1、专项强化练五 三角函数最值或值域的求解策略1.(2017陕西西安改编)已知 f(x)=sin +cos 的最大(2 019+6) (2 019-3)值为 A,若存在实数 x1,x2,使得对任意实数 x总有 f(x1)f(x)f(x 2)成立,则 A|x1-x2|的最小值为( )A. B.2 01922 019C. D.42 0194 038答案 B f(x)=sin +cos =sin +cos(2 019+6) (2 019-3) (2 019+6)=2sin .(2 019+6-2) (2 019+6)A=2,|x 1-x2| = ,A|x 1-x2| ,故选 B.2 222 019 22
2、 0192.已知函数 f(x)=asin x- cos x关于直线 x=- 对称,且 f(x1)f(x2)=-4,36则|x 1+x2|的最小值为( )A. B.6 3C. D.56 23答案 D f(x)=asin x- cos x= sin (x-) ,3 2+3 (=3)f(x)图象的对称轴为直线 x=- ,=k+ (kZ),f(x 1)f(x2)=-4,6 3x 1=- +2k1(k 1Z),x 2= +2k2(k 2Z), = ,故选 D.6 56 |1+2|233.已知向量 a=(sin x,cos x),b=(1,-1),函数 f(x)=ab,且 ,xR,12若 f(x)的任何一
3、条对称轴与 x轴交点的横坐标都不属于区间(3,4),则 的取值范围是( )A. B. 712,1516 1312,1916 712,1116 1112,1516C. D. (12,712 1112,1916 (12,1116 1112,1516答案 B f(x)=sin x-cos x= sin ,由 ,得2 (-4) 12T= , 0,tan B0,tan C0,得 tan Btan C=x1,所以 tan A+tan B+tan C=- +tan B+tan C= +2 x,+1- 23-1 3再令 x-1=t,则 t0,得 tan A+tan B+tan C=2 =2 8 ,32+2+1
4、 3 (+1+2) 3当且仅当 tan Btan C=x=2时,取到等号,则(tan A+tan B+tan C) min=8 .36.设函数 f(x)= sin .若存在 f(x)的极值点 x0满足 + 2解析 f (x)= cos x,令 f (x)=0,则 x= +k(kZ),解得3 2x= +km(kZ),即 x0= +km(kZ).2 2+ = +3sin2 = +3cos2k=m 2 +3,20(0)2(2+)2 (2+)(2+)2 (12+)2kZ,k=0 时, + 取得最小值 +3,存在 f(x)的极值点 x0满足 +20(0)2 24 204,解得 m2.(0)2 247.(
5、2018杭州高三上学期期末)设向量 a=(2 sin x,-cos x),b=(cos x,2cos 3x), f(x)=ab+1.(1)求函数 f(x)的最小正周期;(2)若方程 f(x)=|t2-t|(tR)无实数解,求 t的取值范围.解析 (1)f(x)=ab+1=2 sin xcos x-2cos2x+13= sin 2x-cos 2x3=2sin ,(2-6)故 f(x)的最小正周期为 .(2)若方程 f(x)=|t2-t|无解,则|t 2-t|f(x)max=2,t 2-t2或 t2-t2得 t2或 t2或 t0)的最小正周期为 .(1)求 的值;(2)将函数 y=f(x)的图象上
6、各点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变),得到函12数 y=g(x)的图象,求函数 y=g(x)在区间 上的最值.-4,0解析 (1)f(x)= sin + ,T= =,=1.22 (2+4)12 22(2)g(x)=f(2x)= sin + .22 (4+4)12当 x 时,4x+ ,-4,0 4 -34,4g(x) min=g = ,g(x)max=g(0)=1.(-316)1-229.(2018暨阳联谊学校高三联考)已知函数 f(x)=2cos x(a2sin x+bcos x)(xR)的值域为-1,3.(1)若函数 y=f(x+)的图象关于直线 x= 对称 ,求|的最小值;2(2)当
7、x0,时,方程|f(x)|=c 有四个实数根,求 c的取值范围.解析 (1)f(x)=a 2sin 2x+bcos 2x+b= sin(2x+)+b ,4+2 (其中 =2)由题意可得 b- =-1,b+ =3,4+2 4+2解得 a2= ,b=1.3f(x)=2sin +1.(2+6)f(x+)=2sin +1.(2+2+6)由 y=f(x+)的图象关于直线 x= 对称得 2 +2+ = +k(kZ),2 2 62= - (kZ),23| min= .6(2) 作出 y=|f(x)|,x0,的图象,如图,故 y=|f(x)|=在 , , 上单调递增 ;在 , 上单调递|2(2+6)+1| 0
8、,62,2356, 6,223,56减,f(0)=f()=2, f =1, f =f =0,(23) (2) (56)c(0,1).10.(2018嘉兴高三上学期期末)已知函数 f(x)=Asin(x+)的部分图象如图所示.(0,0,|2)(1)求 f(x)的解析式;(2)设函数 g(x)=f(x)+4sin2x,x ,求 g(x)的值域.0,2解析 (1)由题图得 A=2,最小正周期 T=4 =,(712-3)所以 =2,又由 2 += +2k(kZ),得 =- +2k(kZ),又| ,所以 =- ,所3 2 6 2 6以 f(x)=2sin .(2-6)(2)g(x)=f(x)+4sin2
9、x= sin 2x-cos 2x+2(1-cos 2x)= sin 2x-3cos 3 32x+2=2 sin +2,3 (2-3)因为 x ,所以 2x- ,0,2 3 -3,23所以 sin ,(2-3) - 32,1所以 g(x)的值域为-1,2+2 .311.(2018宁波效实中学等五校联考)在ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为a、b、c,且(b+c) 2-a2=(2+ )bc,sin Asin B=cos2 .2(1)求角 A和角 B的大小;(2)已知当 xR 时,函数 f(x)=sin x(cos x+asin x)的最大值为 ,求 a的值.32解析 (1)由(b+c) 2-
10、a2=(2+ )bc得 b2+c2-a2= bc,2 2cos A= = ,2+2-22 22又 A(0,),A= .4由 sin Asin B=cos2 ,得 sin B= , 22 1+2即 sin B=1+cos ,2 (34-)整理得 sin B+ cos B=1,sin =1,22 22 (4+)又 B ,故 B= .(0,34) 4(2)f(x)=sin x(cos x+asin x)= +2-22 2= sin(2x-)+ + = ,1+22 2 1+22 232解得 a= .4312.(2018宁波高三模拟)已知函数 f(x)=4cos xsin -1.(-6)(1)求函数 f
11、(x)的单调递增区间;(2)在ABC 中,角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,若满足 f(B)=0,a=2,且 D是 BC的中点,P 是直线 AB上的动点,求 CP+PD的最小值.解析 (1)f(x)=4cos x -1,(32-12)= sin 2x-cos 2x-2=2sin -2,3 (2-6)由- +2k2x- +2k,kZ,2 6 2得- +kx +k,kZ,6 3所以 f(x)的增区间为 ,kZ.-6,+3(2)在ABC 中,由 f(B)=2sin -2=0得 2B- = +2k,kZ,(2-6) 62所以 B= +k,kZ.3B(0,),B= .3作 C关于 AB的对称点 C,连接 CD,CC,CP,CB,CD2=BD2+BC2+BDBC=7,CP+PD=CP+PDCD= ,7当 C,P,D共线时,取最小值 .7
