1、课时训练 18 古典概型一、基本事件的计数问题1.在 1,2,3,4,5 这 5 个数字中,同时任取两个数,则有 个基本事件,其中“两数都是奇数”有 个基本事件. 答案:10 3解析:一共有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)共 10 个基本事件,两数都是奇数包含(1,3),(1,5),(3,5)3 个基本事件.二、古典概型的概率求法2.下列试验中是古典概型的是( )A.在适宜的条件下,种下一粒种子 ,观察它是否发芽B.在一口袋里有 2 个白球和 2 个黑球,这 4 个球除颜色外完全相同,从中任取一球C.向一个圆
2、面内随机地投一个点,该点落在圆内任意一点都是等可能的D.甲、乙两队进行一场足球赛 ,甲队比赛结果为甲队赢、平局、甲队输答案:B解析:对于 A,发芽与不发芽概率不同;对于 B,摸到白球与黑球的概率相同 ,均为 ;对于 C,基本事件有12无限个;对于 D,由于受甲、乙两队运动员水平的影响,甲队赢、输、平局的概率不相等,因而选 B.3.从 1,2,3,4 中任取 2 个不同的数,则取出的 2 个数之差的绝对值为 2 的概率是( )A. B. C. D.12 13 14 16答案:B解析:由题意知总事件数为 6,且分别为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),满足条件的
3、事件数是 2,所以所求的概率为 .134.一枚均匀的硬币连续掷三次,则至少出现一次正面向上的概率是( )A. B. C. D.78 38 18 13答案:A解析:一枚均匀的硬币连续掷三次 ,出现的所有可能情况是(正,正,正),(正,正,反),( 正,反,正),(正,反,反),(反,正,正),(反,正 ,反),(反,反,正),(反,反,反), 共 8 种,至少出现一次正面的有 7 种,所以所求概率为 .785.(2015 山东潍坊高一检测)已知集合 A=-1,0,1,点 P(x,y),其中 xA,yA,记点 P 落在第一象限为事件 M,则 P(M)=( )A. B. C. D.13 16 19
4、29答案:C解析:所有可能的点是(-1,- 1),(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1),共 9 个,其中在第一象限的有 1 个,因此 P(M)= .196.(2015 山东高考,文 16 改编)某中学调查了某班全部 45 名同学参加书法社团和演讲社团的情况 ,数据如下表:(单位:人)参加书法社团未参加书法社团参加演讲社团 8 5未参加演讲社团 2 30(1)从该班随机选 1 名同学,该同学至少参加上述一个社团的概率为 ; (2)在既参加书法社团又参加演讲社团的 8 名同学中,有 5 名男同学 A1,A2,A3,A4,A5,3 名
5、女同学 B1,B2,B3.现从这 5 名男同学和 3 名女同学中各随机选 1 人,A 1 被选中且 B1 未被选中的概率为 . 答案:(1) (2)13 215解析:(1)由调查数据可知,既未参加书法社团又未参加演讲社团的有 30 人,故至少参加上述一个社团的共有 45-30=15 人.所以从该班随机选 1 名同学,该同学至少参加上述一个社团的概率为 P= .1545=13(2)从这 5 名男同学和 3 名女同学中各随机选 1 人,其一切可能的结果组成的基本事件有 :A1,B1,A1,B2,A1,B3,A2,B1,A2,B2,A2,B3,A3,B1,A3,B2,A3,B3,A4,B1,A4,B
6、2,A4,B3,A5,B1,A5,B2,A5,B3,共 15 个.根据题意,这些基本事件的出现是等可能的.事件“A 1 被选中且 B1 未被选中” 所包含的基本事件有:A 1,B2,A1,B3,共 2 个.因此 A1 被选中且 B1 未被选中的概率为 P= .2157.(2015 湖南高考,文 16)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖 .抽奖方法是:从装有 2 个红球 A1,A2 和 1 个白球 B 的甲箱与装有 2 个红球 a1,a2 和 2 个白球 b1,b2 的乙箱中,各随机摸出 1 个球,若摸出的 2 个球都是红球则中奖,否则不中奖.(1)用球的标号列出所有可能的
7、摸出结果.(2)有人认为:两个箱子中的红球比白球多,所以中奖的概率大于不中奖的概率,你认为正确吗?请说明理由.解:(1)所有可能的摸出结果是A 1,a1,A1,a2,A1,b1,A1,b2,A2,a1,A2,a2,A2,b1,A2,b2,B,a1,B,a2,B,b1,B,b2.(2)不正确.理由如下:由(1)知,所有可能的摸出结果共 12 种,其中摸出的 2 个球都是红球的结果为 A1,a1,A1,a2,A2,a1,A2,a2,共 4 种,所以中奖的概率为 ,不中奖的概率为 1- .故这种说法不正确.412=13 13=2313三、较复杂的古典概型的概率计算8.(2015 安徽高考,文 17
8、改编)某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况 ,随机访问 50 名职工,根据这 50 名职工对该部门的评分,绘制频率分布直方图(如图所示), 其中样本数据分组区间为:40,50),50,60),80,90),90,100.(1)频率分布直方图中 a 的值为 ; (2)该企业的职工对该部门评分不低于 80 的概率的估计值为 ; (3)从评分在40,60)的受访职工中,随机抽取 2 人,此 2 人的评分都在40,50)的概率为 . 答案:(1)0.006 (2)0.4 (3)110解析:(1)因为(0.004+a+ 0.018+0.0222+0.028)10=1,所以 a=0.006.(2)
9、由所给频率分布直方图知,50 名受访职工评分不低于 80 的频率为(0 .022+0.018)10=0.4,所以该企业职工对该部门评分不低于 80 的概率的估计值为 0.4.(3)受访职工中评分在50,60) 的有:50 0.00610=3(人),记为 A1,A2,A3;受访职工中评分在40,50)的有:50 0.00410=2(人),记为 B1,B2.从这 5 名受访职工中随机抽取 2 人,所有可能的结果共有 10 种,它们是A 1,A2,A1,A3,A1,B1,A1,B2,A2,A3,A2,B1,A2,B2,A3,B1,A3,B2,B1,B2,又因为所抽取 2 人的评分都在40,50)的结
10、果有 1 种,即B 1,B2,故所求的概率为 P= .110(建议用时:30 分钟 )1.下列试验是古典概型的是( )A.任意抛掷两枚骰子,所得点数之和为基本事件B.求任意一个正整数的平方的个位数字是 6 的概率,将取出的正整数作为基本事件C.从 A 地到 B 地有三条路可到达,求某人正好选中最短路线的概率D.袋中装有 10 个红球和 8 个白球 ,红球的体积是白球的 2 倍,从中取出一球,观察球的颜色答案:C2.掷两颗均匀的骰子,则点数之和为 5 的概率等于 ( )A. B. C. D.118 19 16 112答案:B解析:掷两颗均匀的骰子,共有 36 种基本事件,点数之和为 5 的事件有
11、(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)4 种,因此所求概率为 ,选 B.436=193.从分别写有 A,B,C,D,E 的 5 张卡片中任取 2 张,这 2 张卡片上的字母恰好是按字母顺序相邻的概率是 ( )A. B. C. D.15 25 310 710答案:B解析:易知此为古典概型,且从 5 张卡片中任取 2 张,基本事件有 AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE,共 10 个,其中恰为按字母顺序相邻的基本事件有 AB,BC,CD,DE,共 4 个.故所求概率为 .410=254.若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人,这五人被录用的机会均等,则甲
12、或乙被录用的概率为( )A. B. C. D.23 25 35 910答案:D解析:五人录用三人共有 10 种不同方式 ,分别为: 丙,丁,戊, 乙,丁,戊,乙,丙,戊, 乙,丙,丁,甲,丁,戊,甲,丙,戊,甲,丙,丁, 甲 ,乙,戊,甲,乙,丁, 甲,乙,丙.其中含甲或乙的情况有 9 种,故选 D.5.已知 f(x)=3x-2(x=1,2,3,4,5)的值构成集合 A,g(x)=2x-1(x=1,2,3,4,5)的值构成集合 B,任取 xAB,则xAB 的概率是( )A. B. C. D.16 14 13 12答案:B解析:根据条件可得 A=1,4,7,10,13,B=1,2,4,8,16,
13、于是 AB= 1,2,4,7,8,10,13,16,AB=1,4.故任取 xA B,则 xA B 的概率是 .28=146.(2015 江苏高考,5)袋中有形状、大小都相同的 4 只球,其中 1 只白球,1 只红球,2 只黄球,从中一次随机摸出 2 只球,则这 2 只球颜色不同的概率为 . 答案:56解析:根据条件得P= 或 P=1- .1111+1112+111224 =56 2224=567.把两封不同的信投入 A,B 两个信箱,A,B 两信箱中各有一封信的概率为 . 答案:12解析:分别记两封信为 a,b,共有 A 中两封,B 中无;A 中 a,B 中 b;A 中 b,B 中 a;A 中
14、无,B 中两封,4 种情况.其中 A,B 各一封的有 2 种情况.故所求概率 P= .24=128.甲、乙、丙三名同学上台领奖,从左到右按甲、乙、丙的顺序排列,则三人全都站错位置的概率是 .答案:13解析:基本事件为甲乙丙,甲丙乙 ,乙丙甲,乙甲丙,丙甲乙,丙乙甲,共 6 个; 三人全站错的有乙丙甲,丙甲乙,共 2 个,故所求事件的概率为 .26=139.柜子里有 3 双不同的鞋,随机地取出 2 只,记事件 A 表示“取出的鞋配不成对”;事件 B 表示“取出的鞋都是同一只脚的”;事件 C 表示“取出的鞋一只是左脚的,一只是右脚的,但配不成对”.事件 A、事件B、事件 C 的概率分别为 、 、
15、. 答案:45 25 25解析:设 3 双不同的鞋分别为 x1x2,y1y2,z1z2.所以随机地取出 2 只的所有基本事件有:(x 1,x2),(x1,y1),(x1,y2),(x1,z1),(x1,z2),(x2,y1),(x2,y2),(x2,z1),(x2,z2),(y1,y2),(y1,z1),(y1,z2),(y2,z1),(y2,z2),(z1,z2)共 15 个.事件 A 包含的基本事件有(x 1,y1),(x1,y2),(x1,z1),(x1,z2),(x2,y1),(x2,y2),(x2,z1),(x2,z2),(y1,z1),(y1,z2),(y2,z1),(y2,z2)
16、共 12 个, 故 P(A)= .1215=45事件 B 包含的基本事件有(x 1,y1),(x1,z1),(x2,y2),(x2,z2),(y1,z1),(y2,z2)共 6 个,故 P(B)= .615=25事件 C 包含的基本事件有(x 1,y2),(x1,z2),(x2,y1),(x2,z1),(y1,z2),(y2,z1)共 6 个,故 P(C)= .615=2510.(2015 福建高考,文 18)全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标 .根据相关报道提供的全网传播 2015 年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据,对名列前20 名的“省级卫视新
17、闻台” 的融合指数进行分组统计,结果如表所示.组号分组频数1 4,5) 22 5,6) 83 6,7) 74 7,8 3(1)现从融合指数在4,5) 和7,8内的“省级卫视新闻台” 中随机抽取 2 家进行调研,求至少有 1 家的融合指数在7,8内的概率;(2)根据分组统计表求这 20 家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数.解法一:(1)融合指数在7,8内的“省级卫视新闻台”记为 A1,A2,A3;融合指数在4,5)内的“省级卫视新闻台”记为 B1,B2.从融合指数在4,5)和7,8 内的“省级卫视新闻台”中随机抽取 2 家的所有基本事件是:A1,A2,A1,A3,A2,A3,A1,B1,A1
18、,B2,A2,B1,A2,B2,A3,B1,A3,B2,B1,B2,共 10 个.其中,至少有 1 家融合指数在7,8内的基本事件是:A 1,A2,A1,A3,A2,A3,A1,B1,A1,B2,A2,B1,A2,B2,A3,B1,A3,B2,共 9 个.所以所求的概率 P= .910(2)这 20 家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数等于 4.5 +5.5 +6.5 +7.5 =6.05.220 820 720 320解法二:(1)融合指数在7,8内的“省级卫视新闻台”记为 A1,A2,A3;融合指数在4,5)内的“省级卫视新闻台”记为 B1,B2.从融合指数在4,5)和7,8 内的“省级卫视新闻台”中随机抽取 2 家的所有的基本事件是:A1,A2,A1,A3,A2,A3,A1,B1,A1,B2,A2,B1,A2,B2,A3,B1,A3,B2,B1,B2,共 10 个.其中,没有 1 家融合指数在7,8内的基本事件是:B 1,B2,共 1 个.所以所求的概率 P=1- .110=910(2)同解法一.
