1、,第十五章 达朗伯原理,DAlemberts Principle,2,本章介绍动力学的一个重要原理达朗伯原理。应用这一原理，就将动力学问题从形式上转化为静力学问题，从而根据关于平衡的理论来求解。这种解答动力学问题的方法，因而也称动静法(dynamic-static method)。,动力学,151 惯性力的概念 质点的达朗伯原理 152 质点系的达朗伯原理 153 刚体惯性力系的简化 154 定轴转动刚体的轴承动反力 静平衡与动平衡的概念 达朗伯原理的应用,第十五章 达朗伯原理,4,15-1惯性力的概念 质点的达朗伯原理,人用手推车,动力学,力 是由于小车具有惯性，力图保持原来的运动状态，对于
2、施力物体(人手)产生的反抗力。称为小车的惯性力(inertia force)。,定义：质点惯性力 加速运动的质点，对迫使其产生加速运动的物体的惯性反抗的总和。,一、惯性力的概念,5,动力学,注 质点惯性力不是作用在质点上的真实力，它 是质点对施力体反作用力的合力。,6,动力学,非自由质点M，质量m，受主动力 ， 约束反力 ，合力,质点的达朗伯原理,二、质点的达朗伯原理,7,动力学,该方程对动力学问题来说只是形式上的平衡，并没有改变动力学问题的实质。采用动静法解决动力学问题的最大优点，可以利用静力学提供的解题方法，给动力学问题一种统一的解题格式。,质点的达朗伯原理,在质点运动的任一瞬时，作用于质
3、点上的主动力、约束力和虚拟的惯性力在形式上组成平衡力系，这就是质点的达朗伯原理。,8,动力学,例15-1 列车在水平轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆，当车厢向右作匀加速运动时，单摆左偏角度 ，相对于车厢静止。求车厢的加速度 。,9,动力学,选单摆的摆锤为研究对象 虚加惯性力,解：,由动静法, 有,解得,例15-2 用达朗贝尔原理,解：,解得,12,动力学,15-2 质点系的达朗伯原理,对整个质点系，主动力系、约束反力系、惯性力系形式上构成平衡力系。这就是质点系的达朗伯原理。可用方程表示为：,设有一质点系由n个质点组成，对每一个质点，有,注意到 ,将质点系受力按内力、外力划分, 则,13,动力学,表
4、明：对整个质点系来说，动静法给出的平衡方程，只是质点系的惯性力系与其外力的平衡，而与内力无关。,14,动力学,对平面任意力系：,对于空间任意力系：,实际应用时, 同静力学一样任意选取研究对象, 列平衡方程求解。,用动静法求解动力学问题时，,习题1：铅直杆在止推轴承B及轴承A中以匀角速度转动。CD杆在O点与AB杆固定联结。而AB=h，CO=OD=l。在CD杆的两端各有一重量为P的球，CD杆与AB杆的夹角为，不计杆的质量；求两轴承的约束反力。（12分）,解： 画受力图。 （2分）,X=0 XB-XA=0 （2分）Y=0 YB=2P （2分） MB=0 XA h-2Q1lcos=0 （2分）解得：
5、XA=XB=Pl22sin2/gh YB=2P （2分）,（2分）,16,动力学,15-3 刚体惯性力系的简化,简化方法就是采用静力学中的力系简化的理论。将虚拟的惯性力系视作力系向任一点O简化而得到一个惯性力 和一个惯性力偶 。,注意 无论刚体作什么运动，惯性力系主矢都等于刚体质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反。,17,动力学,一、刚体作平动,向质心C简化：,刚体平动时惯性力系合成为一过质心的合惯性力。,习题2：汽车重为G，以加速度a刹车。汽车重心C离地面的高度为h，汽车的前后轴到通过重心的铅垂线的距离分别等于c和b。求其前、后轮与地面间的正压力。,解：画受力图。 (2分)Q =
6、 G a /g （2分)M1=0 -Q h +Gc N2（b+c）= 0 (3分)M2=0 -Q h -Gb+ N 1（b+c）= 0 （3分)解得: N1 =(Ggb + Gah)/(b+c)g (1分) N2 =(-Gah +Ggc)/(b+c)g (1分),20,动力学,空间惯性力系平面惯性力系（质量对称面）O为转轴z与质量对称平面的交点，向O点简化：,主矢：主矩：,二、定轴转动刚体,先讨论具有垂直于转轴的质量对称平面的简单情况。,O,直线 i : 平动， 过Mi点，,21,动力学,作用在C点,作用在O点,22,动力学,讨论：,刚体作匀速转动，转轴不通过质点C 。,23,动力学,讨论：,
7、转轴过质点C，但0，惯性力偶 （与反向）,24,动力学,讨论：,例14-6 如图所示，电动绞车安装在梁上，梁的两端搁在支座上，绞车与梁共重为P。绞盘半径为R，与电机转子固结在一起，转动惯量为J，质心位于O处。绞车以加速度a提升质量为m的重物，其它尺寸如图。,已知:,求：支座A，B受到的附加约束力。,解 ：,解得：,上式中前两项为静约束力，附加约束力为,解得：,单个物体的动力学问题，用动静法或动力学普遍方程求解区别不大。但是物体系统的动力学问题，用动静法求解比用动力学普遍方程求解简单得多。,特别注意：在画虚加的惯性力系的主矢和主矩时，必须按照和质心加速度的方向相反以及与角加速度转向相反(考虑负号
8、)的原则画出。在方程中只需按其数值的大小代入，不能再带负号！,29,动力学,假设刚体具有质量对称平面，并且平行于该平面作平面运动。此时，刚体的惯性力系可先简化为对称平面内的平面力系。,刚体平面运动可分解为随基点（质点C）的平动：绕通过质心轴的转动： 作用于质心,三、刚体作平面运动,30,动力学,对于平面运动刚体：由动静法可列出如下三个方程：,实质上：,刚体的平面运动微分方程,15-4 静平衡与动平衡的概念,Fg1Fg2,Fg1Fg2,由惯性力引起的轴承约束反力FRA、FRB都不等于零，他们称之为附加动反力。,35,动力学,静平衡：刚体转轴过质心，则刚体在仅受重力而不受其它主动力时，不论位置如何
9、，总能平衡。动平衡：转动为中心惯性主轴时，转动时不产生附加动反力。,静平衡与动平衡的概念,动平衡的刚体，一定是静平衡的；反过来，静平衡的刚体，不一定是动平衡的。,解：,38,动力学,例1 质量不计的刚轴以角速度匀速转动，其上固结着两个质量均为m的小球A和B。指出在图示各种情况下，哪些是静平衡的？哪些是动平衡的？,静平衡： (b)、 (d),动平衡： ( a),39,动力学,动平衡的刚体，一定是静平衡的；反过来，静平衡的刚体，不一定是动平衡的。,40,动力学,根据达朗伯原理，以静力学平衡方程的形式来建立动力学方程的方法，称为动静法。应用动静法既可求运动，例如加速度、角加速度；也可以求力，并且多用
10、于已知运动，求质点系运动时的动约束反力。 应用动静法可以利用静力学建立平衡方程的一切形式上的便利。例如，矩心可以任意选取，二矩式，三矩式等等。因此当问题中有多个约束反力时，应用动静法求解它们时就方便得多。,达朗伯原理的应用,41,动力学,选取研究对象。原则与静力学相同。 受力分析。画出全部主动力和外约束反力。 运动分析。主要是刚体质心加速度，刚体角加速 度，标出方向。,应用动静法求动力学问题的步骤及要点：,虚加惯性力。在受力图上画上惯性力和惯性力偶，一定要在正确进行运动分析的基础上。熟记刚体惯性力系的简化结果。,42,动力学,列动静方程。选取适当的矩心和投影轴。 建立补充方程。运动学补充方程（
11、运动量之间的关系）。 求解求知量。,注 的方向及转向已在受力图中标出，建立方程时，只需按 代入即可。,43,动力学,例1 质量为m1和m2的两重物，且 m1 m2 ，分别挂在两条绳子上，绳子又分别绕在半径为r1和r2并装在同一轴的两鼓轮上，已知两鼓轮对于转轴O的转动惯量为I，系统在重力作用下发生运动，求鼓轮的角加速度。,取系统为研究对象,解：,方法1 用达朗伯原理求解,44,动力学,虚加惯性力和惯性力偶：,由动静法：,列补充方程： 代入上式得：,45,动力学,方法2 用动量矩定理求解,根据动量矩定理：,取系统为研究对象,46,动力学,取系统为研究对象，任一瞬时系统的,两边除以dt，并求导数，得,方法3 用动能定理求解,47,动力学,第十五章结束,
