1、课时提升作业(十八)古典概型(25 分钟 60 分)一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)1.下列概率模型中，是古典概型的个数为 ( )(1)从区间1，10内任取一个数，求取到 1 的概率；(2)从 110 中任意取一个整数，求取到 1 的概率；(3)在一个正方形 ABCD 内画一点 P，求 P 刚好与点 A 重合的概率；(4)向上抛掷一枚不均匀的硬币，求出现反面朝上的概率.A.1 B.2 C.3 D.4【解题指南】判断一个概率模型是否是古典概型，关键是看它是否满足两个条件：有限性；等可能性.【解析】选 A.第 1 个概率模型不是古典概型，因 为从区间1，10 内任意取出一个数，有无数个对
2、象可取，所以不满足有限性.第 2 个概率模型是古典概型，因为试验结果只有 10 个，而且每个数被抽到的可能性相等，即满足有限性和等可能性；第 3 个概率模型不是古典概型，不满足有限性；第 4 个概率模型也不是古典概型，因为硬币不均匀，因此两面出现的可能性不相等.2.(2014江西高考)掷两颗均匀的骰子，则点数之和为 5 的概率等于 ( )A. B. C. D.118 19 16 112【解题指南】根据古典概型概率公式及列举法列式计算.【解析】选 B.掷两颗骰子包含的所有结果为 36 种，点数之和为 5 所包含的结果为(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)共 4 种，故所求概率为 .19
3、3.袋中有 2 个红球，2 个白球，2 个黑球，从里面任意摸 2 个小球，下列不是基本事件的是 ( )A.正好 2 个红球 B.正好 2 个黑球C.正好 2 个白球 D.至少一个红球【解析】选 D.至少一个红球包含：一红一白或一红一黑或 2 个红球，所以至少一个红球不是基本事件，其他事件都是基本事件.【误区警示】解题时往往因对基本事件的概念理解不透而错选其他答案.4.将一枚质地均匀的硬币连掷 3 次，有且仅有 2 次出现正面向上的概率为 ( )A. B. C. D.38 23 13 14【解析】选 A.所有的基本事件是(正，正，正)，(正，正，反)， (正，反，正)，(正，反，反 )，(反，正
4、，正 )，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)，共有 8 个， 仅有 2 次出现正面向上的有：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，共 3 个. 则所求概率为 .38【延伸探究】若本题条件不变，则恰好出现一次正面向上的概率为多少?【解析】恰好出现一次正面向上的有(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，共 3 个，则所求概率为 .385.(2015临沂高一检测)若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m，n，则点 P(m，n)在直线 x+y=7 上的概率是 ( )A. B. C. D.13 14 16 112【解析】选 C.由题意知(m，n)的取值情况有(1，1)，(1，2
5、)， (1，6)；(2，1)，(2，2)，(2，6)；(6，1)，(6，2)，(6，6).共 36 种情况.而满足点 P(m，n)在直线 x+y=7 上的取值情况有(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1)共 6 种情况，故所求概率 为 = .63616二、填空题(每小题 5 分，共 15 分)6.下列对古典概型的说法中，正确的是 .试验中基本事件只有有限个.每个基本事件发生的可能性相同.每个事件发生的可能性相同.基本事件的总数为 n，随机事件 A 包含 m 个基本事件，则 P(A)= .【解析】根据古典概型的定义知正确，而中一个事件可能包含多个基本事件，因此说每个
6、事件发生的可能性相同不正确.答案：7.(2014新课标全国卷)将 2 本不同的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一行，则 2 本数学书相邻的概率为 .【解析】设数学书为 A，B，语文书为 C，则不同的排法有(A，B，C)，(A，C，B)，(B，C，A)，(B，A，C)，(C，A，B)，(C，B，A)共 6 种排列方法，其中 2 本数学书相邻的情况有 4 种，故所求概率为 P= = .4623答案：238.在集合1，2，3中有放回地先后随机取两个数，若把这两个数按照取的先后顺序组成一个两位数，则“个位数与十位数不相同”的概率是 .【解题指南】首先根据题意，计算在集合中有放回地先后随机取两个数
7、，可以重复，再分析组成的两位数的个数，即基本事件的个数，再找出个位数与十位数相同的基本事件个数，进而可得“个位数与十位数不相同”的基本事件个数，由古典概型的概率计算公式， 计算可得答案.【解析】根据题意，在集合1，2， 3中有放回地先后随机取两个数，基本事件有(1，1)， (1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)9 种情况；按照取的先后顺序组成一个两位数后，其中个位数与十位数相同的有 3 种，即(1，1)， (2，2)，(3，3)，则“个位数与十位数不相同”的有 9-3=6 种，则其概率为 = .6923答案：23三、解答题(每小题 10
8、分，共 20 分)9.现有 6 道题，其中 4 道甲类题，2 道乙类题，张同学从中任取 2道题解答.试求：(1)所取的 2 道题都是甲类题的概率.(2)所取的 2 道题不是同一类题的概率.【解题指南】利用列举法，弄清楚基本事件总数和所求的事件包含的基本事件数，利用古典概型的公式计算概率.【解析】(1)将 4 道甲类题依次编号为 1，2，3，4，2 道乙类题依次编号为 5，6.任取 2 道题的基本事件为1，2， 1，3，1，4，1，5，1，6，2，3，2，4，2，5，2，6，3，4，3，5，3，6，4，5，4，6，5，6共有 15 个；并且这些基本事件的出现是等可能的，记事件A=“张同学所取的
9、2 道题都是甲类题”，则 A 包含的基本事件有1，2，1，3，1，4，2，3，2，4，3，4共 6 个，所以 P(A)= = .61525(2)基本事件同(1). 记事件 B=“张同学所取的 2 道题不是同一类题”，则 B 包含的基本事件有1，5，1， 6，2，5，2，6，3，5，3，6，4，5，4，6共 8 个，所以 P(B)= .81510.箱子里装有十张卡片，上面分别写有 1 到 10 这十个整数.从箱子中任意取出一张卡片，记下它的读数 x，然后再放回箱子中，第二次再从箱子中任意取出一张卡片，记下它的读数 y.(1)求 x+y 是 10 的倍数的概率.(2)求 xy 是 3 的倍数的概率
10、.【解析】(1) 先后两次抽取卡片，每次都有 110 这 10 种结果，故有序实数对(x，y)有 1010=100 个.因为 x+y 是 10 的倍数，它包含下列 10 个数对：(1，9)，(2，8)，(3，7)，(4，6)，(5，5)，(6，4)，(7，3)，(8，2)，(9，1)，(10，10).故 x+y 是 10 的倍数的概率 P= = .10100110(2)符合 xy 是 3 的倍数，只要 x 或 y 是 3 的倍数即可.其中，x 是 3 的倍数， y 不是 3 的倍数与 y 是 3 的倍数，x 不是 3 的倍数的数对各有 37 个；x，y 都是 3 的倍数的数对有 33 个.故
11、xy 是 3 的倍数的数对有 237+33=51(个).故 xy 是 3 的倍数的概率 P= .51100(20 分钟 40 分)一、选择题(每小题 5 分，共 10 分)1.(2015杭州高一检测)古代“五行”学说认为：“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金” ，从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率为 ( )A. B. C. D.310 25 12 35【解析】选 C.从五种不同属性的物质中随机抽取两种，有：(金，木)，(金，水)，(金，火 )，(金，土)，(木，水)， (木，火)，(木，土)，(水，火)，(水，土)，(火，土
12、)，共 10 种等可能发生的结果，其中金克木，木克土，土克水，水克火，火克金，即相克的有 5 种， 则不相克的也是 5 种，所以抽取的两种物质不相克的概率为 .122.设 a 是从集合1，2，3，4中随机取出的一个数，b 是从集合1，2，3中随机取出的一个数，构成一个基本事件(a，b).记这些基本事件中“满足 logba1”为事件 E，则 E 发生的概率是 ( )A. B. C. D.12 512 13 14【解题指南】首先将已知的不等关系转化为 a，b 的关系，再求出所含基本事件后求概率.【解析】选 B.试验发生包含的事件是分别从两个集合中取两个数字，共有43=12 种结 果， 满足条件的事
13、件是满足 logba1，可以列举出所有的事件，当 b=2 时， a=2，3，4，当 b=3 时，a=3，4，共有 3+2=5 个，所以根据古典概型的概率公式得到概率是 .512二、填空题(每小题 5 分，共 10 分)3.若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为 .【解析】甲、乙、丙三人随机地站成一排有(甲乙丙)、(甲丙乙)、(乙甲丙)、(乙丙甲)、(丙甲乙)、(丙乙甲)共 6 种排法，甲、乙相邻而站有(甲乙丙)、(乙甲丙)、(丙甲乙)、(丙乙甲)共 4 种排法，由概率计算公式得甲、乙两人相邻而站的概率为 = .4623答案：234.(2015杭州高一检测)从边长为 1 的
14、正方形的中心和顶点这五点中，随机(等可能)取两点，则该两点间的距离为 的概率是 .22【解题指南】古典概型问题，该两点间的距离为 的情况可列举得出.22【解析】若使两点间的距离为 ，则为对角线的一半，选择点必含中心，22设中心为 G，四个顶点为 A，B，C，D，基本事件有：(A， B)，(A，C)，(A，D)，(A，G)，(B，C)，(D，G)，共 10 个，所求事件包含的基本事件有：(A，G)，(B，G)，(C，G)，(D，G)，共 4 个，所求概率为 = .41025答案：25三、解答题(每小题 10 分，共 20 分)5.(2015赣州高一检测)袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别
15、为 1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为 1，2.(1)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于 4 的概率.(2)现袋中再放入一张标号为 0 的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于 4 的概率.【解析】(1)从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下 10 种：(红1红 2)，(红 1红 3)，(红 1蓝 1)，(红 1蓝 2)，(红 2红 3)，(红 2蓝 1)，(红 2蓝 2)，(红 3蓝 1)，(红 3蓝 2)，(蓝 1蓝 2).其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于 4 的有 3 种情况，故所求的概率为 P= .310(2)加入一 张标
16、 号为 0 的绿色卡片后，从六张卡片中任取两张，除上面的 10 种情况外，多出 5 种情况：(红 1绿 0)，(红 2绿 0)，(红 3绿 0)，(蓝 1绿 0)，(蓝 2绿 0)，即共有 15 种情况，其中颜色不同且标号之和小于 4 的有8 种情况，所以概率为 P= .8156.甲、乙二人用 4 张扑克牌(分别是红桃 2，红桃 3，红桃 4，方片 4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张.(1)设(i，j)分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出甲、乙二人抽到的牌的所有情况.(2)若甲抽到红桃 3，则乙抽出的牌的牌面数字比 3 大的概率是多少?(
17、3)甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜.你认为此游戏是否公平?说明你的理由.【解析】(1) 甲、乙二人抽到的牌的所有情况(方片 4 用 4表示) 为：(2，3) ，(2，4)，(2，4)，(3，2)，(3，4)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共 12 种不同情况.(2)甲抽到 红 桃 3，则乙抽到的牌只能是红桃 2，红桃 4，方片 4，因此乙抽到的牌面数字大于 3 的概率为 .23(3)不公平 .甲抽到牌的牌面数字比乙大有(3 ，2)，(4，2)，(4，3)，(4，2)，(4，3)5 种，甲胜的概率 为 P1= ，乙 胜的概率为 P2= .所以 ，512 712 512712所以此游戏不公平.
