1、第三章 3.2 3.2.1 古典概型A 级 基础巩固一、选择题1(2016北京文)从甲、乙等 5 名学生中随机选出 2 人，则甲被选中的概率为( B )导 学 号 95064737A B 15 25C D825 925解析 设 5 名学生分别为甲、乙、丙、丁、戊，从甲、乙、丙、丁、戊 5 人中选 2人，有(甲、乙)，(甲、丙)，(甲、丁)，(甲、戊)，(乙、丙)，(乙、丁)，(乙，戊)，(丙、丁)，(丙、戊)，(丁，戊)，共 10 种情况，其中甲被选中的情况有(甲，乙)，(甲、丙)，(甲、丁)，(甲、戊)，共 4 种，所以甲被选中的概率为 .410 252从 1、2、3、4 中任取 2 个不同
2、的数，则取出的 2 个数之差的绝对值为 2 的概率是( B )导 学 号 95064738A B12 13C D14 16解析 从 1、2、3、4 中任取 2 个不同的数有以下六种情况：1,2、1,3、1,4、2,3、2,4、3,4，满足取出的 2 个数之差的绝对值为 2 的有1,3、2,4，故所求概率是 .26 133有五条线段，长度分别为 1,3,5,7,9.从这五条线段中任取三条，则所取三条线段不能构成一个三角形的概率为 ( B )导 学 号 95064739A B12 710C D310 910解析 从这五条线段中任取三条，所有基本事件为(1,3,5)，(1,3,7)，(1,3,9)，
3、(1,5,7)，(1,5,9)，(1,7,9)，(3,5,7)，(3,5,9)，(3,7,9)，(5,7,9)共 10 个，其中不能构成三角形的有(1,3,5)，(1,3,7)，(1,3,9)，(1,5,7)，(1,5,9)，(1,7,9)，(3,5,9)，共7 个，所以所取三条线段不能构成一个三角形的概率为 .7104在第 1、3、4、5、8 路公共汽车都要停靠的一个站(假定这个站只能停靠一辆汽车)，有一位乘客等候第 4 路或第 8 路汽车假定当时各路汽车首先到站的可能性相等，则首先到站正好是这位乘客所需乘的汽车的概率等于 ( D )导 学 号 95064740A B12 23C D35 2
4、5解析 由题知，在该问题中基本事件总数为 5，一位乘客等车这，事件包含 2 个基本事件，故所求概率为 P .255从1,2,3,4,5中随机选一个数 a，从1,2,3中随机选取一个数为 b，则 ba 的概率为 ( D )导 学 号 95064741A B45 35C D25 15解析 从1,2,3,4,5中随机选一个数为 a，从1,2,3中随机选取一个数为 b，所得情况有(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(3,1)、(3,2)、(3,3)、(4,1)、(4,2)、(4,3)、(5,1)、(5,2)、(5,3)共 15 种， ba 的情况有(1,2)、(1,
5、3)、(2,3)，共 3种，所求的概率为 .315 156从集合 a， b， c， d， e的所有子集中任取一个，这个集合恰好是集合 a， b， c的子集的概率是 ( C )导 学 号 95064742A1 B12C D14 18解析 集合 a， b， c， d， e的所有子集有 2532，集合 a， b， c的所有子集有238，故所求概率为 .832 14二、填空题7盒子里共有大小相同的 3 只白球、1 只黑球，若从中随机摸出两只球，则它们的颜色不同的概率是 .12 导 学 号 95064743解析 记 3 只白球分别为 A、 B、 C,1 只黑球为 m，若从中随机摸出两只球有AB、 AC、
6、 Am、 BC、 Bm、 Cm 有 6 种结果，其中颜色不同的结果为 Am、 Bm、 Cm 有 3 种结果，故所求概率为 .36 1284 张卡片上分别写有数字 1、2、3、4，从这 4 张卡片中随机抽取 2 张，则取出的 2张卡片上的数字之和为奇数的概率为 .23 导 学 号 95064744解析 由题意知，基本事件空间 (1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，记“取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数”为事件 A， A(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)， P(A) .46 23三、解答题9小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋游戏规则为：以 O
7、 为起点，再从A1、 A2、 A3、 A4、 A5、 A6(如图)这 6 个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为 X，若 X0 就去打球，若 X0 就去唱歌，若 X0 就去下棋. 导 学 号 95064745(1)写出数量积 X 的所有可能取值；(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率解析 (1) X 的所有可能取值为2、1、0、1.(2)数量积为2 的有 ，共 1 种；OA2 OA5 数量积为1 的有 、 、 、 、 、 ，共 6 种；OA1 OA5 OA1 OA6 OA2 OA4 OA2 OA6 OA3 OA4 OA3 OA5 数量积为 0 的有 、 、 、 ，共
8、 4 种；OA1 OA3 OA1 OA4 OA3 OA6 OA4 OA6 数量积为 1 的有 、 、 、 ，共 4 种OA1 OA2 OA2 OA3 OA4 OA5 OA5 OA6 故所有可能的情况共有 15 种所以小波去下棋的概率为 p1 ；715因为去唱歌的概率为 p2 ，所以小波不去唱歌的概率 p1 p21 .415 415 111510(1)从含有两件正品 a、 b 和一件次品 c 的 3 件产品中每次任取一件，取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率； 导 学 号 95064746(2)将(1)中条件“取出后不放回”改为“每次取出后放回”其余不变，再求取出的两件
9、产品中恰有一件次品的概率解析 (1)基本事件空间 ( a， b)，( a， c)，( b， c)，( b， a)，( c， a)，( c， b)，其中( a， b)中的 a 表示第一次取出的产品， b 表示第 2 次取出的产品， 中有 6 个基本事件，它们的出现都是等可能的，事件 A“取出的两件产品中，恰好有一件次品”包含 4个基本事件， P(A) .46 23(2)有放回的连续取两件，基本事件空间 ( a， a)，( a， b)，( a， c)，( b， b)，(b， a)，( b， c)，( c， c)，( c， a)，( c， b)中共 9 个等可能的基本事件，事件 B“恰有一件次品”包
10、含 4 个基本事件， P(B) .49B 级 素养提升一、选择题1(2015广东文，7)已知 5 件产品中有 2 件次品，其余为合格品现从这 5 件产品中任取 2 件，恰有 1 件次品的概率为 ( B )导 学 号 95064747A0.4 B0.6C0.8 D1解析 5 件产品中有 2 件次品，记为 a， b，有 3 件合格品，记为 c， d， e，从这 5件产品中任取 2 件，有 10 种，分别是( a， b)，( a， c)，( a， d)，( a， e)，( b， c)，( b， d)，(b， e)，( c， d)，( c， e)，( d， e)，恰有一件次品，有 6 种，分别是( a
11、， c)，( a， d)，(a， e)，( b， c)，( b， d)，( b， e)，设事件 A“恰有一件次品” ，则 P(A) 0.6，故610选 B2有 3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 ( A )导 学 号 95064748A B13 12C D23 34解析 记 3 个兴趣小组分别为 1,2,3，甲参加 1 组记为“甲 1”，则基本事件为“甲1，乙 1；甲 1，乙 2；甲 1，乙 3；甲 2，乙 1；甲 2，乙 2；甲 2，乙 3；甲 3，乙 1；甲3，乙 2；甲 3，乙 3”，共 9 个记事
12、件 A 为“甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组” ，其中事件 A 有“甲 1，乙 1；甲 2，乙 2；甲 3，乙 3”，共 3 个因此 P(A) .39 133从所有 3 位正整数中任取一数，则此数以 2 为底的对数也是正整数的概率为( B )导 学 号 95064749A B1225 1300C D以上全不对1450解析 三位的正整数共有 900 个，若以 2 为底的对数也是正整数(设为 n)，则1002 n999， n7、8、9 共 3 个，故 P .3900 13004有一对酷爱运动的年轻夫妇给他们 12 个月大的婴儿拼排 3 块分别写有“20” ，“12”和“伦敦”的字块，如果婴儿能够排
13、成“20 12 伦敦”或者“伦敦 20 12” ，则他们就给婴儿奖励假设婴儿能将字块挨着正排，那么这个婴儿能得到奖励的概率是( B )导 学 号 95064750A B12 13C D14 16解析 3 块字块的排法为“20 12 伦敦” ， “20 伦敦 12” ， “12 20 伦敦” ，“12 伦敦 20” ， “伦敦 20 12” ， “伦敦 12 20” ，共 6 种，婴儿能得到奖励的情况有2 种，故所求概率 P .26 13二、填空题5从集合 A2,3中随机取一个元素 m，从集合 B1,2,3中随机取一个元素 n，得到点 P(m， n)，则点 P 在圆 x2 y29 内部的概率为
14、.13 导 学 号 95064751解析 点 P(m， n)的所有结果有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)共 6种情况，每种结果等可能出现，属于古典概型，记“点 P 在圆 x2 y29 内部”为事件 A即 m2 n29，则 A 包含的结果有(2,1)，(2,2)共 2 种 P(A) .26 136在平面直角坐标系中，从五个点 A(0,0)、 B(2,0)、 C(1,1)、 D(0,2)、 E(2,2)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 .45 导 学 号 95064752解析 如下图所示，则从这五点中任取三点的全部结果为：ABC、 ABD、 ABE、 A
15、CD、 ACE、 ADE、 BCD、 BCE、 BDE、 CDE，共 10 个而事件 M“任取三点构不成三角形”只有 ACE、 BCD 2 个，故构成三角形的概率 P( )M1 P(M)1 .210 45三、解答题7一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字 1、2、3，这三张卡片除标记的数字外完全相同随机有放回地抽取 3 次，每次抽取 1 张，将抽取的卡片上的数字依次记为a、 b、 c.导 学 号 95064753(1)求“抽取的卡片上的数字满足 a b c”的概率；(2)求“抽取的卡片上的数字 a、 b、 c 不完全相同”的概率解析 (1)由题意，( a， b， c)所有的可能为(1,1,1)
16、、(1,1,2)、(1,1,3)、(1,2,1)、(1,2,2)、(1,2,3)、(1,3,1)、(1,3,2)、(1,3,3)、(2,1,1)、(2,1,2)、(2,1,3)、(2,2,1)、(2,2,2)、(2,2,3)、(2,3,1)、(2,3,2)、(2,3,3)，(3,1,1)、(3,1,2)、(3,1,3)、(3,2,1)、(3,2,2)、(3,2,3)、(3,3,1)、(3,3,2)、(3,3,3)，共 27 种设“抽取的卡片上的数字满足 a b c”为事件 A，则事件 A 包括(1,1,2)、(1,2,3)、(2,1,3)，共 3 种所以 P(A) .327 19因此， “抽取
17、的卡片上的数字满足 a b c”的概率为 .19(2)设“抽取的卡片上的数字 a， b， c 不完全相同”为事件 B，则事件 包括(1,1,1)、(2,2,2)、(3,3,3)，共 3 种B所以 P(B)1 P( )1 .B327 89因此， “抽取的卡片上的数字 a， b， c 不完全相同”的概率为 .89C 级 能力拔高1.右面茎叶图中记录了甲组 3 名同学寒假假期内去图书馆 A 学习的次数和乙组 4 名同学寒假假期中去图书馆 B 学习的次数乙组记录中有一个数据模糊，无法确认(1)如果 x7，求乙组同学去图书馆 B 学习次数的平均数和方差；(2)如果 x9，从学习次数大于 8 的学生中选两
18、名同学，求选出的两名同学恰好分别在两个图书馆学习且学习的次数和大于 20 的概率. 导 学 号 95064754解析 (1)当 x7 时，由茎叶图可知，乙组同学去图书馆 B 学习的次数是7、8、9、12，所以其平均数为 9，x7 8 9 124方差为 s2 (79) 2(89) 2(99) 2(129) 2 .14 72(2)记甲组 3 名同学为 A1、 A2、 A3，他们去图书馆 A 学习的次数依次为 9、12、11；乙组 4 名同学为 B1、 B2、 B3、 B4，他们去图书馆 B 学习的次数依次为 9、8、9、12；从学习次数大于 8 的学生中任选两名学生，所有可能的结果有 15 个，它
19、们是A1A2、 A1A3、 A1B1、 A1B3、 A1B4、 A2A3、 A2B1、 A2B3、 A2B4、 A3B1、 A3B3、 A3B4、 B1B3、 B1B4、 B3B4.用 C 表示“选出的两名同学恰好在两个图书馆学习且学习的次数和大于 20”这一事件，则 C 中的结果有 5 个，它们是 A1B4、 A2B4、 A2B3、 A2B1、 A3B4.故选出的两名同学恰好分别在两个图书馆里学习且学习的次数和大于 20 的概率为 P(C) .515 132小王、小李两位同学玩掷骰子(骰子质地均匀)游戏，规则：小王先掷一枚骰子，向上的点数记为 x；小李后掷一枚骰子，向上的点数记为 y， 导
20、学 号 95064755(1)在直角坐标系 xOy 中，以( x， y)为坐标的点共有几个？试求点( x， y)落在直线x y7 上的概率；(2)规定：若 x y10，则小王赢；若 x y4，则小李赢，其他情况不分输赢试问这个游戏规则公平吗？请说明理由解析 (1)因 x， y 都可取 1,2,3,4,5,6，故以( x， y)为坐标的点共有 36 个记点( x， y)落在直线 x y7 上为事件 A，事件 A 包含的点有：(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)6 个，所以事件 A 的概率 P(A) .636 16(2)记 x y10 为事件 B， x y4 为事件 C，用数对( x， y)表示 x， y 的取值则事件 B 包含(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)共 6 个数对；事件 C 包含(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)共 6 个数对由(1)知基本事件总数为 36 个，所以 P(B) ， P(C) ，636 16 636 16所以小王、小李获胜的可能性相等，游戏规则是公平的
