1、专题六 解析几何第 1讲 直线与圆、圆锥曲线的概念、方程与性质(限时:45 分钟)【选题明细表】知识点、方法 题号直线与圆 1,6,12,15圆锥曲线的定义及应用 5,9,10圆锥曲线的方程 4,8,16圆锥曲线的几何性质 2,3圆锥曲线的离心率 7,11,13,14一、选择题1.(2018吉林长春市一模)已知圆 x2+y2-4x+6y=0的圆心坐标为(a,b),则 a2+b2等于( D )(A)8 (B)16 (C)12 (D)13解析:由圆的标准方程可知圆心为(2,-3),即 a2+b2=13.故选 D.2.(2018浙江卷)双曲线 -y2=1的焦点坐标是( B )23(A)(- ,0),
2、( ,0) (B)(-2,0),(2,0)2 2(C)(0,- ),(0, ) (D)(0,-2),(0,2)2 2解析:因为双曲线方程为 -y2=1,23所以 a2=3,b2=1,且双曲线的焦点在 x轴上,所以 c= = =2,2+2 3+1即得该双曲线的焦点坐标为(-2,0),(2,0).故选 B.3.(2018安徽合肥高三调研)下列双曲线中,渐近线方程不是y= x的是( D )34(A) - =1 (B) - =12144281 218232(C) - =1 (D) - =129 216 2423解析:D 选项中,令 - =0,得渐近线方程为 y= x,故选 D.2423 324.(20
3、18石家庄重点高中摸底考试)已知双曲线过点(2,3),渐近线方程为 y= x,则该双曲线的标准方程是 ( C )3(A) - =1 (B) - =17216212 2322(C)x2- =1 (D) - =123 3223223解析:法一 当双曲线的焦点在 x轴上时,设双曲线的标准方程是 -22=1(a0,b0),由题意得 解得22 4292=1,=3, =1,=3,所以该双曲线的标准方程为 x2- =1;当双曲线的焦点在 y轴上时,设23双曲线的标准方程是 - =1(a0,b0),由题意得 无解.故该2222 9242=1,=3, 双曲线的标准方程为 x2- =1.选 C.23法二 当其中的
4、一条渐近线方程 y= x中的 x=2时,y=2 3,又点3 3(2,3)在第一象限,所以双曲线的焦点在 x轴上,设双曲线的标准方程是 - =1(a0,b0),由题意得 解得2222 4292=1,=3, =1,=3,所以该双曲线的标准方程为 x2- =1,故选 C.23法三 因为双曲线的渐近线方程为 y= x,3即 =x,3所以可设双曲线的方程是 x2- =(0),23将点(2,3)代入,得 =1,所以该双曲线的标准方程为 x2- =1,23故选 C.5.设 F1,F2分别是双曲线 x2- =1的左、右焦点,P 是双曲线上的一点,且2243|PF1|=4|PF2|,则PF 1F2的面积等于(
5、C )(A)4 (B)8 (C)24 (D)482 3解析:a 2=1,b2=24,所以 c2=a2+b2=25,所以 c=5.因为|PF 1|-|PF2|=2a=2,3|PF1|=4|PF2|,所以|PF 1|=8,|PF2|=6.又|F 1F2|=2c=10,所以F 1PF2=90.所以 = |PF1|PF2|=24.故选 C.12126.过三点 A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交 y轴于 M,N两点,则|MN|等于( C )(A)2 (B)8 (C)4 (D)106 6解析:设圆心为 P(a,b),由点 A(1,3),C(1,-7)在圆上,知 b= =-2,372再由|PA
6、|=|PB|,得 a=1.则 P(1,-2),|PA|= =5,于是圆(11)2+(3+2)2P的方程为(x-1) 2+(y+2)2=25.令 x=0,得 y=-22 ,则|MN|=|(-2+26)- (-2-2 )|=4 .故选 C.6 6 67.(2017全国卷)已知椭圆 C: + =1(ab0)的左、右顶点分别2222为 A1,A2,且以线段 A1A2为直径的圆与直线 bx-ay+2ab=0相切,则 C的离心率为( A )(A) (B) (C) (D)63 33 23 13解析:圆心(0,0)到直线的距离等于圆的半径 a,即 =a,22+2解得 a2=3b2,c2=a2-b2=2b2,所
7、以 e2= = ,e= ,故选 A.2223 638.(2018天津卷)已知双曲线 - =1(a0,b0)的离心率为 2,过右2222焦点且垂直于 x轴的直线与双曲线交于 A,B两点.设 A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 d1和 d2,且 d1+d2=6,则双曲线的方程为( A )(A) - =1 (B) - =12329 2923(C) - =1 (D) - =124 212 21224解析:设双曲线的右焦点为 F(c,0).将 x=c代入 - =1,得 - =1,2222 2222所以 y= .2不妨设 A(c, ),B(c,- ).2 2双曲线的一条渐近线方程为 y= x,即 b
8、x-ay=0,则 d1= = = (c-b),|2|2+()2|2| d2= = = (c+b),|+2|2+()2|+2| 所以 d1+d2= 2c=2b=6,所以 b=3.因为 =2,c2=a2+b2,所以 a2=3,所以双曲线的方程为 - =1.2329故选 A.9.(2018郑州市二次质量预测)已知椭圆 C: + =1(ab0)的左、222右焦点分别为 F1,F2,离心率为 ,过 F2的直线 l交 C于 A,B两点,若23AF1B的周长为 12,则 C的方程为( D )(A) +y2=1 (B) + =123 2322(C) + =1 (D) + =12924 2925解析:由椭圆的定
9、义,知|AF1|+|AF2|=2a,|BF1|+|BF2|=2a,所以AF 1B的周长为|AF 1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=12,所以 a=3.因为椭圆的离心率 e= = ,23所以 c=2,所以 b2=a2-c2=5,所以椭圆 C的方程为 + =1,故选 D.292510.(2018福州市质检)过抛物线 C:y2=2px(p0)的焦点 F的直线交C于 A,B两点,若|AF|=3|BF|=3,则 p等于( C )(A)3 (B)2 (C) (D)132解析:如图,分别过点 A,B作准线 l的垂线 AA1,BB1,垂足分别为 A1,B1,过点 B作 BDAA 1于 D,BD交
10、 x轴于 E.由已知条件及抛物线定义得|BB 1|=|BF|=1,|AA1|=|AF|=3,所以|AD|=3-1=2.在 RtABD 中,因为|AB|=4,|AD|=2,所以ABD=30,所以|EF|= |BF|= ,12 12所以焦点 F到准线的距离为 +1= ,12 32即 p= .故选 C.3211.(2018广西柳州市一模)若双曲线 - =1(a0,b0)上存在一点2222P满足以|OP|为边长的正方形的面积等于 2ab(其中 O为坐标原点),则双曲线的离心率的取值范围是( C )(A)(1, (B)(1, 52 72(C) ,+) (D) ,+)52 72解析:因为正方形的面积为 2
11、ab,所以|OP| 2=2ab,又因为|OP|a,所以|OP| 2a 2,所以 a22ab,即 a2b,所以 a24b 2,则 a24(c 2-a2),得 5a24c 2,所以 ,得 ,22 54 52即 e .选 C.5212.已知不等式组 表示平面区域 ,过区域 中的任意+220,22,22 一个点 P,作圆 x2+y2=1的两条切线且切点分别为 A,B,当四边形 PAOB的面积最小时,cosAPB 的值为( B )(A) (B) (C) (D)78 12 34 32解析:作出平面区域 和单位圆 x2+y2=1的图象如图所示,设 l:x+y-2 =0,数形结合可得 S 四边形 PAOB=2
12、SPAO2=2 |PA|112=|PA|.又因为|PA|= = ,|2|2 |21所以当 P到原点距离最小时,四边形 PAOB的面积最小,此时 POl,且|PO|= =2,故APO= ,所以APB= ,cosAPB= .故选 B.|22|2 6 3 12二、填空题13.(2018江苏卷)在平面直角坐标系 xOy中,若双曲线 -22=1(a0,b0)的右焦点 F(c,0)到一条渐近线的距离为 c,则其离心22 32率的值为 . 解析:双曲线的渐近线方程为 bxay=0,焦点 F(c,0)到渐近线的距离d= =b.|+0|2+2所以 b= c,32所以 a= = c,2212所以 e= =2.答案
13、:214.(2018合肥市第一次质检)若双曲线 - =1(a0,b0)的一条渐2222近线被圆 x2+y2-6x+5=0所截得的弦的长为 2,则该双曲线的离心率等于 . 解析:不妨取双曲线 - =1的一条渐近线方程为 bx-ay=0,圆 x2+y2-22226x+5=0的圆心为(3,0),半径为 2,所以圆心(3,0)到渐近线 bx-ay=0的距离 d= ,又 d= = ,32+2 22(22) 23所以 = ,化简得 a2=2b2,32+23所以该双曲线的离心率e= = = = . 1+22 1+12 62答案:6215.(2017天津卷)设抛物线 y2=4x的焦点为 F,准线为 l.已知点
14、 C在 l上,以 C为圆心的圆与 y轴的正半轴相切于点 A.若FAC=120,则圆的方程为 . 解析:由 y2=4x可得点 F的坐标为(1,0),准线 l的方程为 x=-1.由圆心 C在 l上,且圆 C与 y轴正半轴相切(如图),可得点 C的横坐标为-1,圆的半径为 1,CAO=90.又因为FAC=120,所以OAF=30,所以|OA|= ,3所以点 C的纵坐标为 .3所以圆的方程为(x+1) 2+(y- )2=1.3答案:(x+1) 2+(y- )2=1.316.(2018太原市模拟)双曲线 - =1(a0,b0)上一点 M(-3,4)关2222于一条渐近线的对称点恰为双曲线的右焦点 F2,则该双曲线的标准方程为 . 解析:由题意知|OF 2|=|OM|=5,所以 F2(5,0),即 c=5.所以 a2+b2=c2=25,又 - =1,92162所以 所以双曲线的标准方程为 - =1.2=5,2=20, 25 220答案: - =125 220
