1、第三章 3.3 3.3.1 几何概型A级 基础巩固一、选择题1已知函数 f(x)2 x，若从区间2,2上任取一个实数 x，则使不等式 f(x)2成立的概率为 ( A )导 学 号 95064796A B 14 13C D12 23解析 这是一个几何概型，其中基本事件的总数构成的区域对应的长度是 2(2)4，由 f(x)2可得 x1，所以满足题设的基本事件构成的区域对应的长度是 211，则使不等式 f(x)2成立的概率为 .142一个红绿灯路口，红灯亮的时间为 30秒，黄灯亮的时间为 5秒，绿灯亮的时间为45秒当你到达路口时，恰好看到黄灯亮的概率是 ( C )导 学 号 95064797A B
2、112 38C D116 56解析 设看到黄灯亮为事件 A，构成事件 A的“长度”等于 5，试验的全部结果所构成的区域长度是 3054580，所以 P(A) .580 1163已知 ABCD为长方形， AB2， BC1， O为 AB的中点，在长方形 ABCD内随机取一点 P，则取到的点 P到 O的距离大于 1的概率为 ( B )导 学 号 95064798A B14 4C D18 8解析 如图所示，设取到的点 P到 O的距离大于 1为事件 M，则点 P应在阴影部分内，阴影部分的面积为 21 122 ，所以 P(M) 1 .12 2 2 22 44一只小狗在图所示的方砖上走来走去，最终停在涂色方
3、砖的概率为( C )导 学 号 95064799A B18 79C D29 716解析 由题意知，这是一个与面积有关的几何概型题这只小狗在任何一个区域的可能性一样，图中有大小相同的方砖共 9块，显然小狗停在涂色方砖的概率为 .故选 C295平面上有一组平行线且相邻平行线的距离为 3 cm，把一枚半径为 1 cm硬币任意投掷在这个平面上，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是 ( B )导 学 号 95064800A B 14 13C D12 23解析 如图，要使硬币不与平行直线 l1、 l4中任何一条相碰，则应使硬币的中心在两平行线 l2、 l3之间，故所求概率为 P .136某人从甲地去乙地共
4、走了 500 m，途中要过一条宽为 x m的河流，他不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，物品不掉在河里就能找到，已知该物品能被找到的概率为 ，则河宽为 ( B )2425 导 学 号 95064801A16 m B20 mC8 m D10 m解析 物品在途中任何一处丢失的可能性是相等的，所以符合几何概型的条件找到的概率为 ，即掉到河里的概率为 ，则河流的宽度占总距离的 ，所以河宽为 5002425 125 12520(m)125二、填空题7.如图，在边长为 1的正方形中随机撒 1 000粒豆子，有 180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为_0.18_. 导 学 号 9506
5、4802解析 由几何概型的概率可知，所求概率 P 0.18，. S 阴 0.18.S阴S正 1801 0008设有一均匀的陀螺，其圆周的一半上均匀地刻上区间 0,1上的数字，另一半均匀地刻上区间1,3上的数字，旋转它，则它停下时，其圆周上触及桌面的刻度位于 上12， 32的概率是 .38 导 学 号 95064803解析 由题意，记事件 A为“陀螺停止时，其圆周上触及桌面的刻度位于 ”12， 32设圆的周长为 C，则 P(A) .1212C 1412CC 38三、解答题9某同学向如图所示的正方形内随机地投掷飞镖，求飞镖落在阴影部分内的概率.导 学 号 95064804解析 由于是随机投掷飞镖，
6、故可认为飞镖落在正方形内任一点的机会是均等的，因此落在阴影部分的概率应等于三角形面积与正方形面积的比，如图所示记“飞镖落在阴影内”为事件 A，则 P(A) . ECD的 面 积正 方 形 的 面 积 1410设关于 x的一元二次方程 x22 ax b20. 导 学 号 95064805(1)若 a是从 0、1、2、3 四个数中任取的一个数， b是从 0、1、2 三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；(2)若 a是从区间0,3任取的一个数， b是从区间0,2任取的一个数，求上述方程有实根的概率解析 设事件 A为“方程 x22 ax b20 有实根” ，当 a0， b0 时，方程 x22
7、ax b20 有实根的充要条件为 a b.(1)基本事件共有 12个：(0,0)、(0,1)、(0,2)、(1,0)、(1,1)、(1,2)、(2,0)、(2,1)、(2,2)、(3,0)、(3,1)、(3,2)，其中第一个数表示 a的取值，第二个数表示 b的取值事件 A中包含 9个基本事件，故事件 A发生的概率为 P(A) .912 34(2)试验的全部结果所构成的区域为( a， b)|0 a3,0 b2构成事件 A的区域为(a， b)|0 a3,0 b2， a b即如右图的阴影区域所示，所以所求的概率为 P(A) .32 122232 23B级 素养提升一、选择题1在 1 000 mL的水
8、中有一个草履虫，现从中随机取出 2 mL水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率 ( B )导 学 号 95064806A0 B0.002C0.004 D1解析 由于取水样的随机性，所求事件 A：“在取出的 2mL水样中有草履虫” ，属于几何概型 P(A) 0.002.水 样 的 体 积总 体 积 21 0002在长为 12 cm的线段 AB上任取一点 C，现作一矩形，邻边长分别等于线段 AC、 CB的长，则该矩形面积大于 20 cm2的概率为 ( C )导 学 号 95064807A B16 13C D23 45解析 本题考查几何概型设 AC x cm，则 BC(12 x) cm， x(12
9、 x)20，解得 x2 或 x10，故所求概率 P .12 2 212 233一只小蜜蜂在一个棱长为 4的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体六个表面的距离均大于 1，称其为“安全飞行” ，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( A )导 学 号 95064808A B18 116C D127 2764解析 根据几何概型知识，概率为体积之比，即 P .选 A(4 2)343 184已知直线 y x b在 y轴上的截距在区间2,3内，则直线在 y轴上的截距 b大于 1的概率是 ( B )导 学 号 95064809A B15 25C D35 45解析 由几何概型的概率公式知，所求概率 P
10、.3 13 ( 2) 25二、填空题5如果在一个 5万平方千米的海域里有表面积达 40平方千米的大陆架贮藏着石油，假如在这个海域里随意选定一个点探，则钻到石油的概率是_0.000_8_. 导 学 号 95064810解析 如图，设 为海域， A为贮藏着石油的大陆架，由于选点的随机性，可以认为该海域中各点被选中的可能性是一样的，因而所求概率自然认为等于贮油海域的面积与整个海域面积之比，即 P 0.000 8.SAS 4050 0006如图所示，设 A为圆周上一点，在圆周上等可能地任取一点与 A连接，则弦长超过半径 倍的概率是 .212 导 学 号 95064942解析 由图可知，符合条件的点应在
11、与点 A相对的另一半圆弧 BC上， .BC圆 O周 长 12三、解答题7某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于 10 min的概率. 导 学 号 95064811解析 假设他在 0 min60 min 这段时间的任何一个时刻打开收音机是等可能的，所以他在哪个时间段打开收音机的概率只与该时间段的长度有关，而与该时间段的位置无关，这符合几何概型的条件设事件 A“等待时间不多于 10 min”，事件 A发生是打开收音机的时刻位于50,60时间段内，所以 A605010， 60.所以 P(A) . A 1060 168设有一个正方形网络，其中每个最小正方形的边长都等
12、于 6 cm.现用直径等于 2 cm的硬币投掷到此网格上，求硬币落下后与格线有公共点的概率. 导 学 号 95064812解析 如图所示，硬币落下后与格线无公共点时，硬币中心应在如图所示的阴影部分(边长为 4 cm的正方形)内，其概率为 ，故硬币落下后与格线有公共点的概率为1636 491 .49 59C级 能力拔高在圆心角为 90的扇形中，以圆心 O为起点作射线 OC，求使得 AOC和 BOC都不小于 30的概率. 导 学 号 95064813解析 如图设事件 A“作射线 OC，使 AOC和 BOC都不小于 30”， A90303030， 90，由几何概率公式得 P(A) . A 3090 13
