1、 -学 习 改 变 命 运- 1 -第四讲 复杂盈亏问题【专题知识点概述】盈亏问题是一类生活中很常见的问题按不同的方法分配物品时，经常发生不能均分的情况如果有物品剩余就叫盈，如果物品不够就叫亏，这就是盈亏问题的含义【授课批注】本节与实际生活练习较为紧密，生活中经常遇到此类问题，学生较感兴趣。合理提炼分配的总量和份数，能够在多个条件下，统一关系，对于盈亏问题的变型，更是学生需要注意的，是对学生能力的考察，对学生来说是一个挑战。解盈亏问题的公式：（1）一次有余（盈） ，一次不够（亏） ，可用公式：（盈+亏）（两次每人分配数的差）=人数。（2）两次都有余（盈） ，可用公式：（大盈-小盈）（两次每人分
2、配数的差）=人数。（3）两次都不够（亏） ，可用公式：（大亏-小亏）（两次每人分配数的差）=人数。（4）一次不够（亏） ，另一次刚好分完，可用公式：亏（两次每人分配数的差）=人数。（5）一次有余（盈） ，另一次刚好分完，可用公式：盈（两次每人分配数的差）=人数。【授课批注】注意总量与份数是恒定不变的，能够将多个条件统一到统一条件关系下，利用画图表解题。【重点难点解析】1理解掌握并运用直接计算型盈亏问题； 2理解掌握条件转换型盈亏问题；3理解掌握关系互换型盈亏问题-学 习 改 变 命 运- 2 -【竞赛考点挖掘】1.条件转换2.关系互换【习题精讲】【例 1】 （难度等级 ）实验小学学生乘车去春游
3、，如果每辆车坐 60 人，则有 15 人上不了车；如果每辆车多坐 5 人，恰好多出一辆车. 问一共有几辆车，多少个学生？【分析与解】 每辆车坐 60 人，则多余 15 人，每辆车坐 60+5=65 人，则多出一辆车，也就是差 65 人.因此车辆数目为：（65+15）5=805=16（辆）.学生人数为：60（16-1）+15=6015+15=900+15=915（人）.答：一共有 16 辆车，915 名学生.【例 2】 （难度等级 ）小胖的爷爷买回一筐梨，分给全家人.如果小胖和小妹二人每人分 4 个，其余每人分2 个，还多出 4 个，如果小胖 1 人分 6 个，其余每人分 4 个，又差 12 个
4、.问小胖家有多少人？这筐梨子有多少个？【分析与解】 第一次分法是小胖、小妹各 4 个，其余每人 2 个，多余 4 个.假设小胖、小妹也分 2 个，那么会多多少个梨呢？很容易想，那就会多出：22+4=8（个）.第二次分法是小胖一人得 6 个，其余每人 4 个，差 12 个，假如小胖也只分 4 个呢，那么就只差：12-2=10（个）.这样一想，就变成和前面讲的例子一样了.解 小胖家的人数为：22+4+（12-2） 2=（8+10）2=9（人）.梨子数为：-学 习 改 变 命 运- 3 -42+2（9-2）+4=8+14+4=26（个） ，或者 6+4（9-1）-12=6+32-12=26（个）.答
5、：小胖家有 9 人，这筐梨有 26 个.【例 3】 （难度等级 ）用一根长绳测量井的深度，如果绳子两折时，多 5 米；如果绳子 3 折时，差 4 米. 求绳子长度和井深.【分析与解】井的深度为：（52+43）（3-2）=221=22（米）.绳子长度为：（22+5）2=272=54（米） ，或者 （22-4）3=183=54（米）.【例 4】 （难度等级 ）食堂采购员小李到集贸市场去买肉，如果买牛肉 18 千克，则差 4 元；如果买猪肉 20千克，则多 2 元. 已知牛肉、猪肉每千克差价 8 角.问牛肉、猪肉各多少钱一千克？【分析与解】这里有两种肉，思考起来比较困难，能否化为一种肉的问题呢？仔细
6、分析一下已知条件，买牛肉 18 千克差 4 元，而买猪肉 20 千克还多 2 元，说明牛肉贵一些.每千克贵 8 角，如果 18 千克牛肉换成 18 千克猪肉，就要少花818=144（角）=14 元 4 角.这样就会多出 14 元 4 角-4 元=10 元 4 角.因此问题就可变为：“小李买猪肉 18 千克多余 10 元 4 角，买 20 千克多余 2 元，求猪肉单价和钱数.”虽然两次都是盈余，仍属盈亏问题，不过猪肉单价=两次钱的差两次千克量差.解 由已知条件知牛肉比猪肉贵，每千克贵 8 角.18 千克牛肉比 18 千克猪肉贵818=144（角）=14 元 4 角.因此小李若买 18 千克猪肉就
7、会多余14 元 4 角-4 元=10 元 4 角.由已知小李买 20 干克猪肉多余 2 元，所以猪肉每千克价格为（104-20）（20-18）=842=42（角）=4 元 2 角.所以牛肉每千克价格为：4 元 2 角+8 角=5 元.小李带的钱为：4.220+2=86（元）.-学 习 改 变 命 运- 4 -【例 5】 （难度等级 ）王老师给小朋友分苹果和桔子，苹果数是桔子数的 2 倍.桔子每人分 3 个，多 4 个；苹果每人分 7 个，少 5 个.问有多少个小朋友？多少个苹果和桔子？【分析与解】 因为桔子每人分 3 个多 4 个，而苹果是桔子的 2 倍，因此苹果每人分 6 个就多 8 个.又
8、已知苹果每人分 7 个少 5 个，所以应有（8+5）（6-5）=13（人）.苹果个数为 137-5=86（个）.桔子数为 133+4=43（个）.答：有 13 个小朋友，86 个苹果和 43 个桔子.【例 6】 （难度等级 ）甲、乙两人各买了相同数量的信封与相同数量的信纸，甲每封信用 2 张信纸，乙每封信用 3 张信纸，一段时间后，甲用完了所有的信封还剩下 20 张信纸，乙用完所有信纸还剩下 10 个信封，则他们每人各买了多少张信纸？【分析与解】由题意，如果乙用完所有的信封，那么缺 30 张信纸这是盈亏问题，盈亏总额为(2030)张信纸， 两次分配的差为(32)张信纸，所以有信封(2030)(
9、32)50(个)，有信纸25020120(张)【例 7】 （难度等级 ）幼儿园把一袋糖果分给小朋友如果分给大班的小朋友，每人 5 粒就缺 6 粒如果分给小班的小朋友，每人 4 粒就余 4 粒已知大班比小班少 2 个小朋友， 这袋糖果共有多少粒？【分析与解】 如果大班增加 2 个小朋友，大、小班人数就相等了，变为“每人 5 粒缺 16 粒，每人 4 粒多 4 粒” 的盈亏问题小班有(164)(54)20(人)这袋糖果有420484(粒)【例 8】 （难度等级 ）实验小学少先队员去植树如果每人种 5 棵，还有 3 棵没人种；如果其中 2 人各种 4棵，其余的人各种 6 棵，这些树苗正好种完问有多少
10、少先队员参加植树，一共种多少树苗？【分析与解】 这是一道较难的盈亏问题，主要难在对第二个已知条件的理解上：如果其中 2 人各种 4 棵，-学 习 改 变 命 运- 5 -其余的人各种 6 棵，就恰好种完，这组条件中包含着两种种树的情况2 人各种 4 棵，其余的人各种 6 棵如果我们把它统一成一种情况，让每人都种 6 棵，那么，就可以多种树（64）24（棵） 因此，原问题就转化为：如果每人各种 5 棵树苗，还有 3 棵没人种；如果每人种 6 棵树苗，还缺 4 棵问有多少少先队员，一共种多少树苗？人数： 3（64）2（65）7（人） ，棵数：57338（棵）或 67438（棵） 【例 9】 （难度
11、等级 ）李明的妈妈去超市买洗衣粉，雕牌和碧浪的单价分别为 8 元和 10 元，李妈妈带的钱买雕牌洗衣粉比买碧浪洗衣粉可多买 3 袋，并且没有剩余的钱问：李妈妈带了多少钱？【分析与解】 （法 1） “李妈妈带的钱买雕牌洗衣粉比买碧浪洗衣粉可多买 3 袋” ，这三袋洗衣粉多花8324（元） ，又因为花的钱总数一样多，所以在买碧浪洗衣粉的时候要把这些钱补上，而碧浪比雕牌每袋贵 2 元，所以要买碧浪洗衣粉袋数 24212（件） 这样李妈妈带的钱数是 1012120（元） （法 2）如果买雕牌与碧浪洗衣粉数量一样多，则买雕牌洗衣粉以后还剩 3824（元） ，根据普通的盈亏问题解法，买碧浪洗衣粉的数量是：
12、24（108）24212（件） ，所以李妈妈带的钱数是：1210120（元） 【例 10】 （难度等级 ）有若干个苹果和梨，如果按 1 个苹果配 3 个梨分一堆，那么苹果分完时，还剩 2 个梨；如果按半个苹果配 2 个梨分一堆，那么梨分完时，还剩半个苹果.问梨有多少个？【分析与解】1 个苹果配 3 个梨，多 2 个梨；半个苹果配 2 个梨，即 1 个苹果配 4 个梨，剩半个苹果，即少 2 个梨.苹果有（2+2）（4-3）=4（个） ，梨有 34+2=14（个）.【例 11】 （难度等级 ）小同有一个储蓄筒，存放的都是硬币，其中 2 分币比 5 分币多 22 个；按钱数算，5分币却比 2 分币多
13、 4 角；另外，还有 36 个 1 分币小同共存了多少钱?【分析与解】假设去掉 22 个 2 分币，那么按钱数算，5 分币比 2 分币多 8 角 4 分，一个 5 分币比一个 2分币多 3 分，所以 5 分币有： 84(52)28(个) 2 分币有： 282250(个)52825013614010036276(分).-学 习 改 变 命 运- 6 -【例 12】 （难度等级 ）学而思学校买来一批体育用品，羽毛球拍是乒乓球拍的 2 倍，分给同学们，每组分乒乓球拍 5 副，余乒乓球拍 15 副，每组分羽毛球拍 14 副，则差 30 副，问：学而思学校买来羽毛球拍、乒乓球拍各多少副？【分析与解】因为
14、羽毛球拍是乒乓球拍的 2 倍，如果每次分羽毛球拍 52=10（副） ，最后应余下152=30（副） ，因为 14-52=4（副） ，分到最后还差 30 副，所以比每次分 10 副总共差30+30=60（副） ，所以有小组：604=15（组） ，乒乓球拍有：515+15=90（副） ，羽毛球拍 902=180（副）.【例 13】 （难度等级 ）体育队将一些羽毛球分给若干个人，每人 5 个还多余 10 个羽毛球，如果人数增加到3 倍，那么每人分 2 个羽毛球还缺少 8 个，问有羽毛球多少个？【分析与解】考虑人数增加 3 倍后，相当于按原人数每人给 236（个） ，每人给 5 个与给 6 个，总数相
15、差 10818 (个） ，所以原有人数 18（65)18（人） ，乒乓球总数是 51810100（个） 【例 14】 （难度等级 ）小白兔和小灰兔各有若干只如果 5 只小白兔和 3 只小灰兔放到一个笼子中，小白兔还多 4 只，小灰兔恰好放完；如果 7 只小白兔和 3 只小灰兔放到一个笼子中，小白兔恰好放完，小灰兔还多 12 只那么小白兔和小灰兔共有多少只？【分析与解】“7 只小白兔和 3 只小灰兔装一个笼子，小白兔恰好装完，小灰兔还多 12 只”说明小白兔少了 123728（只） ，这样原来笼子数有：（284）（75）16（个） ，所以小白兔有 165484（只） ，小灰兔有 16348（只）
16、 ，合起来有 8448132（只） 【例 15】 （难度等级 ）四(2)班在这次的班级评比中，获得了 “全优班”的称号为了奖励同学们，班主任刘老师买了一些铅笔和橡皮刘老师把这些铅笔和橡皮分成一小堆一小堆，以便分给几位优秀学生如果每堆有 1 块橡皮 2 支铅笔，铅笔分完时橡皮还剩 5 块；如果每堆有 3块橡皮和 5 支铅笔，橡皮分完时还剩 5 支铅笔那么，刘老师一共买了多少块橡皮?-学 习 改 变 命 运- 7 -多少支铅笔? 【分析与解】如果增加 10 支铅笔，则按 1 块橡皮、2 支铅笔正好分完；而按 3 块橡皮、5 支铅笔分，则剩下 10+5=15(支)铅笔，但如果按 3 块橡皮、6 支铅
17、笔分，则正好分完，可以分成：15(65)=15(堆)，所以，橡皮数为：153=45(块)，铅笔数为：15610=80(支)【作业】1.小强由家里到学校，如果每分钟走 50 米，上课就要迟到 3 分钟；如果每分钟走 60 米，就可以比上课时间提前 2 分钟到校.小强家到学校的路程是多少米？【答案】15002.少先队员参加绿化植树，他们准备栽的苹果树苗是梨树苗的 2 倍.如果每人栽 3 棵梨树苗，还余 2 棵；如果每人栽 7 棵苹果树苗，要少 6 棵.问有多少少先队员？他们准备栽多少棵苹果树和梨树？【答案】64， 23.学校进行大扫除，分配若干人擦玻璃，其中两人各擦 4 块，其余各擦 5 块，则余
18、 12 块；若每人擦 6 块，则正好擦完，求擦玻璃的人数及玻璃的块数？【答案】10，604. 兔子妈妈分白菜：如果其中 2 只小兔子每只分 4 棵，其余每只分 2 棵，则多 4 棵白菜；如果其中一只小兔子分 6 棵，其余每只分 4 棵，则差 12 棵白菜，问：一共有多少只小兔子？一共有多少棵白菜？【答案】9，265. 有 48 个香蕉分给两个笼子的小猩猩，已知第二个笼子比第一个笼子多 5 只猩猩如果把香蕉全部分给第一个笼子的猩猩，那么每只猩猩 4 个，有剩余；每只猩猩 5 个，香蕉不够如果把香蕉全分给第二个笼子，那么每只猩猩 3 个，有剩余；每只猩猩 4 个，香蕉不够问第二个笼子有多少只猩猩？【答案】15挑战自己 （难度等级 ）若干盒卡片，每盒中卡片数一样多把这些卡片分给一些小朋友，如果只分一盒，每人均至少可得 7 张，但若都分 8 张则还缺少 5 张现在把所有卡片都分完，每人都分到 60 张，而且还多出 4 张问共有小朋友多少人？-学 习 改 变 命 运- 8 -【答案】11 人
