1、3.2.3 直线与平面的夹角3.2.4 二面角及其度量1理解直线与平面所成角的概念(重点)2会用向量法求线线、线面、面面的夹角(重点、难点)3正确区分向量夹角与所求线线角、面面角的关系(易错点)基础初探教材整理 1 直线与平面的夹角阅读教材 P106P 107“例” 以上部分内容，完成下列问题1直线与平面所成的角2最小角定理1已知向量 m，n 分别是直线 l 与平面 的方向向量、法向量，若cosm ，n ，则 l 与 所成的角为_ 32【解析】 设 l 与 所成的角为 ，则 sin |cosm，n| ，60.32【答案】 602PA，PB，PC 是由点 P 出发的三条射线，两两夹角为 60，则
2、 PC 与平面 PAB 所成角的余弦值为_【解析】 设 PC 与平面 PAB 所成的角为 ，则 cos 60cos cos 30，得cos .33【答案】 33教材整理 2 二面角及其度量阅读教材 P108P 109“例 1”以上部分内容，完成下列问题1二面角的相关概念(1)二面角及其平面角半平面 平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面二面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面棱为 l，两个面分别为， 的二面角，记作 l，若 A ，B ，则二面角也可以记作AlB平面角在二面角 l 的棱上任取一点 O，在两半平面
3、内分别作射线OAl，OB l，则AOB 叫做二面角 l 的平面角(2)二面角的范围设二面角为 ，则 0180.2直二面角平面角是直角的二面角叫做直二面角3二面角的度量(1)分别在二面角 l 的面 ， 内，作向量 n1l ，n 2l ，则可以用n 1，n 2来度量二面角 l.(2)设 m1，m 2，则m 1，m 2与二面角 l 大小相等或互补1在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，二面角 A1BCA 的余弦值为( )A. B 12 23C D22 33【解析】 易知A 1BA 为二面角 A1BCA 的平面角，cosA1BA .ABA1B 22【答案】 C2已知ABC 和BCD 均为边长为 a
4、的等边三角形，且 AD a，则二32面角 ABCD 的大小为( )【导学号：15460077】A30 B45 C60 D90【解析】 如图，取 BC 的中点为 E，连接 AE，DE，由题意得 AEBC，DE BC，且 AEDE a，又 AD a，32 32AED60 ，即二面角 ABCD 的大小为 60.【答案】 C质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1：_解惑：_疑问 2：_解惑：_疑问 3：_解惑：_小组合作型利用空间角的定义求空间角在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AB4，BC3，AA 15，试求B1D1 与平面 A1BCD1 所成角的正弦值【精彩
5、点拨】 作出 B1点在平面 A1BCD1内的射影，从而得到 B1D1在平面A1BCD1内的射影【自主解答】 作 B1EA1B，垂足为 E，又因为 A1D1平面 ABB1A1，A1D1B1E.由 B1EA1B 及 B1EA1D1得 B1E平面 A1BCD1，所以，D 1E 就是 D1B1在平面 A1BCD1内的射影，从而B 1D1E 就是 D1B1与平面 A1BCD1所成的角在 RtB1D1E 中，有 sinB1D1E .EB1D1B1D1B1 5，A1B21 A1D21 16 9又 SA1BB1 A1BEB1 A1B1BB1，12 12A1B ，25 16 41EB1 ，sinB 1D1E .
6、4541 2041 441411作直线与平面夹角的一般方法：在直线上找一点，通过这个点作平面的垂线，从而确定射影，找到要求的角其中关键是作平面的垂线，此方法简称为“一作，二证，三计算” 2用定义求二面角的步骤：(1)作(找) 出二面角的平面角 (作二面角时多用三垂线定理 )；(2)证明所作平面角即为所求二面角的平面角；(3)解三角形求角再练一题1如图 3224，ABCD 是正方形， V 是平面 ABCD 外一点，且VAVBVCAB ，求二面角 AVBC 的余弦值图 3224【解】 取 VB 的中点为 E，连接 AE，CE.VAABBCVC，AEVB，CEVB.AEC 是二面角 AVBC 的平面
7、角设 ABa，连接 AC，在AEC 中，AEEC a，AC a，由余弦定理32 2可知cosAEC ，( 32a)2 ( 32a)2 2a2232a32a 13所求二面角 AVBC 的余弦值为 .13利用空间向量求线面角如图 3225所示，三棱锥 PABC 中，PA 平面ABC， ABAC ，PA AC AB，N 为 AB 上一点， AB4AN ，M，S 分别为12PB，BC 的中点图 3225(1)证明：CM SN ；(2)求 SN 与平面 CMN 所成角的大小【精彩点拨】 (1)怎样建立坐标系？(2)向量 与 满足什么关系时有 CMSN 成立？CM SN (3) 的坐标是多少？平面 CMN
8、 的一个法向量怎么求？ 与平面 CMN 的SN SN 法向量的夹角就是 SN 与平面 CMN 所成的角吗？【自主解答】 设 PA1，以 A 为原点，射线 AB，AC，AP 分别为 x 轴，y 轴，z 轴正向建立空间直角坐标系(如图) 则 P(0,0,1)，C(0,1,0) ，B(2,0,0)，又 AN AB，M ，S 分别为 PB，BC 的中点，14N ，M ， S ，(12，0，0) (1，0，12) (1，12，0)(1) ， ，CM (1， 1，12) SN ( 12， 12，0) 0，CM SN (1， 1，12)( 12， 12，0)因此 CMSN.(2) ，设 a(x，y，z)为平
9、面 CMN 的一个法向量，NC ( 12，1，0) a0， a0.CM NC 则Error!Error!取 y1，得 a(2,1，2)因为 cos .SN 1 12322 22a， .SN 34所以 SN 与平面 CMN 所成的角为 .34 2 41本题中直线的方向向量 与平面的法向量 a 的夹角并不是所求线面角SN ，它们的关系是 sin |cos ，a|.SN 2若直线 l 与平面 的夹角为 ，利用法向量计算 的步骤如下：再练一题2设在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，AB ACAA 12，BAC90，E，F依次为 C1C， BC 的中点试求 A1B 与平面 AEF 的夹角的正弦值图 32
10、26【解】 以 A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0,0,0)，A 1(0,0,2)，B(2,0,0)，E(0,2,1) ，F(1,1,0)，所以 (2,0，2)，A1B (0,2,1)， (1,1,0)AE AF 设平面 AEF 的一个法向量为 n(a，b，c )，由Error!得Error!令 a1，可得 n(1 ，1,2)设 A1B 与平面 AEF 的夹角为 ，所以 sin |cosn ， | ，即 A1B 与平面 AEF 的夹角的正A1B |nA1B |n|A1B | 36弦值为 .36探究共研型求二面角探究 1 如何利用向量求二面角的大小？【提示】 当空间直角坐标系容
11、易建立(有特殊的位置关系)时，用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角只需求出平面的法向量，经过简单的运算即可求出，有时不易判断两法向量的夹角的大小就是二面角的大小(相等或互补)，但我们可以根据图形观察得到结论，因为二面角是钝二面角还是锐二面角一般是明显的探究 2 在底面为平行四边形的四棱锥 PABCD 中，ABAC ，PA平面ABCD，且 PAAB ，E 是 PD 的中点，求平面 EAC 与平面 ABCD 的夹角【提示】 法一 如图，以 A 为原点，分别以 AC，AB，AP 所在直线为x，y，z 轴建立空间直角坐标系设 PAABa，ACb，连接 BD 与 AC 交于点 O，取 AD 中点 F
12、，则C(b,0,0)，B (0，a,0)， .BA CD D(b， a,0)，P(0,0，a)，E ，O ，(b2， a2，a2) (b2，0，0) ， ( b,0,0)OE (0， a2，a2) AC 0， ，OE AC OE AC ， 0.OF 12BA (0， a2，0) OF AC .OF AC EOF 为平面 EAC 与平面 ABCD 的夹角(或补角)cos ， .OE OF OE OF |OE |OF | 22平面 EAC 与平面 ABCD 的夹角为 45.法二 建系如方法一，PA平面 ABCD， (0,0，a)为平面 ABCD 的法向量，AP ， ( b,0,0)AE (b2，
13、a2，a2) AC 设平面 AEC 的法向量为 m(x，y ，z)由Error!得Error!x 0，yz.取 m(0,1,1)，cosm， .AP mAP |m|AP | a2a 22平面 AEC 与平面 ABCD 的夹角为 45.如图 3227，直三棱柱 ABCA1B1C1 中，D，E 分别是 AB，BB 1 的中点，AA 1AC CB AB.22图 3227(1)证明：BC 1平面 A1CD；(2)求二面角 DA1CE 的正弦值【精彩点拨】 (1)能否运用线面平行的判定定理求解？(2)如何建立空间直角坐标系，能确定平面 DA1C 和平面 A1CE 的法向量，进而利用公式求出二面角的正弦值
14、？【自主解答】 (1)证明：连接 AC1，交 A1C 于点 F，则 F 为 AC1的中点又 D 是 AB 的中点，连接 DF，则 BC1DF.因为 DF平面 A1CD，BC 1平面 A1CD，所以 BC1平面 A1CD.(2)由 ACCB AB，22得 ACBC.以 C 为坐标原点， ， ， 的方向分别为 x 轴， y 轴，z 轴的正方向，CA CB CC1 建立如图所示的空间直角坐标系 Cxyz.设 CA2，则 D(1,1,0)，E (0,2,1)，A1(2,0,2)， (1,1,0) ， (0,2,1)， (2,0,2)CD CE CA1 设 n(x 1，y 1，z 1)是平面 A1CD
15、的法向量，则Error!即Error!可取 n(1，1，1)同理，设 m(x 2，y 2，z 2)是平面 A1 CE 的法向量，则Error!即Error!可取 m(2,1，2) 从而 cosn，m ，故 sinn，m .nm|n|m| 33 63即二面角 DA1CE 的正弦值为 .63用向量法求二面角的大小，可以避免作出二面角的平面角这一难点，转化为计算两半平面法向量的夹角问题，具体求解步骤如下：(1)建立空间直角坐标系；(2)分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量；(3)求两个法向量的夹角；(4)判断所求二面角的平面角是锐角还是钝角；(5)确定二面角的大小再练一题3如图 3228，在空
16、间直角坐标系 Cxyz 中，AB 是圆 O 的直径，ACBC2 ，DC EB，DCEB，tanEAB ，求二面角 DAEB 的余弦214值图 3228【解】 由题可知 AB4，tanEAB ，可得 CDEB1，D (0,0,1)，14E(0,2 ，1) ， A(2 ，0,0) ，B(0，2 ，0)，则 (2 ，2 ，0)，2 2 2 AB 2 2(0,0,1)， (2 ， 0，1)， (0,2 ， 0)，BE DA 2 DE 2设平面 DAE 的法向量为 n1(x 1，y 1，z 1)，则Error!即Error!y10，令 x11，则 z12 ，平面 DAE 的一个法向量为2n1(1,0,2
17、 )2设平面 ABE 的法向量为 n2(x 2，y 2，z 2)，则Error!即Error!z20，令 x21，则 y21，平面 ABE 的一个法向量为 n2(1,1,0)，cosn 1，n 2 .n1n2|n1|n2| 129 26由图可以判断二面角 DAEB 为钝角，二面角 DAEB 的余弦值为 .26构建体系1正方体 ABCDA1B1C1D1 中，O 为侧面 BCC1B1 的中心，则 AO 与平面ABCD 所成角的正弦值为( )A. B 33 12C D66 36【解析】 取 BC 中点 M，连接 AM，OM ，易知OAM 即为 AO 与平面ABCD 所成的角，可求得 sinOAM .
18、66【答案】 C2在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E 是 C1C 的中点，则直线 BE 与平面B1BD 所成的角的正弦值为( )A B105 105C D155 155【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为 2，则D(0,0,0)，B(2,2,0) ，B 1(2,2,2)，E(0,2,1) (2，2,0)， (0,0,2) ，BD BB1 (2,0,1)BE 设平面 B1BD 的法向量为 n(x，y ，z)n ，n ，BD BB1 Error!Error!令 y1，则 n(1,1,0) cosn， ，BE nBE |n|BE | 105设直线 BE 与平面 B1BD
19、所成角为 ，则 sin |cosn ， | .BE 105【答案】 B3在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为(0， 1,3)， (2,2,4)，则这个二面角的余弦值为 _. 【导学号：15460078】【解析】 两向量夹角与二面角相等或互补，则二面角的余弦值为 .156【答案】 1564.如图 3229，PA 平面 ABC，ACBC，PAAC1，BC ，求二面2角 APBC 的余弦值为_图 3229【解析】 如图建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B( ，1,0)，C(0,1,0)，P(0,0,1)，2(0,0,1)， ( ，1,0)，AP AB 2( ，0,0)，CB
20、 2(0，1,1) CP 设平面 PAB 的法向量为 m(x ，y，z)，则Error!即Error!解得Error!令 x1，则 m(1 ， ，0)2设平面 PBC 的法向量为 n(x，y ，z ) ，则Error!即Error!解得Error!令 y1，则 n(0，1，1)，cosm，n .mn|m|n| 33故二面角 APBC 的余弦值为 .33【答案】 335.如图 3230，在三棱锥 PABQ 中，PB平面ABQ，BABP BQ ，D，C，E，F 分别是 AQ，BQ ，AP，BP 的中点，AQ2 BD，PD 与 EQ 交于点 G，PC 与 FQ 交于点 H，连接 GH.图 3230(
21、1)求证：ABGH；(2)求二面角 DGHE 的余弦值【解】 (1)证明 ：因为 D，C，E，F 分别是 AQ，BQ，AP，BP 的中点，所以 EFAB，DC AB.所以 EFDC.又因为 EF平面 PCD，DC平面 PCD，所以 EF平面 PCD.又因为 EF平面 EFQ，平面 EFQ平面 PCDGH ，所以 EFGH.又因为 EFAB，所以 ABGH.(2)在ABQ 中，AQ2BD，ADDQ，所以ABQ90. 又因为 PB平面 ABQ，所以 BA，BQ，BP 两两垂直以点 B 为坐标原点，分别以 BA，BQ ，BP 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系设 BABP
22、BQ2，则 E(1,0,1)，F(0,0,1)，Q(0,2,0)，D(1,1,0)，C(0,1,0)，P (0,0,2)，所以(1,2， 1)， (0,2，1)， (1， 1,2)， (0，1,2)EQ FQ DP CP 设平面 EFQ 的一个法向量为 m(x 1，y 1，z 1)，由 m 0， m 0，EQ FQ 得Error!取 y11，得 m(0,1,2) 设平面 PDC 的一个法向量为 n(x 2，y 2，z 2)，由 n 0，n 0，DP CP 得Error!取 z21，得 n(0,2,1)所以 cosm，n .mn|m|n| 45因为二面角 DGHE 为钝角，所以二面角 DGHE
23、的余弦值为 .45我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_学业分层测评(建议用时：45 分钟)学业达标一、选择题1若直线 l 的方向向量与平面 的法向量的夹角等于 120，则直线 l 与平面 所成的角等于 ( )A120 B60C30 D以上均错【解析】 设直线 l 与平面 所成的角为 ，则 sin |cos 120| .12又0 ，AD AE 22平面 PAB 与平面 PCD 的夹角为 45.【答案】 B4如图 3231，在空间直角坐标系 Dxyz 中，四棱柱 ABCDA1B1C1D1 为长方体，AA 1 AB2AD，点 E，F 分别为 C1D1，A 1B 的中点，
24、则二面角B1A1BE 的余弦值为( )图 3231A B33 32C. D33 32【解析】 设 AD1，则 A1(1,0,2)，B(1,2,0)，因为 E，F 分别为C1D1， A1B 的中点，所以 E(0,1,2)，F(1,1,1)，所以 (1,1,0)，A1E (0,2 ，2)，设 m (x，y，z)是平面 A1BE 的法向量，则 Error!所以Error!A1B 所以Error!取 x1，则 yz1，所以平面 A1BE 的一个法向量为 m(1,1,1)，又 DA平面 A1B1B，所以 (1,0,0)是平面 A1B1B 的一个法向量，所以DA cosm ， ，又二面角 B1A1BE 为
25、锐二面角，所以二面角DA mDA |m|DA | 13 33B1A1BE 的余弦值为 ，故选 C.33【答案】 C5正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E ，F 分别为 AB，C 1D1 的中点，则 A1B1 与平面 A1EF 夹角的正弦值为( )A. B62 63C. D64 2【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长为 1，则 A1(1,0,1)，E ，(1，12，0)F ，B 1(1,1,1)(0，12，1)(0,1,0)，设平面 A1EF 的法向量 n(x，y，z)，A1B1 则Error!即Error!令 y2，则Error!n(1,2,1) ， cosn ， ，A1B1 2
26、6 63即线面角的正弦值为 .63【答案】 B二、填空题6等腰 RtABC 的斜边 AB 在平面 内，若 AC 与 成 30角，则斜边上的中线 CM 与平面 所成的角为 _【解析】 作 CO，O 为垂足，连接 AO，MO，则CAO30，CMO为 CM 与 所成的角在 RtAOC 中，设 CO1，则 AC2.在等腰 RtABC 中，由 AC2 得 CM .在 RtCMO 中，sinCMO ，2COCM 12 22所以CMO 45.【答案】 457在空间直角坐标系 Oxyz 中，已知 A(1，2,0)，B (2,1， )，则向量6与平面 xOz 的法向量的夹角的正弦值为 _AB 【解析】 设平面
27、xOz 的法向量为 n(0，t,0)(t0)， (1,3, )，所以AB 6cosn， ，因为n， 0，所以 sinn， AB nAB |n|AB | 3t4|t| AB AB .1 (3t4|t|)2 74【答案】 748已知点 E，F 分别在正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱 BB1，CC 1 上，且B1E2EB，CF2FC 1，则平面 AEF 与平面 ABC 所成的二面角的正切值等于_【解析】 如图，建立空间直角坐标系设正方体的棱长为 1，平面 ABC 的法向量为 n1(0,0,1)，平面 AEF 的法向量为 n2( x， y，z)所以 A(1,0,0)，E ，F ，(1，1，13)
28、 (0，1，23)所以 ， ，AE (0，1，13) EF ( 1，0，13)则Error!即Error!取 x1，则 y1，z 3.故 n2(1，1,3)所以 cosn 1，n 2 .n1n2|n1|n2| 31111所以平面 AEF 与平面 ABC 所成的二面角的平面角 满足 cos ，sin 31111 ，所以 tan .2211 23【答案】 23三、解答题9.如图 3232所示，在四面体 ABCD 中，O，E 分别是 BD，BC 的中点，CACBCDBD2，ABAD .2图 3232(1)求证：AO平面 BCD；(2)求异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值【解】 (1)证明 ：连
29、接 OC，由题意知 BODO，AB AD ，AOBD.又 BO DO，BCCD，CO BD.在AOC 中，由已知可得 AO1，CO ，3又 AC2，AO 2CO 2AC2，AOC90，即 AOOC.BDOC O ， AO平面 BCD.(2)以 O 为坐标原点建立空间直角坐标系，则 B(1,0,0)，D(1,0,0)， C(0, ，0)，A(0,0,1)，3E ，(12，32，0) ( 1,0,1)， (1， ，0)，BA CD 3cos ， .BA CD BA CD |BA |CD | 24异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为 .2410四棱锥 PABCD 的底面是正方形，PD 底面 A
30、BCD，点 E 在棱 PB上(1)求证：平面 AEC平面 PDB；(2)当 PD AB 且 E 为 PB 的中点时，求 AE 与平面 PDB 所成的角的大2小【解】 如图，以 D 为原点建立空间直角坐标系 Dxyz，设ABa，PDh，则 A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a, 0)，D (0,0,0)，P(0,0，h)，(1) ( a，a,0)， (0,0，h) ， (a，a,0)，AC DP DB 0， 0，AC DP AC DB ACDP，AC DB，又 DPDBD，AC平面 PDB，又 AC平面 AEC，平面 AEC平面 PDB.(2)当 PD AB 且 E 为 PB 的中点时
31、，P(0,0， a)，E ，2 2 (12a，12a，22a)设 ACBDO，O ，连接 OE，由(1)知 AC平面 PDB 于 O，(a2，a2，0)AEO 为 AE 与平面 PDB 所成的角， ， ，EA (12a， 12a， 22a) EO (0，0， 22a)cosAEO ，EA EO |EA |EO | 22AEO45 ，即 AE 与平面 PDB 所成的角的大小为 45.能力提升1已知在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AB BC1，AA 12，E 是侧棱BB1 的中点，则直线 AE 与平面 A1ED1 所成角的大小为( )A60 B90C45 D以上都不对【解析】 以点 D 为
32、原点，分别以 DA，DC，DD 1所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，如图由题意知，A 1(1,0,2)，E(1,1,1)，D 1(0,0,2)，A(1,0,0)，所以 (0,1，1)，A1E (1,1， 1)， (0 ，1，1)D1E EA 设平面 A1ED1的一个法向量为 n(x，y ，z)，则Error!得Error!令 z1，得 y1，x 0，所以 n(0,1,1)，cosn， 1.EA nEA |n|EA | 22 2所以n， 180.EA 所以直线 AE 与平面 A1ED1所成的角为 90.【答案】 B2.在三棱柱 ABCA1B1C1 中，CACC 12CB，则
33、直线 BC1 与直线 AB1 夹角的余弦值为( )图 3233A. B55 53C. D255 35【解析】 不妨设 CACC 12CB2，则 (2,2,1)， (0，2,1)，AB1 C1B 所以 cos ， AB1 C1B AB1 C1B |AB1 |C1B | . 20 2 2 1195 55因为直线 BC1与直线 AB1的夹角为锐角，所以所求角的余弦值为 .55【答案】 A3在空间中，已知平面 过(3,0,0)和(0,4,0)及 z 轴上一点(0,0，a)(a0)，如果平面 与平面 xOy 的夹角为 45，则 a_. 【导学号：15460080】【解析】 平面 xOy 的法向量为 n(
34、0,0,1) ，设平面 的法向量为u( x， y，z )，则Error!即 3x4yaz，取 z1，则 u .(a3，a4，1)而 cos n，u ，1a29 a216 1 22又a 0， a .125【答案】 1254.如图 3234，在直三棱柱 A1B1C1ABC 中，ABAC，ABAC2，A 1A4，点 D 是 BC 的中点图 3234(1)求异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值；(2)求平面 ADC1 与平面 ABA1 所成二面角的正弦值【解】 (1)以 A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz，则 A(0,0,0)，B(2,0,0)，C (0,2,0)，D(1,
35、1,0)，A 1(0,0,4)，C 1(0,2,4)，所以 (2,0，4)，A1B (1，1，4). C1D 因为 cos ， ，A1B C1D A1B C1D |A1B |C1D | 182018 31010所以异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值为 .31010(2)设平面 ADC1的法向量为 n1(x，y ，z)，因为 (1,1,0) ， (0,2,4)，AD AC1 所以 n1 0，n 1 0，即 xy0 且 y2z0，取 z1，得AD AC1 x2，y2，所以 n1 (2，2,1) 是平面 ADC1的一个法向量取平面 AA1B的一个法向量为 n2(0,1,0)，设平面 ADC1与平面 ABA1所成二面角的大小为 .由|cos | ，|n1n2|n1|n2| 291 23得 sin .53因此，平面 ADC1与平面 ABA1所成二面角的正弦值为 .53
