题型有选择题、填空题，也有解答题，解题时要注意性质的应用，充分结合函数与方程、分类讨论、化归与方程等数学思想的运用.2018 新课标全国 17201
2、7 新课标全国 32017 新课标全国 142016 新课标全国 152016 新课标全国 III 17等差数列与等比数列的综合2017 新课标全国 III 9考点 1 等差数列、等比数列的基本运算题组一 等差数列基本量的计算调研 1 已知等差数列a n中， +a8=16， =1，则 的值为246aA15 B17C22 D64【答案】A【解析】由等差数列的性质可得 2a5=a2+a8=16，解得 a5=8，等差数列a n的公差 d=a5a4=81=7，a 6=a5+d=8+7=15.故选 A【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式，涉及等差数列的性质的应用，属基础题由等差数列的性质可得 a5，进
3、而可得数列的公差，而 a6=a5+d，代入化简可得调研 2 设 Sn 为等差数列a n的前 n 项和，若 a1=1，公差 d=2，S n2 Sn=36，则 n=A5 B6C7 D8【答案】D题组二 等比数列基本量的计算调研 3 在各项均为正数的等比数列a n中，若 ，则 a6 的值是_【答案】4【解析】设公比为 q(q0)，a 2=1，则由 得 ，即 ，解得 q2=2， .调研 4 设等比数列 的前 项和为 ，若 ，则nnS6SA B31 32C D6 4【答案】C【解析】方法一：很明显数列的公比 ，1q则由 ，得 ，即 ，所以 .124aq6S故选 C.方法二：很明显数列的公比 ，1q设等比
4、数列的前 n 项和为 ，由题意可得： ，解得： ，214Aq据此有： .本题选择 C 选项.【名师点睛】一是在运用等比数列的前 n 项和公式时，必须注意对 q1 或 q1 分类讨论，防止因忽略q1 这一特殊情形而导致解题失误二是运用等比数列的性质时，注意条件的限制.技巧点拨等差（比）数列基本量的计算是解决等差（比）数列题型时的基础方法，在高考中常有所体现，多以选择题或填空题的形式呈现，有时也会出现在解答题的第一问中，属基础题.等差(比) 数列基本运算的解题思路：(1)设基本量 a1 和公差 d(公比 q)(2)列、解方程组：把条件转化为关于 a1 和 d(q)的方程(组) ，然后求解，注意整体
5、计算，以减少运算量考点 2 等差数列、等比数列的判定与证明题组一 等差数列的判定与证明调研 1 已知数列 满足 =1， ，则 =_na1 na【答案】 2【解析】数列 满足 ， ，则 常数 ，na1 )所以数列 是以 为首项，2 为公差的等差数列n1则 ，所以 ，12na故答案为 .12n【名师点睛】本题主要考查了数列的递推关系式，等差数列的定义，等差数列的通项公式，属于中档题.根据递推公式可得 ，由等差数列的定义及通项公式可求出 .na调研 2 设数列a n的各项都为正数，其前 n 项和为 Sn，已知对任意 nN *，S n 是 a 和 an 的等差中项2n(1)证明：数列a n为等差数列；
6、(2)若 bn=n5，求a nbn的最大项的值并求出取最大值时 n 的值【答案】(1)见解析；(2) 当 n=2 或 n=3 时，a nbn的最大项的值为 6.【解析】(1)由已知可得 2Sn=a a n，且 an0，2n当 n=1 时，2a 1=a a 1，解得 a1=1；21当 n2 时，有 2Sn1=a a n1，2n 1所以 2an=2Sn2Sn1=a a a nan1，2n 2n 1所以 a a =ana n1，即 (ana n1)(anan1)=ana n1，2n 2n 1因为 ana n10，所以 anan1=1(n2)故数列a n是首项为 1，公差为 1 的等差数列(2)由(1
7、)可知 an=n，设 cn=anbn，则 cn=n(n5)=n 25n= 2 ，(n 52) 254因为 nN *，所以当 n=2 或 n=3 时，a nbn的最大项的值为 6.技巧点拨等差数列的判定与证明的方法：定义法： 或 是等差数列； na定义变形法：验证是否满足 ；等差中项法： 为等差数列；通项公式法：通项公式形如 为常数 为等差数列； )na前 n 项和公式法： 为常数 为等差数列注意：（1）若判断一个数列不是等差数列，只需找出三项 ，使得 即可；12,nna（2）如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法题组二 等比数列的判定与证明调研 3 已知数列 满足 ，且 ，则
8、 _na13a8【答案】 654【解析】由 可得 ，即数列 是以 为首项，以 为1na12公比的等比数列，即【名师点睛】本题考查数列通项公式的求法，属中档题.由 可得 ，由此求出数列的通项公式，即可得到 .8a调研 4 设数列a n的前 n 项和为 Sn，已知 a1=1，S n1 =4an2.(1)设 bn=an1 2an，证明：数列b n是等比数列；(2)求数列a n的通项公式 【答案】(1)见解析；(2) an=(3n1)2n2.【解析】(1)由 a1=1 及 Sn1 =4an2，得 a1a 2=S2=4a12.a 2=5，b 1=a22a1=3.又Error!，得 an1 =4an4an
9、1，a n1 2an=2(an2an1)b n=an1 2an，b n=2bn1，故b n是首项 b1=3，公比为 2 的等比数列.(2)由(1)知 bn=an1 2an=32n1， = ，an 12n 1an2n34故 是首项为 ，公差为 的等差数列an2n 12 34 = ( n1) = ，an2n12 343n 14故 an=(3n1)2n2.技巧点拨等比数列的判定与证明常用的方法：（1）定义法： 为常数且 数列 是等比数列1naq(0)qna（2）等比中项法： 数列 是等比数列n（3）通项公式法： 数列 是等比数列（4）前 项和公式法：若数列的前 项和 ，则该数列是等比数列nn其中前两
10、种方法是证明等比数列的常用方法，而后两种方法一般用于选择题、填空题中注意：（1）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可（2）只满足 的数列未必是等比数列，要使其成为等比数列还需要 .10a考点 3 等差数列、等比数列的性质题组一 等差数列性质的应用调研 1 设 是等差数列 的前 项和，若 ，则nSna5SA9 B11C5 D7【答案】C【解析】因为 ， ，所以 ，所以 ，31a所以 ，故选 C.【名师点睛】该题考查的是有关等差数列的问题，涉及的知识点有等差数列的性质与等差数列的求和问题，正确应用公式是解题的关键.首先根据等差数列的性质，得到 ，所以得到，从而求得
11、，之后应用等差数列的求和公式，得到结果.31a调研 2 若a n是等差数列，首项 a10，a 2 016a 2 0170， a2 016a2 0170 成立的最大正整数 n 是A2 016 B2 017C4 032 D4 033【答案】C题组二 等比数列性质的应用调研 3 已知等比数列 中， ， ， 为方程 的两根，则na0n1a9A32 B64C256 D 6【答案】B【解析】 ， 为方程 的两根，则 ，数列 是等比数列，1a9 19ana则 ，又 ，所以 .0na故选 B.【名师点睛】本题主要考查等比数列的性质的应用.由根与系数的关系可得 ，再利用等比中项196a的性质求 .20580a调
12、研 4 已知数列a n是等比数列，S n 为其前 n 项和，若 a1a 2a 3=4，a 4a 5a 6=8，则 S12=A40 B60C32 D50【答案】B【解析】由等比数列的性质可知，数列 S3，S 6S3，S 9S6，S 12S9 是等比数列，即数列 4,8，S 9S6，S 12S9是等比数列，因此 S12=481632=60，选 B技巧点拨等差（比）数列的性质是每年高考的热点之一，利用等差（比）数列的性质进行求解可使题目减少运算量，题型以选择题或填空题为主，难度不大，属中低档题.应用等差数列性质的注意点：（1）熟练掌握等差数列性质的实质等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前
13、n 项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题.（2）应用等差数列的性质解答问题的关键寻找项数之间的关系，但要注意性质运用的条件，如若 ，则 (,mnp，需要当序号之和相等、项数相同时才成立，再比如只有当等差数列a n的前 n 项和 Sn 中的 n 为)q*N奇数时，才有 Sn=na 中 成立.应用等比数列性质时的注意点：（1）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若 mn=pq，则aman=apaq”，可以减少运算量，提高解题速度（2）在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形
14、此外，解题时注意设而不求思想的运用.考点 4 等差数列与等比数列的综合调研 1 已知a n是等差数列，公差 d 不为零，前 n 项和是 Sn.若 a3，a 4，a 8 成等比数列，则Aa 1d0，dS 40 Ba 1d0，dS 40【答案】B【解析】由 a =a3a8，得(a 12d)(a 17d)=(a 13d) 2，整理得 d(5d3a 1)=0，又 d0，a 1= d，则2453a1d= d20，又S 4=4a16d= d，dS 4= d20，故选 B53 23 23调研 2 已知公差不为 0 的等差数列 ，满足： 成等比数列.n（1）求数列 的通项公式及其前 n 项和 ；n S（2）令
15、 ，求数列 的前 项和 .nbnT【答案】 （1） ；（2） .【解析】 （1）设等差数列 的首项为 ，公差为 ，na1d由于 成等比数列，即 ，43,a243又 ，37所以 解得 ，13,2ad由于 ，所以 .（2）因为 ，21na所以 ，因此故.所以数列 的前 项和 .nb【名师点睛】 （1）通过将已知各项用首项和公差表示，利用已知条件计算即得结果；（2）通过裂项可知 bn= ，利用裂项相消法求和即可考点 5 等差数列与等比数列的创新问题题组一 等差数列与等比数列的新定义问题调研 1 设 Sn 为数列 an的前 n 项和，若 (nN *)是非零常数，则称该数列为“和等比数列”若数列 cnS
16、2nSn是首项为 2、公差为 d(d0)的等差数列，且数列 cn是“和等比数列”，则 d=_.【答案】4数列新定义型创新题的一般解题思路：(1)阅读审清“新定义”；(2)结合常规的等差数列、等比数列的相关知识，化归、转化到“新定义” 的相关知识；(3)利用“新定义”及常规的数列知识，求解证明相关结论题组二 等差数列与等比数列的文化背景问题调研 2 九章算术 卷第六均输中，提到如下问题：“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升问中间二节欲均容，各多少？”其中“欲均容” 的意思是：使容量变化均匀，即每节的容量成等差数列在这个问题中的中间两节容量分别是A 升、 升 B 2 升、3 升 67413
17、C 升、 升 D 升、 升2 67【答案】D【解析】设从上而下，记第 节的容量为 升，故 ， ，设公差为 ，iia d则有 ，解得 ，故 ， ，13276d5763故选 D调研 3 古代数学著作九章算术 有如下问题：“ 今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的 2 倍，已知她 5 天共织布 5 尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，可求得该女子第 3 天所织布的尺数为A B 2031C D85 23【答案】A【解析】由题意可得该女子每天织布的尺数构成一个等比数列，且数列的公比为 2，前 5 项的和为 5，设首项为 ，前 n
18、项和为 ，1anS则由题意得 ， ， ，153a即该女子第 3 天所织布的尺数为 故选 A203【名师点睛】本题以中国古文化为载体考查等比数列的基本运算，解题的关键是正确理解题意，将问题转化成等比数列的知识求解，考查阅读理解和转化、计算能力由题意可得该女子每天织布的尺数构成一个等比数列，且数列的公比为 2，由题意求出数列的首项后可得第 3 天织布的尺数1 （陕西省汉中市汉中中学 2019 届高三数学第三次月考）设 为等比数列 的前 项和，nSna，则2580a52SA B1 8C5 D11【答案】A【解析】数列 为等比数列，设公比为 ,由 得 ,解得 .naq2580a2q则 .故选 A.【名
19、师点睛】本题考查等比数列的通项公式及前 n 项和.计算过程中先化简后代值可大大简化计算过程.由 可求出数列公比 ,再利用等比数列前 项和公式求 .2580a2q52S2 （安徽省蚌埠市第一中学 2019 届高三上学期期中考试数学试题）已知数列 为等差数列，且na，则 的值为A B3 3C D【答案】B【解析】由数列 为等差数列，可知 .na所以 ，有 .743a所以 .故选 B.【名师点睛】本题主要考查了等差数列性质，属于基础题.由等差数列的性质可知 ，解得 ，又 ，从而得解.7a3 （湖南省长沙市雅礼中学 2019 届高三上学期月考（一）数学试题）在数列 中， ，数列na1是以 3 为公比的
20、等比数列，则 等于n 32019logaA2017 B2018 C2019 D2020【答案】B【解析】 ，数列 是以 3 为公比的等比数列，1ana ， ，故选 B.【名师点睛】本题考查等比数列通项公式，考查指对运算性质，属于基础题.由等比数列通项公式得到，再结合对数运算得到结果.2019a4 （安徽省示范高中（皖江八校)2018 届高三第八联考数学试题）已知等差数列 的前 项和为 ,且nanS,则 5aA B2 4C D8 16【答案】C【解析】由 得 ，由等差数列的性质可得 ，又 ，则812a4，由此可求出 .8216a58a故选 C.【名师点睛】本题考查等差数列的有关性质，属中档题.5
21、 （山东省邹城市 2019 届高三上学期期中质量监测数学试题）已知数列 为等比数列， ，且na12a是 与 的等差中项，则 的值为1a352018aA 或 B 或2C D【答案】B【名师点睛】本题综合考查了等比数列和等差数列，考查了等差中项的应用问题，根据等差中项的定义，结合等比数列的通项公式列出方程，解方程，进而解决问题.运用等差中项概念和等比数列的通项公式求得公比 q，再由等比数列的通项公式计算 的值.2018a6 （安徽省 2019 届高三皖南八校第一次联考数学）设 是等差数列， ，且n，则 1bA59 B64C78 D86【答案】D【解析】设 的公差为 ，则nad，又 ，3n时，1，.
22、故选 D.186b【名师点睛】等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，另外，解等差数列问题要注意应用等差数列的性质 （ ）与前 项和的关系.由n可得 ，利用“累加法”，结合等差数列的求和公式可得结果.3na7 （四川省广安、眉山、内江、遂宁 2019 届高三第一次诊断性考试数学试题）已知正项等比数列 的na前 项和 ，满足 ，则 的最小值为nnS42S64SA B14 3C D 12【答案】D【解析】根据题意，设该等比数列的首项为 a1，第二项为 a2，公比为 q，若 S42S 2=3，则有 S42S 2=a1+a
23、2+a3+a42(a1+a2）=(a 3+a4)(a 1+a2)=(q21)(a 1+a2)=3，又由数列a n为正项的等比数列，得 q1，则有 a1+a2= ，所以 S6S 4=a5+a6=q4（a 1+a2）=q 4 =3（q 21）+ +26+32 =12，232当且仅当 q2=2，即 q= 时等号成立，则 S6S 4 的最小值为 12.故选 D【名师点睛】本题考查等比数列的性质以及基本不等式的性质以及应用，关键是分析 q 与（a 1+a2）的关系，属于中档题.8 （内蒙古鄂尔多斯市 2019 届高三上学期期中考试数学试卷）中国古代数学著作算法统综中有这样一个问题：“ 三百七十八里关，初
24、步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”.其大意为：“有一个人走 378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达目的地”.则该人第五天走的路程为A6 里 B12 里C24 里 D48 里【答案】B【解析】记每天走的路程里数为a n，由题意知a n是公比为 的等比数列，12由 S6=378，得 =378，解得：a 1=192， =12（里） 故选 B【名师点睛】本题考查等比数列的通项公式的运用，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用由题意可知，每天走的路程里数构成以 为公比的等比数列，由 S6=3
25、78 求得首项，再12由等比数列的通项公式求得该人第五天走的路程9 （贵州省铜仁市第一中学 2019 届高三上学期第二次月考数学试题）已知 是等差数列， ,na19a,那么使其前 项和 最大的 是_59SnnS【答案】7【解析】因为 ，故公差小于零，数列 的散点图对应的抛物线开口向下且对称轴为nS，故 时 最大x7nnS【名师点睛】等差数列的通项公式和前 和公式有如下函数特征：n（1）等差数列 的通项可写为 ，当 时，数列 的散点图分布在一次函数naakb0na的图象上，且直线的斜率就是公差ykxb（2）等差数列 的前 项和可写为 ，当 时，数列 的散点图分布在二次函na 0AnS数 上，该二
26、次函数的图象恒过 ，当 时，散点图开点向上，当 ，散点图0,d0d开口向下10 （湖南省长沙市雅礼中学 2019 届高三上学期月考二数学试题）等差数列 的公差 d0，a 3 是 a2，a 5na的等比中项，已知数列 a2，a 4， ， ， ，为等比数列，数列 的前 n 项和记为 Tn，1k2nkak则 2Tn9=_.【答案】 23【解析】因为数列 是等差数列，且 a3 是 a2，a 5 的等比中项，所以 ，即na 235a，因为公差 d0，所以解得 ，10因为数列 a2，a 4， ， ， ，为等比数列，所以其公比 ，1k2nka所以 ，由 是等差数列可知 ，所以 ，所以n，+13k所以 ，所以
27、 .【名师点睛】本题考查了等差数列与等比数列通项公式、求和公式的综合应用，注意项数与项的关系，属于难题.根据等差数列及等比中项的定义，求得首项；由等比数列前两项求得公比，进而利用等比数列通项公式与等差数列通项公式求得 ；利用等比数列及等差数列求和公式即可求得 Tn，代入即可求nk得 2Tn9.11 （山东省济南外国语学校 2019 届高三上学期期中（阶段）考试数学试题）设等差数列 满足na（1）求 的通项公式；na（2）求 的前 n 项和 Sn 及使得 Sn 最大的序号 n 的值【答案】 （1） ；（2） ， 时 Sn 最大.5【解析】 （1）设等差数列 的首项为 ，公差为 ，na1d依题意有
28、 ，解得 ，故 .（2） ，其对应函数的图象开口向下，对称轴为 ，5n故当 时 取得最大值.5nnS【名师点睛】本小题主要考查利用基本元的思想求等差数列的通项公式，考查等差数列前 项和公式的求法，考查等差数列前 项和的最大值.属于基础题.n12 （安徽省 A10 联盟 2019 届高三 11 月段考数学试题）已知等比数列 的首项为 2，前 项和为 ，nannS且 .（1）求数列 的通项公式；na（2）若 ，求数列 的前 项和 .2bnbnT【答案】 （1） 或 ；（2） 或 .na413n4n【解析】 （1）设等比数列 的公比为 ，n()q由 ，得 ，解得： 或 （舍去） ，2425q .2q
29、当 时， ；na当 时， .2q（2）当 时，n；当 时， .【名师点睛】本题考查了等比数列的基本量计算，考查了等比数列的性质，涉及了等比数列的通项公式与前 n 项和公式；在等比数列 中，每隔 k（ N*）项取出一项，按原顺序排列，所得数列仍na为等比数列，且公比为 qk+1.（1）根据已知条件，构造方程组，利用等比数列的前 n 项和公式，即可解得公比 q 的值，进而可得数列 的通项公式；na（2）根据（1）中所得通项公式，利用等比数列的性质和求和公式，分两种情况分别计算 .nT13 （福建省闽侯二中五校教学联合体 2018 届高三上学期期中考试数学试题）设数列 的前 项和为na，数列 的前
30、项和为 ，满足 .nSnnT（1）求 的值；1a（2）求证：数列 为等比数列；2n（3）求数列 的通项公式【答案】 （1）1；（2）证明见解析；（3） .【解析】 （1）当 n1 时，T 12S 11 2.因为 T1S 1a 1，所以 a12a 11，解得 a11. （2）当 n2 时，S nT nT n1 2S nn 22 Sn1 (n1) 22S n2S n1 2n1，所以 Sn2S n1 2n1， Sn+12S n2n1，得 an+12a n2. 所以 an+122(a n2)，即 ,当 n1 时，a 123，a 226，则 ，故 n1 时也满足上式21a因此数列a n2是以 3 为首项
31、，2 为公比的等比数列.（3）由（2）知，a n232 n1 ，即 an32 n1 2.【名师点睛】本题主要考查了数列的递推关系，及构造新等比数列求解数列桐乡公式，属于常规题型.（1）令 n1 时，代入条件直接求解即可；（2）当 n2 时，S nT nT n1 ，可得 Sn2S n1 2n1，进而有 Sn+12S n2n1，两式作差可得an+12a n2，变形得 an+122( an2)，从而得证；（3）由（2）可利用等比数列的通项公式求解，即可得解.14 （甘肃省兰州市第一中学 2019 届高三 9 月月考数学试题）在等差数列a n中， ，其前 n 项和为13a，等比数列b n的各项均为正数
32、，b 1=1，公比为 q，且 b2+S2=12， nS 2qb（1）求 an 与 bn；（2）求 的取值范围【答案】 （1） ；（2） .1,3【解析】 （1）设 的公差为 ，nad ， ，2bS2Sqb ，解得 或 (舍) ， . 34q3d故 .（2） ， ， ， ,1n ， ， ，即 .【名师点睛】本题主要考查了等差数列、等比数列的概念，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差、等比数列求和公式，分组求和类似于 ，nncab其中 和 分别为特殊数列，裂项相消法类似于 ，错位相减法类似于 ，nab nn其中 为等差数列， 为等比数列等.n（1）利用
33、等差数列的求和公式及等比数列的通项公式表示已知条件，然后解方程可求等比数列的公比 ，等差数列的公差 ，即可求解；qd（2）利用裂项法求和，即可得到结论15 （福建省莆田市第一中学 2019 届高三上学期第一次月考数学试题）设数列 的前 项和为 ，且nanS，数列 满足 ，点 在 上， .nb1a1,nPb *N（1）求数列 ， 的通项公式；na（2）设 ，求数列 的前 项和 nbcncnT【答案】 （1） ， ；（2） .13nan13n【解析】 （1）由 可得 ，两式相减得 ，即 又 ，所以 213a故 是首项为 1，公比为 3 的等比数列n所以 由点 在直线 上，得 1,nPb 12nb则
34、数列 是首项为 1，公差为 2 的等差数列则 【名师点睛】用递推关系 求通项公式时注意 的取值范围，所求结果要注意检验n的情况；由一个等差数列和一个等比数列的积组成的数列求和，常用错位相减法求解.1n（1）利用 与 的递推关系可以求 的通项公式； 点代入直线方程得 ，可知数列naSnaP12nb是等差数列，用公式求解即可.nb（2）用错位相减法求数列的和.1 （2018 新课标全国 I 理科） 设 为等差数列 的前 项和，若 ， ，则nSna12a5A B2 10C D0 2【答案】B【解析】设等差数列的公差为 ，根据题中的条件可得 ，d整理解得 ，所以 ，故选 B3d【名师点睛】该题考查的是
35、有关等差数列的求和公式和通项公式的应用，在解题的过程中，需要利用题中的条件，结合等差数列的求和公式，得到公差 的值，之后利用等差数列的通项公式得到 与d 5a的关系，从而求得结果.1ad,2 （2017 新课标全国 I 理科） 记 为等差数列 的前 项和若 ， ，则 的公nSna452a648Sn差为A1 B2C4 D8【答案】C【解析】设公差为 ， ，d，联立 解得 ，故选 C4d【秒杀解】因为 ，即 ，3416a则 ，即 ，解得 ，故选 C4d【名师点睛】求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如 为等差数列，若na，则 .3（2017 新课标全国 II 理科）我国古代数学名著
36、算法统宗 中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯A1 盏 B3 盏C5 盏 D9 盏【答案】B【解析】设塔的顶层共有灯 盏，则各层的灯数构成一个首项为 ，公比为 2 的等比数列，结合等比数xx列的求和公式有 ，解得 ，即塔的顶层共有灯 3 盏，故选 B3【名师点睛】用数列知识解相关的实际问题，关键是列出相关信息，合理建立数学模型数列模型，判断是等差数列还是等比数列模型；求解时要明确目标，即搞清是求和、求通项、还是解递推关系问题，所求结论对应的是
37、解方程问题、解不等式问题、还是最值问题，然后将经过数学推理与计算得出的结果放回到实际问题中，进行检验，最终得出结论4（2017 新课标全国理科）等差数列 的首项为 1，公差不为 0若 a2，a 3，a 6 成等比数列，则na前 6 项的和为naA B 2 3C3 D8【答案】A【解析】设等差数列 的公差为 ，由 a2，a 3，a 6 成等比数列可得 ，即nad236a，整理可得 ，又公差不为 ，则 ，故 前 6 项的和00dna为 .故选 A【名师点睛】（1）等差数列的通项公式及前 n 项和公式共涉及五个量 a1，a n，d，n，S n，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题.（
38、2）数列的通项公式和前 n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而 a1 和 d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.5 （2016 新课标全国 I 理科） 已知等差数列 na前 9 项的和为 27， 108，则 10A100 B99C98 D97【答案】C【解析】由已知 所以 故选 C【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.6 （2018 新课标全国 I 理科）
39、 记 为数列 的前 项和，若 ，则 _nSna21nSa6S【答案】 63【解析】根据 ，可得 ，两式相减得 ，即 ，当21nSa 12na时， ，解得 ，所以数列 是以1 为首项，以 2 为公比的等比数列，所1n1na以 ，故答案是 .63【名师点睛】该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比着往后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等比数列，之后令，求得数列的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明确对既有项又有和的式子的1n变形方向即可得结果.7 （2017 新课标全国 II 理科）等差数列 的前 项和为 ， ， ，
40、则nanS3a410S_1nkS【答案】 2【解析】设等差数列的首项为 ，公差为 ，由题意有 ，解得 ，1ad 1ad数列的前 n 项和 ，裂项可得 ，所以 8（2017 新课标全国理科）设等比数列 满足 a1 + a2 = 1, a1 a3 = 3，则 a4 =_n【答案】 8【解析】设等比数列 的公比为 ，很明显 ，结合等比数列的通项公式和题意可得方程组：naq，由 可得： ，代入可得 ，由等比数列的通项公式可 21a得 【名师点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前 n 项和公
41、式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程.9（2016 新课标全国理科）设等比数列 满足 a1+a3=10，a 2+a4=5，则 a1a2 an 的最大值为 .n 【答案】 64【解析】设等比数列 的公比为 ，由 得 ，解得 .所以na(0)q182aq，于是当 或 时， 取得最大值3n412na.624【名师点睛】高考中数列客观题大多具有小、巧、活的特点,在解答时要注意方程思想及数列相关性质的应用,尽量避免小题大做.10（2016 新课标全国 II 理科） 为等差数列 的前 n 项和，且 记 ，其中nSa =lgnba表示不超过 x 的最大整数，如 .x（）求 ；101
42、b,（）求数列 的前 1000 项和.n【答案】 （） （）1893.【解析】 （）设 的公差为 ，据已知有 ，解得nad1.d所以 的通项公式为n.（）因为所以数列 的前 项和为nb10【名师点睛】解答新颖的数学题时，一是通过转化，化“新”为“旧”；二是通过深入分析，多方联想，以“旧”攻“新”；三是创造性地运用数学思想方法，以“新”制 “新”，应特别关注创新题型的切入点和生长点.11（2016 新课标全国 III 理科 ）已知数列 的前 n 项和 ，其中 a1nnSa0（I）证明 是等比数列，并求其通项公式；na（II）若 ，求 5312S【答案】 （I）证明见解析， ；（II ） .1（I
43、I）由（I）得 .由 得 ，即 .解得 .3215S 5)1(321【名师点睛】等比数列的证明通常有两种方法：（1）定义法，即证明 （常数） ；1naq（2）中项法，即证明 根据数列的递推关系求通项常常要将递推关系变形，转化为等比数列或等差数列来求解12 （2018 新课标全国 II 理科）记 为等差数列 的前 项和，已知 ， nSna17a315S（1）求 的通项公式；na（2）求 ，并求 的最小值Sn【答案】 （1）a n=2n9；（2）S n=n28n，最小值为16【解析】 （1）设a n的公差为 d，由题意得 3a1+3d=15由 a1=7 得 d=2所以a n的通项公式为 an=2n
44、9（2）由（1）得 Sn=n28n=（n4） 216所以当 n=4 时，S n 取得最小值，最小值为16【名师点睛】数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用函数性质，但要注意其定义域为正整数集这一限制条件.（1）根据等差数列前 n 项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果；（2）根据等差数列前 n 项和公式得 关于 n 的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为S正整数求函数最值.13（2018 新课标全国 III 理科 ）等比数列 中， na（1）求 的通项公式； na（2）记 为 的前 项和若 ，求 Sn63mS【答案】 （1） 或 ；（2） .1(2)1na【解析】 （1）设 的公比为 ，由题设得 .nq1naq由已知得 ，解得 （舍去） ， 或 .42q02故 或 .1()nna1na（2）若 ，则 .由 得 ，此方程没有正整数解.1(2)nn 63mS若 ，则 .由 得 ，解得 .1aSm24综上， .6m
