1、考点规范练 7 函数的奇偶性与周期性考点规范练 A 册第 5 页 基础巩固1.函数 f(x)= -x 的图象关于( )1A.y 轴对称 B.直线 y=-x 对称C.坐标原点对称 D.直线 y=x 对称答案 C解析 f(-x)=- +x=- =-f(x),且定义域为(- ,0)(0, +), f(x)为奇函数.1 (1-) f(x)的图象关于坐标原点对称.2.已知函数 f(x)=-x|x|+2x,则下列结论正确的是( )A.f(x)是偶函数,递增区间是(0,+)B.f(x)是偶函数,递减区间是(-,- 1)C.f(x)是奇函数,递增区间是(-,- 1)D.f(x)是奇函数,递增区间是(-1,1)
2、答案 D解析 由函数的定义域为 R,且 f(-x)=-f(x),可知 f(x)为奇函数.又 f(x)=-x|x|+2x=-2+2,0,2+2,f(7) B.f(6)f(9)C.f(7)f(9) D.f(7)f(10)答案 D解析 由 y=f(x+8)为偶函数,知函数 f(x)的图象关于直线 x=8 对称.又 f(x)在区间(8,+)内为减函数,故 f(x)在区间(- ,8)内为增函数 .可画出 f(x)的草图(图略),知 f(7)f(10).8.已知奇函数 f(x)的定义域为 R,若 f(x+1)为偶函数,且 f(1)=2,则 f(4)+f(5)的值为( )A.2 B.1 C.-1 D.-2答
3、案 A解析 f(x+1)为偶函数,f(x) 是奇函数, f(-x+1)=f(x+1),f(x)=-f(-x),f(0)=0, f(x+1)=f(-x+1)=-f(x-1), f(x+2)=-f(x),f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=f(x),则 f(4)=f(0)=0,f(5)=f(1)=2, f(4)+f(5)=0+2=2,故选 A.9.已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足: f(x+1)=f(x-1),且当-1log220log216, 4g(0)g(-1)解析 在 f(x)-g(x)= 中,用-x 替换 x,得 f(-x)-g(-x)=2x.因为 f(x),g(x)分
4、别是定义在 R 上的奇函数和偶函(12)数,所以 f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),因此得-f( x)-g(x)=2x.于是解得 f(x)= ,g(x)=- ,于是 f(1)=- ,g(0)=-1,g(-1)=- ,故 f(1)g(0)g(-1).2-22 2-+22 34 5412.已知奇函数 f(x)的定义域为- 2,2,且在区间 -2,0上单调递减 ,则满足 f(1-m)+f(1-m2)m2-1,解得-20 在- 1,3上的解集为( )A.(1,3) B.(-1,1)C.(-1,0)(1,3) D.(-1,0)(0,1)答案 C解析 f(x)的图象如图所示.当 x-1,0)时
5、,由 xf(x)0,得 x(-1,0);当 x0,1)时,由 xf(x)0,得 x;当 x1,3时,由 xf(x)0,得 x(1,3).故 x(-1,0)(1,3).14.已知函数 y=f(x-1)+x2是定义在 R 上的奇函数,若 f(-2)=1,则 f(0)=( )A.-3 B.-2 C.-1 D.0答案 A解析 令 g(x)=f(x-1)+x2.因为 g(x)是定义在 R 上的奇函数,所以 g(-1)=-g(1),即 f(-2)+1=-f(0)+1,得 f(0)=-3.15.已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数 ,且对任意的 xR,都有 f(x+2)=f(x).当 0x1 时,f(
6、x) =x2.若直线 y=x+a 与函数 y=f(x)的图象在区间 0,2上恰有两个不同的公共点,则实数 a 的值是( )A.0 B.0 或-12C.- 或- D.0 或-14 12 14答案 D解析 因为 f(x+2)=f(x),所以函数 f(x)的周期 T=2.因为当 0x1 时,f( x)=x2,且 f(x)是偶函数,所以可画出函数 y=f(x)在一个周期0,2上的图象如图所示.显然 a=0 时,y=x 与 y=x2在区间0,2上恰有两个不同的公共点.另当直线 y=x+a 与抛物线 y=x2(0x 1) 相切时,也恰有两个不同的公共点.由题意知 x2=x+a,即 x2-x-a=0.故 =
7、1+4a=0,即 a=- .综上可知,a= 0 或 a=- .14 1416.已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数 ,且 f(x+2)=f(x),当 x0,1时,f(x) =3x.若 0)在区间- 8,8上有四个不同的根 x1,x2,x3,x4,则 x1+x2+x3+x4= . 答案 -8解析 f(x)为奇函数且 f(x-4)=-f(x), f(x-4)=-f(4-x)=-f(x),即 f(x)=f(4-x)且 f(x-8)=-f(x-4)=f(x),即 y=f(x)的图象关于直线 x=2 对称,且是周期为 8 的周期函数. f(x)在0,2上是增函数 , f(x)在- 2,2上是增函数
8、,在2,6上是减函数.据此可画出 y=f(x)图象的草图(如图):其图象也关于直线 x=-6 对称, x1+x2=-12,x3+x4=4, x1+x2+x3+x4=-8.高考预测18.已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x-4)=-f(x),且在区间0,2上是增函数,则( )A.f(-25)f(11)f(80)B.f(80)f(11)f(-25)C.f(11)f(80)f(-25)D.f(-25)f(80)f(11)答案 D解析 f(x)满足 f(x-4)=-f(x), f(x)=f(x+8). 函数 f(x)是以 8 为周期的周期函数. f(-25)=f(-1),f(80)=f(0),f(11)=f(3)=-f(-3)=-f(1-4)=f(1).又 f(x)是定义在 R 上的奇函数 ,且在区间0,2上是增函数, f(x)在区间- 2,2上是增函数. f(-1)f(0)f(1),即 f(-25)f(80)f(11).