1、理论力学CAI 版权所有, 2000 (c) 上海交通大学工程力学系,理论力学 CAI,刚体空间运动学,2019年3月16日,理论力学CAI 刚体动力学,2,前言 刚体的定点运动 刚体的一般运动,刚体空间运动学,2019年3月16日,理论力学CAI 刚体动力学,3,前言,本章将考虑刚体运动更一般的情况，即刚体的空间(三维)运动 刚体的空间一般运动可以分解为刚体三维的平移运动和刚体的定点运动,刚体空间运动学/前言,2019年3月16日,理论力学CAI 刚体动力学,4,刚体上存在某一点，在刚体运动时该点相对参考基始终保持不动，称这种运动为刚体的定点运动 在工程与生活中经常可以遇到此类运动 雷达跟踪
2、天线 陀螺仪中的转子 行星齿轮系中动锥齿轮 玩具陀螺等,刚体空间运动学/前言,本章首先介绍刚体的定点运动，然后介绍刚体的空间一般运动 在此基础上给出刚体上给定点和相对刚体运动任意点的运动学分析方法,2019年3月16日,理论力学CAI 刚体动力学,5,刚体的定点运动,刚体的有限转动 欧拉定理 刚体姿态的描述 角速度矢量与角加速度矢量 连体基姿态的变化 刚体上给定点的速度与加速度 刚体绕汇交轴转动的合成 刚体定点运动运动学方程,刚体空间运动学/刚体的定点运动,2019年3月16日,理论力学CAI 刚体动力学,6,刚体的有限转动 欧拉定理,刚体的有限转动,刚体空间运动学/刚体的定点运动/有限转动欧
3、拉定理,过定点O建立参考基,连体基,刚体与其连体基相对参考基的姿态一致,描述,刚体当前的姿态是以前某一姿态的改变，这种改变称为刚体绕定点O的有限转动,将刚体上的不动点记为O,2019年3月16日,理论力学CAI 刚体动力学,7,刚体空间运动学/刚体的定点运动/有限转动欧拉定理,欧拉定理,定义刚体的当前姿态为,刚体的上一姿态为,本征根方程,至少存在一个 l=1 的根,本征根l=1的本征矢量,结论：对于任意两个基存在一个矢量，它在两基的坐标阵相等,推论：对于刚体的两个姿态总存在一个矢量，绕该矢量过一个有限角度后，刚体由一个姿态到达的另以个姿态,本征方程,2019年3月16日,理论力学CAI 刚体动
4、力学,8,刚体空间运动学/刚体的定点运动/有限转动欧拉定理,欧拉定理,刚体绕定点的任意有限转动可由绕过该点的某根轴一次有限转过某个有限角度实现,的单位矢量称为刚体由姿态 的到姿态 的一次转动矢量,刚体由姿态 的到姿态 转过的有限角称为一次转动角,2019年3月16日,理论力学CAI 刚体动力学,9,姿态的描述,姿态坐标 欧拉角 刚体上给定点的位置 姿态计算的反问题,刚体空间运动学/刚体的定点运动/姿态的描述,2019年3月16日,理论力学CAI 刚体动力学,10,姿态坐标 欧拉角,刚体空间运动学/刚体的定点运动/姿态的描述,过定点O建立参考基,连体基,刚体姿态的基本描述,2019年3月16日,
5、理论力学CAI 刚体动力学,11,刚体空间运动学/刚体的定点运动/姿态的描述,方向余弦阵的 9个元素,刚体的姿态,列阵是基 的基矢量在基 下的坐标阵,坐标阵,基矢量,可以定义方向余弦阵的9个元素为定点运动刚体的姿态坐标,2019年3月16日,理论力学CAI 刚体动力学,12,刚体空间运动学/刚体的定点运动/姿态的描述,方向余弦阵九个元素应满足六个的代数方程,三基矢量正交,方向余弦阵九个元素中只有三个独立,单位基矢量,只要三个姿态坐标就能描述定点运动刚体的姿态,方向余弦阵的 9个元素,刚体的姿态,2019年3月16日,理论力学CAI 刚体动力学,13,刚体空间运动学/刚体的定点运动/姿态的描述,
6、欧拉角,定义3次有限转动实现,刚体的欧拉角,自转角,章动角,进动角,2019年3月16日,理论力学CAI 刚体动力学,14,刚体空间运动学/刚体的定点运动/姿态的描述,定义3次有限转动实现,刚体的欧拉角,刚体的欧拉角与方向余弦阵的关系,刚体的姿态坐标,刚体的欧拉角,2019年3月16日,理论力学CAI 刚体动力学,15,刚体空间运动学/刚体的定点运动/姿态的描述,定义3次有限转动实现,刚体的欧拉角的奇异点,与 不能区分,2019年3月16日,理论力学CAI 刚体动力学,16,刚体空间运动学/刚体的定点运动/姿态的描述,给定点P在参考基的位置,刚体上给定点的位置,EXIT,欧拉角的函数,给定点P
7、 的位置与刚体位形间的关系,轨迹参数方程,给定点P 在刚体上的位置,已知,2019年3月16日,理论力学CAI 刚体动力学,17,刚体空间运动学/刚体的定点运动/姿态的描述/例,例,一长方体，OA=OB=2，OC3 在某瞬时长方体的欧拉角坐标为,(1)写出该瞬时连体基 关于参考基 的方向余弦阵； (2)画出长方体的姿态图； (3)通过欧拉角的三次转动，验证结果的正确性,2019年3月16日,理论力学CAI 刚体动力学,18,刚体空间运动学/刚体的定点运动/姿态的描述/解,解 （1）,该瞬时连体基 关于参考基 的方向余弦阵,2019年3月16日,理论力学CAI 刚体动力学,19,刚体空间运动学/
8、刚体的定点运动/姿态的描述/解,解 （2）,方法1：由方向余弦阵画瞬时的位形图,2019年3月16日,理论力学CAI 刚体动力学,20,刚体空间运动学/刚体的定点运动/姿态的描述/解,解 （2）,方法2：由坐标点画瞬时的位形图,给定点连体坐标阵,给定点在参考基坐标阵,2019年3月16日,理论力学CAI 刚体动力学,21,刚体空间运动学/刚体的定点运动/姿态的描述/解,（3）验证,2019年3月16日,理论力学CAI 刚体动力学,22,姿态计算反问题,定点运动刚体姿态计算的正问题 已知欧拉角坐标，可得到方向余弦阵Arb，连体基的姿态将完全确定,刚体空间运动学/刚体的定点运动/姿态的描述,定点运
9、动刚体姿态计算的反问题 已知方向余弦阵Arb确定该瞬时的欧拉角坐标,刚体的欧拉角,方向余弦阵,刚体的姿态,刚体的欧拉角,方向余弦阵,刚体的姿态,2019年3月16日,理论力学CAI 刚体动力学,23,刚体空间运动学/刚体的定点运动/姿态的描述,反问题计算公式,对照,2019年3月16日,理论力学CAI 刚体动力学,24,刚体空间运动学/刚体的定点运动/姿态的描述,反问题计算方法,计算,（1）定义,（2）计算,根据它们的符号确定角y在第几象限,由反函数确定角y,（3）计算,根据它们的符号确定角j在第几象限,由反函数确定角j,2019年3月16日,理论力学CAI 刚体动力学,25,刚体空间运动学/
10、刚体的定点运动/姿态的描述/例,例,连体基,相对于参考基,的方向余弦阵为,求连体基相对于参考基的欧拉角,2019年3月16日,理论力学CAI 刚体动力学,26,刚体空间运动学/刚体的定点运动/姿态的描述/解,解,（1）定义,（2）计算,（3）计算,欧拉角,2019年3月16日,理论力学CAI 刚体动力学,27,角速度矢量与角加速度矢量,刚体的平均角速度矢量,刚体空间运动学/刚体的定点运动/角速度矢量角加速度矢量,一次有限转动,定义刚体绕定点O的平均角速度矢量,时刻 t 刚体方位：连体基,时刻 t +Dt 刚体的方位：连体基,2019年3月16日,理论力学CAI 刚体动力学,28,刚体的角速度矢
11、量,刚体空间运动学/刚体的定点运动/角速度矢量角加速度矢量,一次有限转动,时刻 t 刚体绕定点O的角速度矢量,时刻 t 刚体方位：连体基,时刻 t +Dt 刚体的方位：连体基,方位的轴定义为,瞬轴,时刻 t 刚体绕定点O的瞬时转动轴,2019年3月16日,理论力学CAI 刚体动力学,29,刚体的定瞬时转动轴迹面,刚体空间运动学/刚体的定点运动/角速度矢量角加速度矢量,过定点O,时刻 t 刚体绕定点O的角速度矢量,时刻 t 刚体方位：连体基,随时间的变化,时刻 t 刚体的瞬时转动轴,扫出一个过定点O的锥面,在参考基上不断改变方位,称为定瞬时转动轴迹面,各时刻的角速度矢量的矢端在定瞬时转动轴迹面画
12、出一空间有向轨迹,2019年3月16日,理论力学CAI 刚体动力学,30,刚体的角加速度矢量,刚体空间运动学/刚体的定点运动/角速度矢量角加速度矢量,时刻 t 刚体绕定点O的角速度矢量,定义角速度矢量,角速度矢量空间有向轨迹的切线方向,2019年3月16日,理论力学CAI 刚体动力学,31,连体基姿态的变化,刚体空间运动学/刚体的定点运动/连体基姿态的变化,有限转动,时刻 t 刚体方位：连体基,时刻 t +Dt 刚体的方位：连体基,2019年3月16日,理论力学CAI 刚体动力学,32,刚体上给定点的速度与加速度,任意矢量在不同基上对时间的导数 给定点的速度 给定点的加速度,刚体空间运动学/刚
13、体的定点运动/给定点的速度与加速度,2019年3月16日,理论力学CAI 刚体动力学,33,刚体空间运动学/刚体的定点运动/给定点的速度与加速度,结论：任意矢量在基r上对时间的导数等于它在基b上对时间的导数加上基b相对于基r的角速度矢量与该矢量的叉积,EXIT,与基b固结的任意矢量,任意矢量在不同基上对时间的导数,2019年3月16日,理论力学CAI 刚体动力学,34,刚体空间运动学/刚体的定点运动/给定点的速度与加速度,二阶导数,与基b固结的矢量,EXIT,2019年3月16日,理论力学CAI 刚体动力学,35,刚体空间运动学/刚体的定点运动/给定点的速度与加速度,给定点的速度,EXIT,刚
14、体上给定点P,结论：在任何瞬时，刚体上与瞬轴重合的点绝对速度为零,矢径,速度,连体矢量,刚体角速度矢量,推论：已知刚体某瞬时某一点的绝对速度为零，那么该瞬时的瞬轴和该点与定点O的连线共线。,瞬轴,2019年3月16日,理论力学CAI 刚体动力学,36,刚体空间运动学/刚体的定点运动/给定点的速度与加速度,给定点的加速度,EXIT,刚体角速度矢量,瞬轴,刚体角加速度矢量,刚体上给定点P,矢径,连体矢量,加速度,2019年3月16日,理论力学CAI 刚体动力学,37,刚体空间运动学/刚体的定点运动/给定点的速度与加速度,EXIT,点P的向轴加速度,刚体角速度矢量,瞬轴,刚体角加速度矢量,刚体上给定
15、点P,矢径,连体矢量,加速度,2019年3月16日,理论力学CAI 刚体动力学,38,刚体空间运动学/刚体的定点运动/给定点的速度与加速度,EXIT,点P的转动加速度,点P的向轴加速度,刚体角速度矢量,瞬轴,刚体角加速度矢量,刚体上给定点P,矢径,连体矢量,加速度,2019年3月16日,理论力学CAI 刚体动力学,39,刚体空间运动学/刚体的定点运动/给定点的速度与加速度,EXIT,点P的转动加速度,点P的向轴加速度,刚体角速度矢量,瞬轴,刚体角加速度矢量,刚体上给定点P,矢径,连体矢量,加速度,一般不共线,刚体给定点P的加速度,定轴转动刚体,定点运动刚体,定点运动与定轴转动的比较,共线,20
16、19年3月16日,理论力学CAI 刚体动力学,40,刚体空间运动学/刚体的定点运动/给定点的速度与加速度/例,例,磨盘半径为r，它随长为R的水平轴绕过点O的垂直轴旋转。磨盘的圆心C以速度v作匀速圆周运动。磨盘在平台上作纯滚动,求磨盘的角速度与磨盘上点Q的速度,2019年3月16日,理论力学CAI 刚体动力学,41,刚体空间运动学/刚体的定点运动/给定点的速度与加速度/解,解,磨盘的角速度矢量方向已知,磨盘绕O作定点运动,磨盘在平台上作纯滚动，磨盘上给定点P的绝对速度为零,瞬轴,磨盘上点Q的速度,磨盘的角速度,2019年3月16日,理论力学CAI 刚体动力学,42,刚体空间运动学/刚体的定点运动
17、/刚体绕汇交轴转动的合成,EXIT,刚体绕汇交轴转动的合成,对于与基b固结的矢量,在基r上对时间的导数,在基u上对时间的导数,或,角速度矢量的叠加原理,2019年3月16日,理论力学CAI 刚体动力学,43,刚体空间运动学/刚体的定点运动/刚体绕汇交轴转动的合成,刚体绕汇交轴合成运动,EXIT,定基,动基,刚体绝对角速度,刚体相对角速度,在定基上考察刚体定点运动,在动基上考察刚体定点运动,在定基上考察动基运动,刚体的牵连角速度,参考基,相对定基作定点运动的基,刚体与动基固接，在定基上考察到的刚体运动,动基绝对角速度,瞬轴,瞬轴,2019年3月16日,理论力学CAI 刚体动力学,44,刚体空间运
18、动学/刚体的定点运动/刚体绕汇交轴转动的合成,EXIT,定基,动基,牵连角速度,连体基,对于刚体绕汇交轴转动，刚体的绝对角速度等于该刚体相对动基的相对角速度与牵连角速度之和,绕汇交轴转动合成定理,2019年3月16日,理论力学CAI 刚体动力学,45,刚体空间运动学/刚体的定点运动/刚体绕汇交轴转动的合成/例,例,求 (1)磨盘绕轴OC的角速度； (2)磨盘绝对角加速度矢量； (3)磨盘上点Q的加速度。,磨盘半径为r，它随长为R的水平轴绕过点O的垂直轴旋转。磨盘的圆心C以速度v作匀速圆周运动。磨盘在平台上作纯滚动,2019年3月16日,理论力学CAI 刚体动力学,46,刚体空间运动学/刚体的定
19、点运动/刚体绕汇交轴转动的合成/解,解（1）,建参考基,动基,动基绝对运动,定轴转动,磨盘绝对角速度矢量,磨盘的牵连角速度矢量,方位已知,点C为动基的给定点,磨盘相对角速度矢量,方位已知,根据矢量几何,2019年3月16日,理论力学CAI 刚体动力学,47,刚体空间运动学/刚体的定点运动/刚体绕汇交轴转动的合成/解,解（2）,角加速度矢量的定义,与动基 固结,磨盘角加速度,2019年3月16日,理论力学CAI 刚体动力学,48,刚体空间运动学/刚体的定点运动/刚体绕汇交轴转动的合成/解,解（3）,点Q的加速度,坐标式,2019年3月16日,理论力学CAI 刚体动力学,49,刚体定点运动运动学方
20、程,刚体的角速度与欧拉角导数间的关系,刚体空间运动学/刚体的定点运动/刚体定点运动运动学方程,时刻t,时刻t+Dt,2019年3月16日,理论力学CAI 刚体动力学,50,刚体空间运动学/刚体的定点运动/刚体定点运动运动学方程,时刻t,时刻t+Dt,平均角速度矢量,时刻 t 角速度矢量,2019年3月16日,理论力学CAI 刚体动力学,51,刚体空间运动学/刚体的定点运动/刚体定点运动运动学方程,在连体基的坐标式,2019年3月16日,理论力学CAI 刚体动力学,52,刚体空间运动学/刚体的定点运动/刚体定点运动运动学方程,在参考基的坐标式,2019年3月16日,理论力学CAI 刚体动力学,5
21、3,刚体空间运动学/刚体的定点运动/刚体定点运动运动学方程,运动学方程,角速度矢量在连体基的三个坐标为方程的参变量,通过对方程组进行积分，可得到欧拉角坐标的时间历程,欧拉角的一阶微分方程组,2019年3月16日,理论力学CAI 刚体动力学,54,刚体空间运动学/刚体的定点运动/刚体定点运动运动学方程,角速度矢量在参考基的三个坐标为方程的参变量,通过对方程组进行积分，可得到欧拉角坐标的时间历程,欧拉角的一阶微分方程组,2019年3月16日,理论力学CAI 刚体动力学,55,刚体的一般运动,刚体一般运动的分解 刚体上给定点的位置、速度与加速度 相对刚体运动任意点的位置、速度与加速度,刚体空间运动学
22、/刚体的一般运动,2019年3月16日,理论力学CAI 刚体动力学,56,刚体的一般运动的分解,刚体空间(三维)的一般运动，这是刚体最一般的运动形式 工程上有很多背景,刚体空间运动学/刚体的一般运动/运动的分解,2019年3月16日,理论力学CAI 刚体动力学,57,刚体一般运动的描述,刚体空间运动学/刚体的一般运动/运动的分解,连体基,刚体的位置,基点C的矢径,刚体一般运动的姿态与刚体相对于平动参考基 绕C作定点转动一致,参考基,平动参考基,刚体的姿态,刚体一般运动的位形坐标,2019年3月16日,理论力学CAI 刚体动力学,58,刚体一般运动的特殊情况,刚体空间运动学/刚体的一般运动/运动
23、的分解,平动参考基,连体基,参考基,刚体一般运动的位形坐标,刚体的(三维)平动,常值阵,刚体的定点转动,常值阵,2019年3月16日,理论力学CAI 刚体动力学,59,刚体给定点的位置、速度与加速度,基点的速度与加速度,刚体空间运动学/刚体的一般运动/给定点的位置速度与加速度,基点的速度,连体基,参考基,基点的加速度,2019年3月16日,理论力学CAI 刚体动力学,60,给定点的位置,刚体空间运动学/刚体的一般运动/给定点的位置速度与加速度,给定点P,连体基,参考基,在刚体上的位置,已知,在参考基上的位置,当刚体上的点P给定后，点P在参考基的位置仅与连体基的基点的位置与姿态有关。,2019年
24、3月16日,理论力学CAI 刚体动力学,61,给定点的速度,刚体空间运动学/刚体的一般运动/给定点的位置速度与加速度,给定点P,连体基,参考基,在刚体上的位置,连体矢量,速度,平移牵连速度,定义,转动牵连速度,牵连速度,给定点的绝对速度等于该点因刚体一般运动而引起的牵连速度,2019年3月16日,理论力学CAI 刚体动力学,62,给定点的加速度,刚体空间运动学/刚体的一般运动/给定点的位置速度与加速度,平移牵连加速度,牵连转动加速度,定义,牵连向轴加速度,牵连加速度,给定点的绝对加速度等于该点因刚体一般运动而引起的牵连加速度,给定点P,连体基,参考基,在刚体上的位置,连体矢量,加速度,2019
25、年3月16日,理论力学CAI 刚体动力学,63,相对刚体运动任意点的位置、速度与加速度,动点的位置,刚体空间运动学/刚体的一般运动/动点的位置速度与加速度,过定点O建立参考基,过C建立动参考基,描述,动点P的矢径,动点P在参考基的位置与该点相对动参考基的位置以及动参考基的基点的位置与姿态有关,绝对,相对,2019年3月16日,理论力学CAI 刚体动力学,64,动点的速度,刚体空间运动学/刚体的一般运动/动点的位置速度与加速度,动点P,动参考基,定参考基,相对矢径,绝对矢径,速度,相对速度,动点的绝对速度等于该点相对动基的相对速度与该点的牵连点的牵连速度的矢量和,动点牵连点的牵连速度,2019年3月16日,理论力学CAI 刚体动力学,65,给定点的加速度,刚体空间运动学/刚体的一般运动/动点的位置速度与加速度,加速度,相对加速度,牵连点的牵连加速度,动点的绝对加速度等于该点的相对加速度、牵连点的牵连加速度与科氏角速度的矢量和,动点P,动参考基,定参考基,相对矢径,绝对矢径,科氏加速度,
