1、屯溪一中 2018-2019 学年度高二第二学期入学摸底考试数学（理科）（时间：120 分钟 满分：150 分）第 I卷一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内）1、命题“ ”的否定是（ ）xxsin2,0A. B.i,xxsin2,0C. D.000sxx 02、已知圆 与圆 相交于 两42:21yC 041:22 yxCBA、点，则线段 的垂直平分线的方程为（ ）ABA. B. C. D.03yx03x043yx973已知函数 则 （ ）,log,)(21f )21()6ffA.
2、3 B.1 C.-1 D.-24.命题 p：“平面内过点 与抛物线 有且只有一个交点直线恰有两条”；命题)1,(2yxq：“ 函数 （ 且 ）的图象过定点 ”，则四个命题 ，()xfa0a)1,(， ， 中，正确命题的个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 45.如图，在半径为 4的大圆中有三个小半圆 ， ， ，其半径分别为1，2，1，若在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 A. B. C. D. 483851676.设 是两个不同的平面， 是一条直线，以下命题中正确的是（ ）、 lA.若 ，则 ； B.若 ， ，则 ；,llllC.若 ， ，则 ； D.若 ， ，则 .llll
3、7.如图，正方体 中， E、 F分别是 、 BD的中点，则直线 与EF所成的角余弦值是 A. B. C. D. 212336268.如图，在四面体 ABCD中， E、 F分别是棱 AD、 BC的中点，则向量与 、 的关系是 A. B. CDABEF21CDAB21C. D.EF9.已知圆 与 轴相切，抛物线04: 22myxCy过圆心 ，其焦点为 ，则直线 被抛物线所)0(:2pxyECFC截得的弦长等于 A. B. C. D. 858354243510.已知某几何体的三视图如图所示，正视图是斜边长为 2的等腰直角三角形，侧视图是直角边长为 1的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为 A
4、. B. C. D. 4561811.已知双曲线 的离心率为 ，过右焦点且垂直于 x轴的直线与双)0,(12bayx2曲线交于 两点. 设 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 和 ，且 ，BA, 1d2621d则双曲线的方程为( )A. B. C. D. 1932yx1392yx24yx412yx12.已知定义在 上的奇函数 在 上递减,且 ,则满足 的R)(xf01)(f 1)(log2xf实数 的取值范围是( )x. . . .A,1B2,C2,1D,0第卷二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13.编号为 的三位学生随意坐入编号为 的三个座位，每位学生坐一个座位，
5、则三位3,213,21学生所坐的座位号与学生的编号恰好都不同的概率 14.椭圆 上的点到直线 的最远距离是_ 2164xy02yx15已知 ()1f|+|，若函数 ()gfxa有零点，则实数 的最小值为 a 16.某曲线的方程为 ，若直线 与该曲线22(1)(1)xyxy1:2lykx有公共点，则实数 的取值范围是 k三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本题满分 10 分）设命题 实数 满足 （ ）；命题 实数 满足 错误！未找:px22430axa:qx32到引用源。0（1）若 且 p q为真，求实数 的取值范围；a（2）若 p是
6、q的充分不必要条件，求实数 的取值范围a18.（本题满分 12 分）已知函数 ，xf2)(（1）画出函数 的图象，并写出 的递减区间；|()|yfxR|()|yfxR（2）若函数 ，求函数 恒成立时实数 的取值范4(1,)Hax0Ha围.19.（本题满分 12 分）如图， 中， ，沿斜边 上的高 将 折起到 的位置，点ABCRTACBD在线段 上 ED求证： ；过点 作 交 于点 ，点 为 的中点，若 平面 ，求 的BCMNPBDMNCE值20 （本题满分 12 分）已知抛物线 ，)1(4:2xyC（1）若动直线 与抛物线 相交于 点，动点 的坐标是 ，求线段 的ayCAB)3,0(aAB中点
7、 的轨迹方程M（2）过点 的直线 交抛物线 于 、 两点， 点坐标是 ，若 的)0,(DlPQE),1(EPQ面积为 ，求直线 的倾斜角 的值421.（本题满分 12 分）如图，四棱锥 中， 底面 ABCD， ， ， ， ， 是线段 上的一点不包括端点MPD1求证：平面 平面 ； PBCA2试确定点 的位置，使直线 与平面 所成角 的正弦值为 C5122.（本题满分 12 分）如图所示，已知 A、 B、 C是长轴长为 4的椭圆 E上的三点，点 A是长轴的一个端点，BC过椭圆中心 O，且 ， 2BAC0（1）求椭圆 E的方程；（2）过椭圆 上异于其顶点的任一点 P，作圆24:3xy的两条切线，切
8、点分别为 M、 N，若直线MN在 轴、 轴上的截距分别为 m、 n，求证：21mn为定值.2018-2019 屯溪一中高二第二学期入学摸底考试数学（理科）参考答案 1、选择题（本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内）1、命题“ ”的否定是（ D）xxsin2,0A、 B、xxsin2,0C、 D、000si,xx 02、已知圆 与圆 相交于 两42:21y 41:22 yxCBA、点，则线段 的垂直平分线的方程为（ A ）BA. B. C. D.03yx03x043yx0973已知函数 则 （ C
9、）,log,)(21f )21()6ffA、3 B、1 C、-1 D、-24.命题 p：“平面内过点 恰有两条直线与抛物线 有且只有一个交点”；命题),(2yxq：“ 函数 （ 且 ）的图象过定点 ”则四个命题 ，1()xfa01a)1,(， ， 中，正确命题的个数为 C A. 1 B. 2 C. 3 D. 44.【答案】C【解析】解：命题 p是假命题；命题 q：是假命题则四个命题 ， ， ， 中，正确命题为： ， ，个数为 3故选：C5.如图，在半径为 4的大圆中有三个小半圆 ， ， ，其半径分别为 1，2，1，若在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 D A. B. C. D. 【
10、答案】D【解析】解：大圆的半径为 ，则大半圆的面积 ，和 的面积之和为 ， 的一半面积为 ，则阴影部分的面积 ，则对应概率 ，故选：D6.设 是两个不同的平面， 是一条直线，以下命题中正确的是（ B ）、 lA.若 ，则 ； B.若 ， ，则 ；,llllC.若 ， ，则 ； D.若 ， ，则 .7.如图，正方体 中，E、F 分别是 、BD 的中点，则直线与 EF所成的角余弦值是 C A. B. C. D. 【答案】C【解析】解：如图，取 AD的中点 G， 连接 EG，GF， 为直线 与 EF所成的角设棱长为 2，则 ， ，故选：C8.如图，在四面体 ABCD中，E、F 分别是棱 AD、BC
11、的中点，则向量 与 、 的关系是 C A. B. C. D. 【答案】C【解析】解：连接 AF，故选：C9.已知圆 C： 与 y轴相切，抛物线 E：过圆心 C，其焦点为 F，则直线 CF被抛物线所截得的弦长等于A A. B. C. D. 10.已知某几何体的三视图如图所示，正视图是斜边长为 2的等腰直角三角形，侧视图是直角边长为 1的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为 B A. B. C. D. 【答案】C【解析】解：由三视图还原原几何体如图：该几何体为四棱锥，底面 ABCD为矩形， ， ，侧面 PAD为等腰直角三角形，且平面 平面 ABCD，连接 AC，BD，设 ，则 O为该几何体
12、的外接球的球心，则半径 ， 该几何体的外接球的表面积为 故选：B11.已知双曲线 的离心率为 2，过右焦点且垂直于 x轴的直线与双曲线交于 两点设 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 和 ，且 则双曲线的方程为( A )A. B. C. D. 【答案】A【解答】解：由题意可得图象如图，CD 是双曲线的一条渐近线，即 ， ， ， ，ACDB 是梯形，F是 AB的中点， ， ，所以 ，双曲线 的离心率为 2，可得 ，可得： ，解得则双曲线的方程为： 故选：A12.已知定义在 上的奇函数 在 上递减,且 ,则满足R)(xf01)(f的 的取值范围是( D )1)(log2xf. . . .A,B2,
13、C2,1D2,0二、填空题(本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分）13.编号为 1，2，3 的三位学生随意坐入编号为 1，2，3 的三个座位，每位学生坐一个座位，则三位学生所坐的座位号与学生的编号恰好都不同的概率 【答案】 1314.椭圆 上的点到直线 x2y 0 的最大距离是_【答案】2164xy2 1015已知 ()f|+|，若 ()gfa的零点个数不为 0，则 a的最小值为 【答案】116.曲线的方程为 ，若直线 与曲线有公22(1)(1)xyxy1:2lykx共点，则 k的取值范围是_【答案】2(,)3三、解答题（本大题共 6小题，共 70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算
14、步骤）17. 设命题 实数 满足 （ ）；命题 实数 满足 错误！:px22430axa:qx32未找到引用源。0（1）若 且 p q为真，求实数 的取值范围；a（2）若 p是 q的充分不必要条件，求实数 的取值范围a18.（1）由 x2-4ax+3a20 得( x-3a)(x-a)0，又 a0，所以 a x3 a，.- -2 分当 a=1时，1 x3，即 p为真时实数 x的取值范围是 1 x3 由实数 x满足 错误！未找到引用源。 得-2 x3，即 q为真时实数 x的取值范围2是-2 x34 分若 p q为真，则 p真且 q真，所以实数 x的取值范围是 1 x3- 6 分（2） p是 q的充
15、分不必要条件 由 a0，及 3a3 得 0 a1，所以实数 a的取值范围是 0 a1 -10 分18.已知函数 ，xf2)(（1）画出函数 的图象，并写出 的递减区间；|()yR|()|yfxR（2）若函数 ，求函数 恒成立时实数 的取值范()41,)Hxfax0Ha围.19. （1）图象略，-3 分递减区间： -5分2,10(2) 记 H（ x）= x2-（ a+2） x+4， x-1，1当 -1，即 a-4 时， H（ x） min=H （-1）= a+70，即 a-7又因为 a-4，所以-7 a-4； （7 分）当-1 1，即-4 a0 时，H （ x） min=H （ ）= 0，恒成立
16、，所以-4 a0； （9 分）当 1，即 a0 时， H （ x） min=H （1）=3- a0，即 a3又 a0，所以 0 a3综上所得-7 a3 （12 分）19.如图， 中， ，沿斜边 上的高ABCRTAC将 折起到 的位置，点 在线段DE上 求证： ；过点 作 交 于点 ，点 为 的中点，BCMNPB若 平面 ，求 的值DN【答案】解： 是 AC边上的高， ，又 ，平面 PCD，又 平面 PCD中，即 ；-6 分如图所示，连接 BE，交 DM与点 F，平面 DMN，又点 N为 PB中点，点 F为 BE的中点；又 ，是等边三角形，设 ，则 ， ； -12 分20.如图，四棱锥 中， 底
17、面 ABCD， ， ， ， ，M 是线段 PD上的一点不包括端点1求证：平面 平面 ； PBCA2试确定点 M的位置，使直线 MA与平面 PCD所成角的正弦值为 【答案】解： 1 底面 ABCD， 平面 AC， ，又 ，平面 PAC又 平面 , 平面 平面BCPBCPA2取 CD的中点 E，则 ，又 底面 ABCD， ，建立如图所示空间直角坐标系，则 0， ， 0， ， ， ， ，设 y， ， ( )，1m则 y， ，解得点 ，即 ，)3,23(M)3,213(mAM设平面 PDC的一个法向量 ，则 ， ， ，由 ，得 不合题意舍去或 ，所以当 M为 PD的中点时，直线 AM与平面 PCD所成
18、角的正弦值为 20.已知抛物线 ，)1(4:2xyC（1）若动直线 与抛物线 相交于 点，动点 的坐标是 ，求线段 的aAB)3,0(aAB中点 的轨迹的方程（2）过点 的直线 交抛物线 于 、 两点， 点坐标是 ，若 的)0,(DlCPQE),1(EPQ面积为 ，求直线 的倾斜角 的值420(1)设 ，由题意 ，又 的坐标是 ，所以线段 的中),(yxM),4(2aAB)3,0(aAB点 坐标满足 ，消去 得 ，即为 的轨迹的方程.ay2382 1632xyM(2)设直线 l的方程为 y=k(x2)，因 l与抛物线有两个交点，故 k0.0xyk2， 得 代 入 得 ， 恒 成 立 ， 记 这
19、 个 方 程 的 两 实 根 为 ， ， 则 y4(x1)y4k0=6k+0y222 12|PQ1|y|=+k()44)212122 又 点 到 直 线 的 距 离 ，Ed=|k0|1|k122l EPQ 的面积为S=12|PQdk|E2 由 得 ， ， 或 2k|43 =65或6),03522如图所示，已知 A、 B、 C是长轴长为 4的椭圆 E上的三点，点 A是长轴的一个端点，BC过椭圆中心 O，且 ， 2AC0（1）求椭圆 E的方程；（2）过椭圆 上异于其顶点的任一点 P，作圆24:3xy的两条切线，切点分别为 M、 N，若直线MN 在 x轴、 y轴上的截距分别为 m、 n，求证： 21
20、3n为定值.解：（1）依题意知：椭圆的长半轴长 2a，则 ,0A，设椭圆 E的方程为214xyb，由椭圆的对称性知 OCB 又 ，0CABCA， 为等腰直角三角形.OCB.|,点 C（1，1） ，B（-1，-1） ，由点 C在椭圆上得 ，342b所以椭圆 E的方程为 -5分1432yx（3）设点 由 M、 N分别为圆 切点知， ， ,),(1POMPNO所以 O、M、P、N 四点共圆，且圆的直径为 OP,所以圆心为 ，该圆的方程为2221114xyxy，)2,(1yx即210，即点 、 N满足方程，又点 M、 N都在圆 O上， M、坐标也满足圆 O的方程243xy，得直线 的方程为 1， -9分令 0y，得 143mx，令 0得 143ny，1x， 1n，又点 P在椭圆 E上，22434m，即 2134mn（定值） ；-12 分
